2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение10.04.2009, 00:55 


06/01/09
203
Разумеется я знаю трюк с двойным интегралом.

Но сейчас я учу студентов ТФКП. Хочется продемонстрировать величие метода на чем-нибудь, что они и так знают. Рациональные функции не подойдут - начнется нытье "это мы и так умеем". Рациональные на синус или косинус тоже - этого они раньше не видели. Вот я и подумал, что нужен пример, который они раньше видели, но решаемый безумным трюком, но так, чтобы в ТФКП особо думать не пришлось.

К сожалению про бета-функцию тоже много трепаться не хочется. Но спасибо.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:15 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Касательно "безумного трюка": как вам такие интегралы:
$$
\int_0^{+\infty}\frac{\ln x dx}{x^2+a^2}, \int_0^1\ln\left(\frac1x-x\right)\frac{dx}{x^2+1}, \int_0^1\frac{\ln^2(1-x)dx}{x^2},\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}{\sh x}dx?
$$:-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3512
vlad239 в сообщении #203580 писал(а):
Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Есть. Обозначим
$f(z)=\frac{e^{2\pi iz^2}}{e^{2\pi iz}-1}$.
Через $\gamma(\theta)$ будем обозначать прямую $\theta+e^{\pi i/4}t$, $-\infty<t<\infty$. По теореме Коши о вычетах,
$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)\,dz+1.$$
С другой стороны,
$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z+1)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)e^{4\pi iz}dz,$$
следовательно,
$$\int_{\gamma(-1/2)}f(z)(e^{4\pi iz}-1)\,dz=1.$$
Но последний интеграл равен (в силу отсутствия особенностей контур можно двигать спокойно)
$$\int_{\gamma(-1/2)}(e^{2\pi i(z^2+z)}+e^{2\pi iz^2})\,dz=(i^{-1}+1)\int_{\gamma(0)}e^{2\pi iz^2}dz=\pi^{-1/2}\int_{\mathbb R}e^{-t^2}dt.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:49 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$ и $$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$

Для этого рассматривается интеграл от функции $f(z)=e^{iz^2}$ по контуру, состоящему из отрезка вещественной оси $[0,R]$, дуги окружности $Re^{i\varphi}$ при $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{4}$ и отрезка $[Re^{i\frac{\pi}{4}}, 0]$.

Этот пример обычно выглядит эффектно, т.к. без привлечения вычетов его приходится считать, привлекая интегралы, зависящие от параметра и т.п. А здесь получается все просто и красиво.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 07:33 


06/01/09
203
Gordmit писал(а):
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$ и $$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$


Точно!
Самое забавное, что именно этот угол я и брал. увидел, что он дает интегралы Френеля и забил. Не подумал, что само их вычисление - то, что надо для примера.

Спасибо.

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2009, 13:58 


29/09/06
4522
Gordmit в сообщении #203596 писал(а):
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
Только, наверное, термины стоит использовать поточнее. Дабы студенты не зафиксировали, что интегралы Френеля --- это такие определённые интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление известных интегралов через вычеты
Сообщение31.01.2016, 21:11 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5625
 i  Пост hxxxrz отделён в Карантин.

 !  hxxxrz, предупреждение за пост в архивную тему без попыток решения. 2-й пост перемещён в ту же тему в Карантине.

 Профиль  
                  
 
 Ссылка
Сообщение25.11.2016, 20:54 


11/07/16
157
vlad239 в сообщении #203580 писал(а):
Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Я попробовал следующее.

1) у функции нет ни одной особой точки кроме бесконечности - подправим, возьмем по частям, дописав $2x\cdot\frac{1}{2x}$ и написав главное значение

2) стандартные полукруги плохи - вещественная часть $z^2$ в верхней полуплоскости бывает какой угодно. Попробовал взять угол и связать интегралы по его сторонам между собой, но не вышло.

Если есть - хочу студентам рассказать.

Влад.

// 10.04.09 тема "Эйлер-Пуассон и ТФКП" перемещена в более широкую тему. / GAA

Вычисление описано в
Цитата:
Р. Ку́рант,Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 4 изд., М., 1967; т. 2, 2 изд., М., 1970;
Точное место указать в данный момент затрудняюсь. Применяется искусственный прием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group