2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).

Я ничего не придумал лучше, чем проинтегрировать вторую производную $-Cx^2\le f(x)\le Cx^2$ и
в качестве решения взял
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
Cx^2,&0\le x\le 1\\
C(2-x)^2,& 1\le x\le 2\end{array}\right.
$$

я вообще осмысленные действия совершил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4141
alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):
Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).
А это условие не получится использовать с большей пользой? Например, взять какого-то недифференцируемого монстра (типа Вейерштрасса на соответствующем подынтервале), растянуть на нужный интервал, сильно поднять вверх внутри интервала и сгладить до существования первой производной только на границах интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11400
Кронштадт
alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):
Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).
При таком условии никакие особые монстры и не нужны, площадь и так можно сделать сколь угодно большой. См. картинку ниже, причем верхушку ломаной можно понимать на любой желаемый уровень (т.е. получать любую площадь).


Вложения:
qq.png
qq.png [ 15.62 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Pphantom в сообщении #1181004 писал(а):
При таком условии площадь можно сделать сколь угодно большой

Ну, наверное, ограниченность второй производной надо понимать в том смысле, что скачки первой ограничены... В общем, так понимать, чтобы осмысленно было задачу ставить)
Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4141
alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):
Ок... давайте гладкую функцию будем искать.
Достаточно гладкую или просто гладкую? Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:14 
Аватара пользователя


21/09/12
1414
Написал и передумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:25 
Заслуженный участник


14/01/11
1603
grizzly в сообщении #1181020 писал(а):
Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

Да вот хоть взять функцию, предложенную Pphantom-ом, и скруглить углы.
Не годится из-за ограничения на модуль второй производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:31 
Аватара пользователя


21/09/12
1414
Если задать ограничение ещё и по высоте, то есть над чем подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
grizzly в сообщении #1181020 писал(а):
Достаточно гладкую или просто гладкую?

$C^\infty$

-- Пт дек 30, 2016 16:49:01 --

atlakatl в сообщении #1181025 писал(а):
Если задать ограничение ещё и по высоте

они должны сидеть в ограничении на вторую производную

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:12 
Заслуженный участник


25/02/11
1499
alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):
Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

Непохоже. Можно ограничиться только симметричными решениями: $f(2-x)=f(x)$, иначе взять полусумму $(f(x)+f(2-x))/2$ с той же площадью. Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Vince Diesel в сообщении #1181032 писал(а):
Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$

И хорошо... Задача явно симметрична.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:27 
Заслуженный участник


25/02/11
1499
Но тогда нельзя взять ваше решение. Если первая производная увеличивается по максимуму (допускаемому оценкой на вторую производную, скажем $f''(x)=C$), от $x=0$ до $x=1/2$, то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4141
Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):
Но тогда нельзя взять ваше решение.
Ну так оно даже на $C^1$-гладкость не претендует.
А у всяких "шапочек" ограничения будто бы избыточные, но без них не так просто что-то явное рисовать с новыми ограничениями, не то что максимизировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:42 
Заслуженный участник


14/01/11
1603
Если говорить о гладких функциях, можно в качестве второй производной взять какой-нибудь арктангенс или гиперболический тангенс, масштабированный в желаемой степени. Есть подозрение, что супремумом площадей в этом случае будет результат из первого поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11400
Кронштадт
Тогда, разложив функцию в ряд Маклорена $f(x) = \sum\limits_{j=2}^\infty a_j \, x^j,$, получаем, что при условии $ \sum\limits_{j=2}^\infty j a_j = 0 $ нужно найти максимум $ \sum\limits_{j=2}^\infty \frac{a_j}{j}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group