Предел функции в общей топологии

[Anton_Peplov]

В курсе матанализа понятию предела функции традиционно уделяется много внимания. Дается два определения (по Гейне и по Коши), доказывается их эквивалентность. Студентов заваливают заданиями по вычислению пределов элементарных функций. Между тем ни в одном из учебников общей топологии, которые мне довелось листать - Виро и К, Энгелькинга, Келли, Куратовского - мне не удалось обнаружить понятие предела функции. Пределы последовательности, направленности, фильтра - есть, сколько угодно, предела функции - нет.

Надо ли понимать это так, что понятие предела функции, введенное для $\mathbb R$ и $\mathbb C$, не удается плодотворно обобщить на произвольное топологическое пространство? На первый взгляд, определение предела функции по Гейне - "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Гейне) при $x \to a$, если для любой сходящейся к $a$, но не содержащей $a$ последовательности $\{x_i\}$ последовательность $\{f(x_i)\}$ сходится к $b$" - можно перенести на произвольное топологическое пространство дословно. Предел по Коши я бы определил так: "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Коши) при $x \to a$, если для любой окрестности $B$ точки $b$ найдется проколотая окрестность $A$ точки $a$ такая, что $f(A) \subset B$". И тогда даже известное в топологии понятие непрерывности в точке можно формулировать как в матане: функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если имеет в этой точке предел по Коши, равный $f(a)$.

Конечно, в экзотических пространствах так определенные пределы получат непривычные свойства. Нарушится тождественность этих определений: легко показать, что если функция имеет в точке предел по Коши, она имеет в нем тот же предел по Гейне, но вот обратное без дополнительных ограничений на топологию, похоже, неверно. Далее, в дискретном пространстве сходятся только стационарные последовательности, значит, последовательностей, сходящихся к $a$, но не содержащих $a$, просто не будет. Поэтому, по принятым в математике правилам обращения с пустым множеством, придется считать, что любая функция имеет предел по Гейне в любой точке. Получится, что в этом пространстве у последовательности только один предел, а у функции сколько угодно - фигня какая-то. Но, положа сердце на руку - уж какая область не боится экзотических обобщений, так это общая топология. В тривиальной топологии любая точка является пределом любой последовательности, и чо? Далее, можно предположить, что в анализе понятие предела функции важно в связи с понятием производной, асимптотиками, разложением в ряды и др., чего в общей топологии нет и потому ей это не нужно. Эта версия меня тоже не убеждает, потому что сразу возникает встречный вопрос, а зачем общей топологии нужно все то, что в ней есть. Вот всю эту кучу экзотических понятий топологи нашли интересными, а пределу функции места не нашлось? Не верю. Третья версия: есть понятие, обобщающее понятие предела функции, какой-нибудь "ультракирдык функции", и собственно предел не интересен как мелкий частный случай. Тогда вопрос, как называется этот ультракирдык.

И, наконец, не исключено, что я что-то упустил. Например, определение предела функции в упомянутых книгах. Помогите, что ли, распутаться.

[Brukvalub]

Предел функции не является объектом изучения в общей топологии. Как известно, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. И этим все сказано. Зачем тому, кто уже непрерывен, понятие предела?

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):

Между тем ни в одном из учебников общей топологии, которые мне довелось листать... мне не удалось обнаружить понятие предела функции.

Понятие предела отображения топологических пространств -- бывает, и обычно соответствует вашему по Коши. Смотрите, например, Зорича "Математический анализ" т. 2.
Бывает и по Гейне (sequential limit). С по Коши он и впрямь не всегда совпадает. Но если из метризуемого в хаусдорфово -- совпадает.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):

Далее, можно предположить, что в анализе понятие предела функции важно в связи с понятием производной, асимптотиками, разложением в ряды и др., чего в общей топологии нет и потому ей это не нужно.

Придерживаюсь именно такого мнения.

Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):

Эта версия меня тоже не убеждает, потому что сразу возникает встречный вопрос, а зачем общей топологии нужно все то, что в ней есть. Вот всю эту кучу экзотических понятий топологи нашли интересными, а пределу функции места не нашлось? Не верю.

Меня очень печалит, когда такую ситуацию кто-то считает нормальной, тем более кто-то, серьёзно интересующийся именно этим разделом науки.
Ну, в самом деле, математикам делать нечего, кроме как "выдумывать экзотические конструкции"?
Если какое-то понятие введено в математику, оно необходимо, без него нельзя обойтись.
Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1183099 писал(а):

Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.

"Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри Харолд Харди (1877–1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел — дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического применения!"

[пианист]

Anton_Peplov
А, типа, значение, при котором функция непрерывна в точке, чем не устраивает?

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1183088 писал(а):

Предел функции не является объектом изучения в общей топологии. Как известно, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. И этим все сказано. Зачем тому, кто уже непрерывен, понятие предела?

Хм. Интересная идея. Теория разрывных функций из топологических пространств в топологические не является предметом изучения общей топологии. А ею вообще кто-то занимался, она в какие-нибудь учебники/монографии вошла?

Mikhail_K в сообщении #1183099 писал(а):

Если какое-то понятие введено в математику, оно необходимо, без него нельзя обойтись.
Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.

Я просто не понимаю, что значит "можно обойтись". Где обойтись? Так ли редко встречается ситуация, когда без понятия какого-нибудь синего хрямзика можно обойтись везде, кроме теории синих хрямзиков?

-- 09.01.2017, 20:02 --

пианист в сообщении #1183109 писал(а):

А, типа, значение, при котором функция непрерывна в точке, чем не устраивает?

Как определение предела по Коши? Устраивает. Можно предел определять через непрерывность в точке, можно непрерывность в точке через предел. Тот же арбуз, вид сбоку.

[пианист]

Anton_Peplov
А, сори, Вы же этот вариант и прописали.
А что тогда смущает?
Вроде как именно это свойство при любых вариациях на тему должно будет сохраняться, как иначе?

[Anton_Peplov]

пианист в сообщении #1183125 писал(а):

А что тогда смущает?

Смущает то, что понятие предела функции в общем топологическом пространстве мне не встретилось ни в одной книжке (вот спасибо несколькими сообщениями выше Зорича подсказали, там что-то похожее), и мне пришлось выдумывать его самостоятельно. Что сигнализирует, что с этим понятием что-то не так.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1183103 писал(а):

"Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри Харолд Харди (1877–1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел — дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического применения!"

Anton_Peplov в сообщении #1183113 писал(а):

Я просто не понимаю, что значит "можно обойтись". Где обойтись? Так ли редко встречается ситуация, когда без понятия какого-нибудь синего хрямзика можно обойтись везде, кроме теории синих хрямзиков?

Разумеется, я не имел в виду исключительно практическое применение.
А в том числе применение в самой теории или других математических теориях, для решения каких-то уже поставленных задач.
Но никто не придумывает новое понятие просто так, если оно не нужно ни на практике, ни для решения уже поставленных теоретических задач, ни для более простой и внятной переформулировки имеющихся теорий.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1183128 писал(а):

Но никто не придумывает понятие или теорию просто так, если оно не нужно ни на практике, ни для решения уже поставленных теоретических задач, ни для более простой и внятной переформулировки имеющихся теорий.

Ну вот мне было бы интересно рассмотреть разрывные функции в таких и сяких топологических пространствах, сделать классификации точек разрыва, посмотреть, при каких ограничениях на топологию какие варианты вылезают. Неужели я такой извращенец, что это интересно только мне?

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1183129 писал(а):

Ну вот мне было бы интересно рассмотреть разрывные функции в таких и сяких топологических пространствах, сделать классификации точек разрыва, посмотреть, при каких ограничениях на топологию какие варианты вылезают. Неужели я такой извращенец, что это интересно только мне?

Мне тоже интересно. Более того, с разрывными отображениями метрических пространств мне самому приходилось слегка соприкоснуться, и эта теория имеет даже некоторые практические приложения.
(Но вот про классификацию точек разрыва ничего не скажу.)

Всё что Вы пишете - безусловно интересно для математика.
Потому что понятие непрерывного отображения топологических пространств, непрерывности в точке уже имеется - а поэтому автоматически имеется и понятие точки разрыва.

Это не то же самое, что переносить без надобности разные понятия на случай произвольных топологических пространств.
Вот в какой-то соседней теме возник чисто терминологический спор, имеется ли понятие предела в любых топологических пространствах, или только в хаусдорфовых со счётной базой.
Моё мнение здесь такое: при желании понятие предела можно ввести и для произвольных топологических пространств, но оно там банально ни для чего не нужно и не обладает некоторыми важными свойствами. Нет чувства, что пределы в таких пространствах - это "что-то реальное". Поэтому и не нужно их там вводить вообще. Хватит пределов в хаусдорфовых пространствах со счётной базой.
(Вот когда возникнет задача, требующая таких пределов, можно будет ими заняться.)

Насчёт предела функции - это понятие мне не кажется естественным даже в мат.анализе, хотя там без него и впрямь не обойтись. Не кажутся естественными вот эти проколотые окрестности. И если в топологии можно обойтись без этого неестественного понятия, так и нужно делать.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1183135 писал(а):

Это не то же самое, что переносить без надобности разные понятия на случай произвольных топологических пространств.

Я не про разные, а про понятие предела. Образующее единственный известный мне язык, на котором можно классифицировать точки разрыва.

Mikhail_K в сообщении #1183135 писал(а):

Не кажутся естественными вот эти проколотые окрестности.

Мне тоже они когда-то казались неестественными. А потом проникся и полюбил. Окрестностям ведь пирсинг устраивают не просто так. Две функции могут одинаково себя вести при приближении к точке, но по-разному в самой точке. И понятие предела красиво формализует этот факт, который, как известно, самая упрямая вещь в мире.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1183142 писал(а):

Образующее единственный известный мне язык, на котором можно классифицировать точки разрыва.

Скажем так, интуиция о классификации точек разрыва идёт из функций одной вещественной переменной. Уже в $\mathbb R^2$ ничего кроме устранимый/не устранимый так просто не придумать, и для отличия одного от другого достаточно понятия непрерывности и продолжимости отображения до непрерывного.

Продолжение непрерывных отображений с подмножества пространства на всё пространство является одним из основных разделов алгебраической топологии и называется "Теория препятствий".

Другие разделы математики, близкие к "многомерным разрывам" – геометрическая теория меры и теория особенностей ("теория катастроф"), см, например, книжки Федерера и Арнольда–Варченко–Гусейн-Заде.

[Anton_Peplov]

Спасибо.

-- 09.01.2017, 22:05 --

Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми. Легко показать, что в пушистом пространстве функция, имеющая в точке $a$ предел по Гейне, имеет тот же предел и по Коши.
Другое дело - а как убедиться в пушистости пространства? Она не гарантируется никакими аксиомами отделимости и счетности. Например, дискретное пространство не пушисто, хотя в нем выполняются все аксиомы отделимости и, если выбрать счетный носитель, все аксиомы счетности.