Brukvalub писал(а):
И буковку x при этом обязательно заменяют на традиционное обозначение комплексной переменной z ?
![Shocked :shock:](./images/smilies/icon_eek.gif)
А буковки всегда выбирают исключительно по вкусу. Вспомните хоть формулу Меллина (обратное преобразование Лапласа). Её, по-моему, всегда записывают так:
![$$ f(t)={1\over2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)\,e^{pt}\,dp.$$ $$ f(t)={1\over2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)\,e^{pt}\,dp.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/b/e8b384374e1421ba0cfd9909722f3a7482.png)
Или даже так:
Добавлено спустя 13 минут 41 секунду:Draeden писал(а):
ewert, я знаю только случай, когда контур не проходит через особые точки.
Ну давайте рассмотрим один простой полюс
![$z_0$ $z_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/a/d1a81d9dc6dd30e43ba27c5490a34a3282.png)
, расположенный на контуре.
Под "главным значением" интеграла понимается следующее: удаляется участок контура, захватываемый
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
-окрестностью точки
![$z_0$ $z_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/a/d1a81d9dc6dd30e43ba27c5490a34a3282.png)
, и смотрится, куда будет стремиться интеграл по оставшейся части контура при
![$\varepsilon\to0$ $\varepsilon\to0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eae102b65655a487cc247c8c1b69105a82.png)
.
Так вот, замкнём оставшую часть контура по соответствующей дуге окружности радиуса
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
так, чтобы граничный полюс оказался снаружи. Интеграл по полученному контуру будет определяться обычной суммой вычетов. Соответственно, главное значение исходного интеграла -- это вклад внутренних особых точек минус предельное (при
![$\varepsilon\to0$ $\varepsilon\to0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eae102b65655a487cc247c8c1b69105a82.png)
) значение интеграла по указанной дуге окружности.
А вот с последним всё ясно. Интеграл от регулярной (в окрестности
![$z_0$ $z_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/a/d1a81d9dc6dd30e43ba27c5490a34a3282.png)
) части функции стремится к нулю -- просто из-за ограниченности этой части и стремления к нулю длины окружности. А интеграл от
![$${C_{-1}\over z-z_0}$$ $${C_{-1}\over z-z_0}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/2/722e8ae298ae6bd263234e87678ce06382.png)
считается явно.
Если контур гладкий, то дуга при малых радиусах стремится к полуокружности, вот и получается вклад в полвычета (именно плюс полвычета, т.к. дуга окружности после вдавливания её внутрь контура будет обходиться в неправильном направлении).
На произвольное количество точек утверждение обобщается обычным образом.