2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.
Сообщение19.06.2009, 05:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Все цитаты из Зорича взяты из четвертого издания 2002 года и упомянутая книга Бурбаки это «Общая топология основные структуры» издания 1968 года.

В учебнике Зорича на странице 126 дается определение предела функции в точке по множеству. Вот это определение: «Число А называется пределом функции f: Е–>$\mathbb{R}$ при x, стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдётся проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении f: Е–>$\mathbb{R}$ содержится в заданной окрестности точки А

К этому определению надо добавить, что под окрестностью понимается открытая окрестность. (Что, как известно, бывает не всегда).

Через 22 страницы Зорич справедливо пишет, что от проколотых окрестностей фактически были использованы только два свойства и отправляясь от этих двух свойств дает определение базы в множестве.

Базой множества Х он называет любую совокупность непустых подмножеств Х, такую, что в пересечении любых двух подмножеств из этой совокупности «содержится некоторый элемент из той же совокупности». Далее Зорич отмечает, что «термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра»». Упоминает Картана, ссылается на Бурбаки и дает определение предела функции по базе. Вот это определение (страница 150):

Пусть f: Х–>$\mathbb{R}$ функция на множестве Х; ß – база в Х. Число ${A}\in\mathbb{R}$ называется пределом функции f: Х–>$\mathbb{R}$ по базе ß, если для любой окрестности V(А) точки А найдётся элемент B базы ß, образ которого f(В) содержится в окрестности V(А).

Конечно, опять все окрестности открытые множества и образ окрестности f(В) должен быть открыт (хорошо бы это доказать). И теперь то «чему так долго предисловье».

Ради чего страдали? У Бурбаки предел функции (отображения) по базе области определения это точка у множества значений, такая, что её фильтр окрестностей имеет образ фильтра базы области определения как базу (открытых ли окрестностей?).
У меня ощущение, что я где-то наврал (Где?). Но смысл, во-первых в том, что под «х стремится к а» понимается некая база области определения (как и у Зорича), а во-вторых под пределом функции (отображения) по этой базе, точка множества значений, база фильтра окрестностей которой содержит образ базы области определения (и сама тоже является базой фильтра окрестностей точки у).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.
Сообщение19.06.2009, 09:14 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Элементы базы открытыми "в обычном смысле" быть не обязаны, и их образы - тоже. Содержаться можно и без этого. А на множестве значений функции в обоих случаях сидит стандартная топология. Страдали ради того, чтобы посадить нестандартную топологию на область определения. Другие случаи не рассматриваются.

Я попал или не в этом вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.
Сообщение19.06.2009, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Спасибо.
AD в сообщении #223208 писал(а):
Я попал или не в этом вопрос?

А вот в этом и будем разбираться.
Сначала по Бурбаки.
Вот две конструкции:
1. В области определения топология не задана. Есть топология на множестве значений. И на области определения задан базис фильтра; обозначим его (базис) B и растущий из него фильтр F. И пусть f(B) сходится к точке w. Ясно, что ${f(B)}\subset{f(F)}$ и оба они базисы фильтра сходящегося к точке w. И (это Вы написали) ни один из этих базисов не обязан состоять из открытых множеств.
2. А теперь изменим ситуацию и в условиях пункта 1, пусть область определения топологическое пространство и базис фильтра, открытые в нём множества. И в этом случае образ этого базиса не обязан состоять из открытых множеств? Правильно я Вас понял?

Теперь по Зоричу.
Он не требует, чтобы каждый элемент базы ß отобразился в некоторое множество содержащееся в какой-либо окрестности V(А). Но его база отображается в базу? Т. е. если отображение по базе сходится к точке ${A}\in\mathbb{R}$, то его «отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.
Сообщение19.06.2009, 20:14 


20/04/09
1067
Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):
И в этом случае образ этого базиса не обязан состоять из открытых множеств?

не обязан, достаточно посмотреть на $f(x)=x^2$ в точке 0

Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):
«отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

это непонятно, «отображённая» база это набор множеств, база открытых окрестностей это набор открытых множеств. как один набор может содержаться в другом, но состоять из элементов, отличных от элементов этого другого набора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.
Сообщение19.06.2009, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
terminator-II в сообщении #223397 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):
«отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

это непонятно, «отображённая» база это набор множеств, база открытых окрестностей это набор открытых множеств. как один набор может содержаться в другом, но состоять из элементов, отличных от элементов этого другого набора?

Это я лажанулся. Конечно, каждый элемент «отображённой» базы содержится в некотором элементе базы открытых окрестностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group