2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство - как мера познания.
Сообщение05.11.2016, 14:11 


28/03/16
42
Всегда ли используя теорему нужно знать её доказательство для полного понимания этой теоремы?
Сможете доказать? - Ну... Я читал.
И так ли важно уметь воспроизвести данное доказательство или достаточно поймать идею доказательства?

Я понимаю, что данные вопросы могут показаться философскими(а могут и не показаться), но я впервые с ними сталкиваюсь и хотел бы услышать мнение знатоков форума на этот счет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение05.11.2016, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5544
На первых порах нужно воспроизводить доказательства для того, чтобы выработалось чувство, когда Вы можете довести идею до полного доказательства, а когда нет. Потом идеи доказательства надо усваивать до той степени, когда это чувство Вам говорит, что все уже понятно и детали Вы сможете доработать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение05.11.2016, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
Знание (и понимание) доказательства помогает понимать нюансы формулировки теоремы (в каких условиях она применима, а в каких - нет). Это может быть важно практически, и даже совсем не в математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение05.11.2016, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6619
Hogtown
Некоторые теоремы имеют по нескольку принципиально различных доказательств, и с точки зрения понимания не все они равноценны. Иной раз полезно знать несколько доказательств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5463
Новосибирск
Simple Fairy, теорема - это рыба, а доказательство - удочка. Что из них полезнее - решать Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
Удочка полезна тем, что может поймать много рыбы. Что-то за доказательствами я такого не замечал, чтобы одно доказательство подходило ко многим теоремам! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 11:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8259
Munin в сообщении #1168882 писал(а):
Удочка полезна тем, что может поймать много рыбы. Что-то за доказательствами я такого не замечал, чтобы одно доказательство подходило ко многим теоремам! :-)
А там составные удочки в основном: берете 3 удочки для карася, комбинируете и ловите щуку :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 11:42 


15/06/15
51
Москва
В большинстве случаев знание доказательств необходимо для глубокого понимания теоремы.
В общем случае доказательствами следует интересоваться как минимум по четырем причинам.
  1. Выработка глубокого понимания теоремы, общих критериев применимости, а также возможно вариантов её обобщения.
  2. Изучение различных приёмов, которые используются при построении доказательств.
  3. Тренировка в решении логических задач при воспроизведении доказательств.
  4. Выработка привычки требовать формальных обоснований, доказательств для любых утверждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
474
МО
Где-то (не помню, где) попадался забавный афоризм: теорема это оазис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
А что это значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 12:49 
Аватара пользователя


07/01/15
595
"Доказательства важнее теорем, а определения важнее доказательств" (с)

Пример: теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема сама по себе никакой смысловой нагрузки не несет $-$ итак очевидно, что, если мы прочертим линию от нижней полуплоскости к верхней, не отрывая ручку от бумаги, то обязательно пересечем общую границу этих полуплоскостей.

Но вот с доказательством совсем другое дело. Изучая доказательство, Вы в какой-то мере узнаёте, что на самом деле означает слово "компактность". А это уже совсем другое дело, другой уровень восприятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
Вот только эту теорему человек слышит (и доказывает) на первом курсе, а слово "компактность" встречает гораздо позже. Так что понять, что он "в какой-то мере узнаёт, что такое компактность", он не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 13:48 
Аватара пользователя


07/01/15
595
Munin, безусловно. Но позже человеку будет полезно держать в уме конкретный пример компакта $-$ отрезка, так ведь? И то конкретное поведение функции на компакте, которое он наблюдал $-$ это тоже хороший опыт.

Другими словами, это топологическое мясцо взрастет на костях классического анализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62041
Обычно говорят наоборот, что мясо нарастает на костях :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство - как мера познания.
Сообщение14.11.2016, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
474
МО
Munin
Типа математика в основном это как раз и есть одно сплошное "доказательство", зыбкие барханы силлогизмов, "страна теней, где "может быть" играют в прятки с "если". А теорема это нечто прочное, определенное, возможность остановиться, передохнуть и обдумать план дальнейших действий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group