2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 22:46 
Заслуженный участник


14/10/14
458
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Другое дело - а как убедиться в пушистости пространства? Она не гарантируется никакими аксиомами отделимости и счетности.
А метризуемость как достаточное условие эквивалентности не нравится? Метризуемость гарантируется, например, 2-й аксиомой счетности вкупе с 3-й аксиомой отделимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Slav-27 в сообщении #1183169 писал(а):
А метризуемость как достаточное условие эквивалентности не нравится?
Для произвольного метрического пространства мне сходу доказать эту эквивалентность не удалось. То ли я чего-то не понимаю, то ли просто мозг в это время суток плохо работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1320
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми. Легко показать, что в пушистом пространстве функция, имеющая в точке $a$ предел по Гейне, имеет тот же предел и по Коши.

https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:11 
Заслуженный участник


14/10/14
458
О! Всё намного лучше.

Надо быть фактором метрического...
А для этого достаточно 1-й аксиомы счётности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14675
Новомосковск
Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
На первый взгляд, определение предела функции по Гейне - "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Гейне) при $x \to a$, если для любой сходящейся к $a$, но не содержащей $a$ последовательности $\{x_i\}$ последовательность $\{f(x_i)\}$ сходится к $b$" - можно перенести на произвольное топологическое пространство дословно.
Нельзя, вообще говоря. Дело в том, что топология произвольного топологического пространства, вообще говоря, не определяется сходящимися последовательностями. Таковых вообще может не оказаться, за исключением постоянных (начиная с некоторого номера, естественно).

Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
Далее, в дискретном пространстве сходятся только стационарные последовательности, значит, последовательностей, сходящихся к $a$, но не содержащих $a$, просто не будет. Поэтому, по принятым в математике правилам обращения с пустым множеством, придется считать, что любая функция имеет предел по Гейне в любой точке. Получится, что в этом пространстве у последовательности только один предел, а у функции сколько угодно - фигня какая-то.
Это просто означает, что в определении предела нужно требовать, чтобы точка была предельной. Хотя бы в том смысле, что всякая проколотая окрестность этой точки содержит хотя бы точку.

Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми.
Стандартно это называется "пространство с первой аксиомой счётности" (или "счётного характера"). И не обязательно брать именно проколотые окрестности.

Anton_Peplov в сообщении #1183113 писал(а):
Теория разрывных функций из топологических пространств в топологические не является предметом изучения общей топологии. А ею вообще кто-то занимался, она в какие-нибудь учебники/монографии вошла?
Не знаю, не встречал. Встречались теоремы о продолжении непрерывной функции, заданной на (не обязательно замкнутом) подмножестве. Типа теоремы 4.3.20 из книги Энгелькинга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Someone в сообщении #1183184 писал(а):
Дело в том, что топология произвольного топологического пространства, вообще говоря, не определяется сходящимися последовательностями. Таковых вообще может не оказаться, за исключением постоянных (начиная с некоторого номера, естественно).
Да, я знаю. Стандартный пример - дискретное пространство. И вообще пространство, где любое счетное множество замкнуто. В таких пространствах, если принять определение предела по Гейне в моей формулировке, получится, что каждая функция имеет предел в каждой точке (раз нестационарных сходящихся последовательностей нет, то для них выполняется любое условие, в т.ч. и требование определения предела). Это монструозно, конечно. Но вряд ли более монструозно, чем сходимость любой последовательности к любой точке в тривиальной топологии.
Someone в сообщении #1183184 писал(а):
Стандартно это называется "пространство с первой аксиомой счётности" (или "счётного характера"). И не обязательно брать именно проколотые окрестности.
Хм. Вот в дискретном пространстве первая аксиома счетности выполняется - определяющую систему окрестностей для точки $x$ образует одноточечное множество $\{x\}$ собственной персоной. Однако же требование
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса.
очевидно не выполняется: в одноточечной окрестности $\{x\}$ точки $x$ не лежит никаких ее проколотых окрестностей. А в доказательстве, которое я накалякал, важна именно их проколотость.
kp9r4d в сообщении #1183175 писал(а):
https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space
Здесь при делах секвенциальность? Так, я беру паузу, чтобы выспаться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14675
Новомосковск
Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
Да, я знаю. Стандартный пример - дискретное пространство. И вообще пространство, где любое счетное множество замкнуто. В таких пространствах, если принять определение предела по Гейне в моей формулировке, получится, что каждая функция имеет предел в каждой точке (раз нестационарных сходящихся последовательностей нет, то для них выполняется любое условие, в т.ч. и требование определения предела). Это монструозно, конечно. Но вряд ли более монструозно, чем сходимость любой последовательности к любой точке в тривиальной топологии.
Ну что Вы, есть гораздо более интересные примеры. Например, тихоновский куб $I^{\mathfrac c}$ ($I=[0;1]$ — отрезок, $\mathfrac c=2^{\aleph_0}$ — континуум). Если хотите, это просто множество всевозможных функций, определённых на (фиксированном) множестве мощности континуум, в топологии поточечной сходимости (последовательностей тут недостаточно, надо рассматривать произвольные направленности: Дж. Л. Келли, Общая топология, глава 2 — "Сходимость по Мору — Смиту"). Сходящиеся последовательности в тихоновском кубе есть, но их слишком мало. Но если взять экстремально несвязное пространство (например, расширение Стоуна — Чеха натурального ряда; это просто стоуновское пространство булевой алгебры всех подмножеств натурального ряда), то в нём нетривиальных сходящихся последовательностей не будет.

Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
очевидно не выполняется: в одноточечной окрестности $\{x\}$ точки $x$ не лежит никаких ее проколотых окрестностей.
Ну, если, как обычно, проколотая окрестность точки $x$ — это любая её окрестность минус $\{x\}$, то лежит: $\{x\}\setminus\{x\}$. Если Вы придумали своё определение проколотой окрестности, то может и не лежать.

Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
Здесь при делах секвенциальность?
Да, топология секвенциального пространства определяется сходящимися последовательностями. Но я не знаю, хватит ли секвенциальности для эквивалентности пределов по Коши и по Гейне.

Если в определении предела по Гейне рассматривать не последовательности, а произвольные направленности, то эквивалентность будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Someone в сообщении #1183205 писал(а):
Ну, если, как обычно, проколотая окрестность точки $x$ — это любая её окрестность минус $\{x\}$, то лежит: $\{x\}\setminus\{x\}$. Если Вы придумали своё определение проколотой окрестности, то может и не лежать.
Чёрт. Пустая проколотая окрестность! Как раз в дискретном-то пространстве она и бывает. А мне и в голову не пришло думать о пустом множестве как о проколотой окрестности. Эх, шаблоны, стереотипы, зашоренность мышления...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Да, все верно. Требование
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса.
- это просто первая аксиома счетности. Меня сбивало с толку дискретное пространство, не пришло в голову, что пустое множество тоже может быть проколотой окрестностью.
Итак, для всех пространств с первой аксиомой счетности определения предела по Коши и по Гейне тождественны. Удобно, что класс таких пространств весьма широк и включает, в частности, все метрические пространства.

А вот есть ли такое тождество для любых секвенциальных пространств или хоть для Фреше-Урысона, я не знать. И доказать не мочь. Может, kp9r4d подскажет, куда думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:21 


14/12/14
454
SPb
Anton_Peplov в сообщении #1183126 писал(а):
Смущает то, что понятие предела функции в общем топологическом пространстве мне не встретилось ни в одной книжке (вот спасибо несколькими сообщениями выше Зорича подсказали, там что-то похожее), и мне пришлось выдумывать его самостоятельно. Что сигнализирует, что с этим понятием что-то не так.

Не правда! Читайте http://old.pskgu.ru/ebooks/kudld2/kudld2_dop_62.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Спасибо.

-- 10.01.2017, 18:30 --

timber, а что за книга? Я бы ее нашел и целиком скачал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:31 


14/12/14
454
SPb
Уже таки что-то похожее было http://dxdy.ru/topic23671.html
Навеяно Бурбаками.

-- 10.01.2017, 18:38 --

Anton_Peplov в сообщении #1183367 писал(а):
что за книга?

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2

Ну или читайте Бурбаки. Общая топология. Основные структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1320
Anton_Peplov в сообщении #1183325 писал(а):
А вот есть ли такое тождество для любых секвенциальных пространств или хоть для Фреше-Урысона, я не знать. И доказать не мочь. Может, kp9r4d подскажет, куда думать?

Там в equivalent conditions, в третьем пункте, ровно то и написано. Думать так: определения непрерывности по Гейне и по Коши будут эквивалентны во всех топ. пространствах, если в определении по Коши заменить последовательности на произвольные сети (это то, что говорил Someone) а в секвенциальных пространствах замена последовательности на сеть новой информации не несёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
timber в сообщении #1183368 писал(а):
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2
Хм. У меня такого нет. Какого года издание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1320
Понятие предела наиболее абстрактно рассматривается в теории категории (а ещё более абсторактно - в теории $(\infty,1)$-категорий) и определяются как универсальный конус над диаграммой. При помощи этого обобщения можно брать не только пределы функций по фильтрам и сети точек в топ. пространстве, но и брать пределы "сеток" из других математических структур (пучков, колец, многообразий, С*-алгебр, ...).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihailm, Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group