2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение10.04.2009, 00:55 
Разумеется я знаю трюк с двойным интегралом.

Но сейчас я учу студентов ТФКП. Хочется продемонстрировать величие метода на чем-нибудь, что они и так знают. Рациональные функции не подойдут - начнется нытье "это мы и так умеем". Рациональные на синус или косинус тоже - этого они раньше не видели. Вот я и подумал, что нужен пример, который они раньше видели, но решаемый безумным трюком, но так, чтобы в ТФКП особо думать не пришлось.

К сожалению про бета-функцию тоже много трепаться не хочется. Но спасибо.

Влад.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:15 
Касательно "безумного трюка": как вам такие интегралы:
$$
\int_0^{+\infty}\frac{\ln x dx}{x^2+a^2}, \int_0^1\ln\left(\frac1x-x\right)\frac{dx}{x^2+1}, \int_0^1\frac{\ln^2(1-x)dx}{x^2},\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}{\sh x}dx?
$$:-)

 
 
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:15 
Аватара пользователя
vlad239 в сообщении #203580 писал(а):
Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Есть. Обозначим
$f(z)=\frac{e^{2\pi iz^2}}{e^{2\pi iz}-1}$.
Через $\gamma(\theta)$ будем обозначать прямую $\theta+e^{\pi i/4}t$, $-\infty<t<\infty$. По теореме Коши о вычетах,
$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)\,dz+1.$$
С другой стороны,
$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z+1)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)e^{4\pi iz}dz,$$
следовательно,
$$\int_{\gamma(-1/2)}f(z)(e^{4\pi iz}-1)\,dz=1.$$
Но последний интеграл равен (в силу отсутствия особенностей контур можно двигать спокойно)
$$\int_{\gamma(-1/2)}(e^{2\pi i(z^2+z)}+e^{2\pi iz^2})\,dz=(i^{-1}+1)\int_{\gamma(0)}e^{2\pi iz^2}dz=\pi^{-1/2}\int_{\mathbb R}e^{-t^2}dt.$$

 
 
 
 
Сообщение10.04.2009, 01:49 
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$ и $$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$

Для этого рассматривается интеграл от функции $f(z)=e^{iz^2}$ по контуру, состоящему из отрезка вещественной оси $[0,R]$, дуги окружности $Re^{i\varphi}$ при $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{4}$ и отрезка $[Re^{i\frac{\pi}{4}}, 0]$.

Этот пример обычно выглядит эффектно, т.к. без привлечения вычетов его приходится считать, привлекая интегралы, зависящие от параметра и т.п. А здесь получается все просто и красиво.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2009, 07:33 
Gordmit писал(а):
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$ и $$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$


Точно!
Самое забавное, что именно этот угол я и брал. увидел, что он дает интегралы Френеля и забил. Не подумал, что само их вычисление - то, что надо для примера.

Спасибо.

Влад.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2009, 13:58 
Gordmit в сообщении #203596 писал(а):
Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля
Только, наверное, термины стоит использовать поточнее. Дабы студенты не зафиксировали, что интегралы Френеля --- это такие определённые интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

 
 
 
 Re: Вычисление известных интегралов через вычеты
Сообщение31.01.2016, 21:11 
Аватара пользователя
 i  Пост hxxxrz отделён в Карантин.

 !  hxxxrz, предупреждение за пост в архивную тему без попыток решения. 2-й пост перемещён в ту же тему в Карантине.

 
 
 
 Ссылка
Сообщение25.11.2016, 20:54 
vlad239 в сообщении #203580 писал(а):
Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Я попробовал следующее.

1) у функции нет ни одной особой точки кроме бесконечности - подправим, возьмем по частям, дописав $2x\cdot\frac{1}{2x}$ и написав главное значение

2) стандартные полукруги плохи - вещественная часть $z^2$ в верхней полуплоскости бывает какой угодно. Попробовал взять угол и связать интегралы по его сторонам между собой, но не вышло.

Если есть - хочу студентам рассказать.

Влад.

// 10.04.09 тема "Эйлер-Пуассон и ТФКП" перемещена в более широкую тему. / GAA

Вычисление описано в
Цитата:
Р. Ку́рант,Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 4 изд., М., 1967; т. 2, 2 изд., М., 1970;
Точное место указать в данный момент затрудняюсь. Применяется искусственный прием.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group