Доказательство - как мера познания.

[Simple Fairy]

Всегда ли используя теорему нужно знать её доказательство для полного понимания этой теоремы?
Сможете доказать? - Ну... Я читал.
И так ли важно уметь воспроизвести данное доказательство или достаточно поймать идею доказательства?

Я понимаю, что данные вопросы могут показаться философскими(а могут и не показаться), но я впервые с ними сталкиваюсь и хотел бы услышать мнение знатоков форума на этот счет.

[Xaositect]

На первых порах нужно воспроизводить доказательства для того, чтобы выработалось чувство, когда Вы можете довести идею до полного доказательства, а когда нет. Потом идеи доказательства надо усваивать до той степени, когда это чувство Вам говорит, что все уже понятно и детали Вы сможете доработать.

[Munin]

Знание (и понимание) доказательства помогает понимать нюансы формулировки теоремы (в каких условиях она применима, а в каких - нет). Это может быть важно практически, и даже совсем не в математике.

[Red_Herring]

Некоторые теоремы имеют по нескольку принципиально различных доказательств, и с точки зрения понимания не все они равноценны. Иной раз полезно знать несколько доказательств.

[bot]

Simple Fairy, теорема - это рыба, а доказательство - удочка. Что из них полезнее - решать Вам.

[Munin]

Удочка полезна тем, что может поймать много рыбы. Что-то за доказательствами я такого не замечал, чтобы одно доказательство подходило ко многим теоремам! :-)

[Sonic86]

Munin в сообщении #1168882 писал(а):

Удочка полезна тем, что может поймать много рыбы. Что-то за доказательствами я такого не замечал, чтобы одно доказательство подходило ко многим теоремам!

А там составные удочки в основном: берете 3 удочки для карася, комбинируете и ловите щуку

[nazarov_m]

В большинстве случаев знание доказательств необходимо для глубокого понимания теоремы.
В общем случае доказательствами следует интересоваться как минимум по четырем причинам.

1. Выработка глубокого понимания теоремы, общих критериев применимости, а также возможно вариантов её обобщения.
2. Изучение различных приёмов, которые используются при построении доказательств.
3. Тренировка в решении логических задач при воспроизведении доказательств.
4. Выработка привычки требовать формальных обоснований, доказательств для любых утверждений.

[пианист]

Где-то (не помню, где) попадался забавный афоризм: теорема это оазис.

[Munin]

А что это значит?

[SomePupil]

"Доказательства важнее теорем, а определения важнее доказательств" (с)

Пример: теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема сама по себе никакой смысловой нагрузки не несет $-$ итак очевидно, что, если мы прочертим линию от нижней полуплоскости к верхней, не отрывая ручку от бумаги, то обязательно пересечем общую границу этих полуплоскостей.

Но вот с доказательством совсем другое дело. Изучая доказательство, Вы в какой-то мере узнаёте, что на самом деле означает слово "компактность". А это уже совсем другое дело, другой уровень восприятия.

[Munin]

Вот только эту теорему человек слышит (и доказывает) на первом курсе, а слово "компактность" встречает гораздо позже. Так что понять, что он "в какой-то мере узнаёт, что такое компактность", он не может.

[SomePupil]

Munin, безусловно. Но позже человеку будет полезно держать в уме конкретный пример компакта $-$ отрезка, так ведь? И то конкретное поведение функции на компакте, которое он наблюдал $-$ это тоже хороший опыт.

Другими словами, это топологическое мясцо взрастет на костях классического анализа.

[Munin]

Обычно говорят наоборот, что мясо нарастает на костях :-)

[пианист]

Munin
Типа математика в основном это как раз и есть одно сплошное "доказательство", зыбкие барханы силлогизмов, "страна теней, где "может быть" играют в прятки с "если". А теорема это нечто прочное, определенное, возможность остановиться, передохнуть и обдумать план дальнейших действий.