2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 22:46 
Заслуженный участник


14/10/14
429
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Другое дело - а как убедиться в пушистости пространства? Она не гарантируется никакими аксиомами отделимости и счетности.
А метризуемость как достаточное условие эквивалентности не нравится? Метризуемость гарантируется, например, 2-й аксиомой счетности вкупе с 3-й аксиомой отделимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
Slav-27 в сообщении #1183169 писал(а):
А метризуемость как достаточное условие эквивалентности не нравится?
Для произвольного метрического пространства мне сходу доказать эту эквивалентность не удалось. То ли я чего-то не понимаю, то ли просто мозг в это время суток плохо работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми. Легко показать, что в пушистом пространстве функция, имеющая в точке $a$ предел по Гейне, имеет тот же предел и по Коши.

https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:11 
Заслуженный участник


14/10/14
429
О! Всё намного лучше.

Надо быть фактором метрического...
А для этого достаточно 1-й аксиомы счётности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14396
Новомосковск
Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
На первый взгляд, определение предела функции по Гейне - "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Гейне) при $x \to a$, если для любой сходящейся к $a$, но не содержащей $a$ последовательности $\{x_i\}$ последовательность $\{f(x_i)\}$ сходится к $b$" - можно перенести на произвольное топологическое пространство дословно.
Нельзя, вообще говоря. Дело в том, что топология произвольного топологического пространства, вообще говоря, не определяется сходящимися последовательностями. Таковых вообще может не оказаться, за исключением постоянных (начиная с некоторого номера, естественно).

Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
Далее, в дискретном пространстве сходятся только стационарные последовательности, значит, последовательностей, сходящихся к $a$, но не содержащих $a$, просто не будет. Поэтому, по принятым в математике правилам обращения с пустым множеством, придется считать, что любая функция имеет предел по Гейне в любой точке. Получится, что в этом пространстве у последовательности только один предел, а у функции сколько угодно - фигня какая-то.
Это просто означает, что в определении предела нужно требовать, чтобы точка была предельной. Хотя бы в том смысле, что всякая проколотая окрестность этой точки содержит хотя бы точку.

Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми.
Стандартно это называется "пространство с первой аксиомой счётности" (или "счётного характера"). И не обязательно брать именно проколотые окрестности.

Anton_Peplov в сообщении #1183113 писал(а):
Теория разрывных функций из топологических пространств в топологические не является предметом изучения общей топологии. А ею вообще кто-то занимался, она в какие-нибудь учебники/монографии вошла?
Не знаю, не встречал. Встречались теоремы о продолжении непрерывной функции, заданной на (не обязательно замкнутом) подмножестве. Типа теоремы 4.3.20 из книги Энгелькинга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
Someone в сообщении #1183184 писал(а):
Дело в том, что топология произвольного топологического пространства, вообще говоря, не определяется сходящимися последовательностями. Таковых вообще может не оказаться, за исключением постоянных (начиная с некоторого номера, естественно).
Да, я знаю. Стандартный пример - дискретное пространство. И вообще пространство, где любое счетное множество замкнуто. В таких пространствах, если принять определение предела по Гейне в моей формулировке, получится, что каждая функция имеет предел в каждой точке (раз нестационарных сходящихся последовательностей нет, то для них выполняется любое условие, в т.ч. и требование определения предела). Это монструозно, конечно. Но вряд ли более монструозно, чем сходимость любой последовательности к любой точке в тривиальной топологии.
Someone в сообщении #1183184 писал(а):
Стандартно это называется "пространство с первой аксиомой счётности" (или "счётного характера"). И не обязательно брать именно проколотые окрестности.
Хм. Вот в дискретном пространстве первая аксиома счетности выполняется - определяющую систему окрестностей для точки $x$ образует одноточечное множество $\{x\}$ собственной персоной. Однако же требование
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса.
очевидно не выполняется: в одноточечной окрестности $\{x\}$ точки $x$ не лежит никаких ее проколотых окрестностей. А в доказательстве, которое я накалякал, важна именно их проколотость.
kp9r4d в сообщении #1183175 писал(а):
https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space
Здесь при делах секвенциальность? Так, я беру паузу, чтобы выспаться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14396
Новомосковск
Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
Да, я знаю. Стандартный пример - дискретное пространство. И вообще пространство, где любое счетное множество замкнуто. В таких пространствах, если принять определение предела по Гейне в моей формулировке, получится, что каждая функция имеет предел в каждой точке (раз нестационарных сходящихся последовательностей нет, то для них выполняется любое условие, в т.ч. и требование определения предела). Это монструозно, конечно. Но вряд ли более монструозно, чем сходимость любой последовательности к любой точке в тривиальной топологии.
Ну что Вы, есть гораздо более интересные примеры. Например, тихоновский куб $I^{\mathfrac c}$ ($I=[0;1]$ — отрезок, $\mathfrac c=2^{\aleph_0}$ — континуум). Если хотите, это просто множество всевозможных функций, определённых на (фиксированном) множестве мощности континуум, в топологии поточечной сходимости (последовательностей тут недостаточно, надо рассматривать произвольные направленности: Дж. Л. Келли, Общая топология, глава 2 — "Сходимость по Мору — Смиту"). Сходящиеся последовательности в тихоновском кубе есть, но их слишком мало. Но если взять экстремально несвязное пространство (например, расширение Стоуна — Чеха натурального ряда; это просто стоуновское пространство булевой алгебры всех подмножеств натурального ряда), то в нём нетривиальных сходящихся последовательностей не будет.

Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
очевидно не выполняется: в одноточечной окрестности $\{x\}$ точки $x$ не лежит никаких ее проколотых окрестностей.
Ну, если, как обычно, проколотая окрестность точки $x$ — это любая её окрестность минус $\{x\}$, то лежит: $\{x\}\setminus\{x\}$. Если Вы придумали своё определение проколотой окрестности, то может и не лежать.

Anton_Peplov в сообщении #1183188 писал(а):
Здесь при делах секвенциальность?
Да, топология секвенциального пространства определяется сходящимися последовательностями. Но я не знаю, хватит ли секвенциальности для эквивалентности пределов по Коши и по Гейне.

Если в определении предела по Гейне рассматривать не последовательности, а произвольные направленности, то эквивалентность будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
Someone в сообщении #1183205 писал(а):
Ну, если, как обычно, проколотая окрестность точки $x$ — это любая её окрестность минус $\{x\}$, то лежит: $\{x\}\setminus\{x\}$. Если Вы придумали своё определение проколотой окрестности, то может и не лежать.
Чёрт. Пустая проколотая окрестность! Как раз в дискретном-то пространстве она и бывает. А мне и в голову не пришло думать о пустом множестве как о проколотой окрестности. Эх, шаблоны, стереотипы, зашоренность мышления...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
Да, все верно. Требование
Anton_Peplov в сообщении #1183156 писал(а):
Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса.
- это просто первая аксиома счетности. Меня сбивало с толку дискретное пространство, не пришло в голову, что пустое множество тоже может быть проколотой окрестностью.
Итак, для всех пространств с первой аксиомой счетности определения предела по Коши и по Гейне тождественны. Удобно, что класс таких пространств весьма широк и включает, в частности, все метрические пространства.

А вот есть ли такое тождество для любых секвенциальных пространств или хоть для Фреше-Урысона, я не знать. И доказать не мочь. Может, kp9r4d подскажет, куда думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:21 


14/12/14
454
SPb
Anton_Peplov в сообщении #1183126 писал(а):
Смущает то, что понятие предела функции в общем топологическом пространстве мне не встретилось ни в одной книжке (вот спасибо несколькими сообщениями выше Зорича подсказали, там что-то похожее), и мне пришлось выдумывать его самостоятельно. Что сигнализирует, что с этим понятием что-то не так.

Не правда! Читайте http://old.pskgu.ru/ebooks/kudld2/kudld2_dop_62.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
Спасибо.

-- 10.01.2017, 18:30 --

timber, а что за книга? Я бы ее нашел и целиком скачал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:31 


14/12/14
454
SPb
Уже таки что-то похожее было http://dxdy.ru/topic23671.html
Навеяно Бурбаками.

-- 10.01.2017, 18:38 --

Anton_Peplov в сообщении #1183367 писал(а):
что за книга?

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2

Ну или читайте Бурбаки. Общая топология. Основные структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Anton_Peplov в сообщении #1183325 писал(а):
А вот есть ли такое тождество для любых секвенциальных пространств или хоть для Фреше-Урысона, я не знать. И доказать не мочь. Может, kp9r4d подскажет, куда думать?

Там в equivalent conditions, в третьем пункте, ровно то и написано. Думать так: определения непрерывности по Гейне и по Коши будут эквивалентны во всех топ. пространствах, если в определении по Коши заменить последовательности на произвольные сети (это то, что говорил Someone) а в секвенциальных пространствах замена последовательности на сеть новой информации не несёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4566
timber в сообщении #1183368 писал(а):
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2
Хм. У меня такого нет. Какого года издание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение10.01.2017, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Понятие предела наиболее абстрактно рассматривается в теории категории (а ещё более абсторактно - в теории $(\infty,1)$-категорий) и определяются как универсальный конус над диаграммой. При помощи этого обобщения можно брать не только пределы функций по фильтрам и сети точек в топ. пространстве, но и брать пределы "сеток" из других математических структур (пучков, колец, многообразий, С*-алгебр, ...).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group