Вычисление известных интегралов через вычеты

[vlad239]

Разумеется я знаю трюк с двойным интегралом.

Но сейчас я учу студентов ТФКП. Хочется продемонстрировать величие метода на чем-нибудь, что они и так знают. Рациональные функции не подойдут - начнется нытье "это мы и так умеем". Рациональные на синус или косинус тоже - этого они раньше не видели. Вот я и подумал, что нужен пример, который они раньше видели, но решаемый безумным трюком, но так, чтобы в ТФКП особо думать не пришлось.

К сожалению про бета-функцию тоже много трепаться не хочется. Но спасибо.

Влад.

[Полосин]

Касательно "безумного трюка": как вам такие интегралы:

$$ \int_0^{+\infty}\frac{\ln x dx}{x^2+a^2}, \int_0^1\ln\left(\frac1x-x\right)\frac{dx}{x^2+1}, \int_0^1\frac{\ln^2(1-x)dx}{x^2},\int_0^{+\infty}\frac{\sin(ax)}{\sh x}dx? $$

:-)

[RIP]

vlad239 в сообщении #203580 писал(а):

Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Есть. Обозначим
$f(z)=\frac{e^{2\pi iz^2}}{e^{2\pi iz}-1}$.
Через $\gamma(\theta)$ будем обозначать прямую $\theta+e^{\pi i/4}t$, $-\infty<t<\infty$. По теореме Коши о вычетах,

$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)\,dz+1.$$

С другой стороны,

$$\int_{\gamma(1/2)}f(z)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z+1)\,dz=\int_{\gamma(-1/2)}f(z)e^{4\pi iz}dz,$$

следовательно,

$$\int_{\gamma(-1/2)}f(z)(e^{4\pi iz}-1)\,dz=1.$$

Но последний интеграл равен (в силу отсутствия особенностей контур можно двигать спокойно)

$$\int_{\gamma(-1/2)}(e^{2\pi i(z^2+z)}+e^{2\pi iz^2})\,dz=(i^{-1}+1)\int_{\gamma(0)}e^{2\pi iz^2}dz=\pi^{-1/2}\int_{\mathbb R}e^{-t^2}dt.$$

[Gordmit]

Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$

и

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$

Для этого рассматривается интеграл от функции $f(z)=e^{iz^2}$ по контуру, состоящему из отрезка вещественной оси $[0,R]$, дуги окружности $Re^{i\varphi}$ при $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{4}$ и отрезка $[Re^{i\frac{\pi}{4}}, 0]$.

Этот пример обычно выглядит эффектно, т.к. без привлечения вычетов его приходится считать, привлекая интегралы, зависящие от параметра и т.п. А здесь получается все просто и красиво.

[vlad239]

Gordmit писал(а):

Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx$$

и

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx$$

Точно!
Самое забавное, что именно этот угол я и брал. увидел, что он дает интегралы Френеля и забил. Не подумал, что само их вычисление - то, что надо для примера.

Спасибо.

Влад.

[Алексей К.]

Gordmit в сообщении #203596 писал(а):

Можно вместо этого интеграла рассказать про вычисление интегралов Френеля

Только, наверное, термины стоит использовать поточнее. Дабы студенты не зафиксировали, что интегралы Френеля --- это такие определённые интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

[Deggial]

Пост hxxxrz отделён в Карантин.

hxxxrz, предупреждение за пост в архивную тему без попыток решения. 2-й пост перемещён в ту же тему в Карантине.

[Markiyan Hirnyk]

vlad239 в сообщении #203580 писал(а):

Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Я попробовал следующее.

1) у функции нет ни одной особой точки кроме бесконечности - подправим, возьмем по частям, дописав $2x\cdot\frac{1}{2x}$ и написав главное значение

2) стандартные полукруги плохи - вещественная часть $z^2$ в верхней полуплоскости бывает какой угодно. Попробовал взять угол и связать интегралы по его сторонам между собой, но не вышло.

Если есть - хочу студентам рассказать.

Влад.

// 10.04.09 тема "Эйлер-Пуассон и ТФКП" перемещена в более широкую тему. / GAA

Вычисление описано в

Цитата:

Р. Ку́рант,Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 4 изд., М., 1967; т. 2, 2 изд., М., 1970;

Точное место указать в данный момент затрудняюсь. Применяется искусственный прием.