2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 18:44 


11/07/16
81
Добрый день.
Я пытаюсь разобраться, как поставить начальные и граничные условия для задачи следующего вида:
В бесконечном брусе прямоугольного сечения $(x, y) \in [-a, a] \times [-b, b]$ равномерно выделяется тепло плотностью $Q$. Поверхность бруса теплоизолирована за исключением полосы $x \in [-d, d] (d < a)$ на верхней грани. В пределах этой полосы через поверхность равномерно отводится тепловой поток $q$. Найти условие теплового равновесия, определить стационарное распределение температуры.

Насколько я понимаю, ввиду симметрии по оси $Z$ целесообразно рассмотреть сечение бруса $(x, y) \in [-a, a]\times[-b, b]$ с полосой $x \in [-d, d]$ и решать таким образом уравнение теплопроводности $\frac{\partial u}{\partial t}  - \beta^2 \Delta u = Q$ для двух координат $x$ и $y$. Нельзя ли сделать еще какие-то допущения, чтобы упростить задачу? И будет ли это уравнение однородным, ведь у нас есть источники тепла?

Если я верно понял, теплоизоляция всех стенок, за исключением одной полосы дает равенство нулю потока тепла через эти стенки:
$\frac{\partial u}{\partial x} \big|_{x \in [-a, a] \backslash x \in [-d, d]} = 0$

Как быть с остальными условиями?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.11.2016, 18:52 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- Вы бы хотя бы само уравнение теплопроводности записали...

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.11.2016, 20:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 01.11.2016, 20:15 --

Astroid в сообщении #1165123 писал(а):
Так вот я и не знаю, как (и нужно ли?) этот член учитывать, ведь процесс стационарный.
Естественно, нужно.

Собственно, что следует из стационарности? Напишите соответствующее условие (а потом посмотрите на то, что у Вас получилось для теплоизоляции). Как выглядит выражение для потока через границу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Posted automatically
Сообщение01.11.2016, 20:43 


11/07/16
81
Из стационарности следует $\frac{\partial u}{\partial t}\big|_ {t \to \infty} = 0 $, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:43 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Astroid в сообщении #1165100 писал(а):
В пределах этой полосы через поверхность равномерно отводится тепловой поток $q$.
Остается записать это условие. Размерности не указаны. Первое что приходит в голову
$\frac {\partial u}{\partial x} \big|_{x \in [-d, d], y=???} = q.$
Надо смотреть книгу или конспект лекций в поисках договорённостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:49 


11/07/16
81
Вроде логично, что в Вашем выражении в таком случае будет $y = b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Astroid в сообщении #1165145 писал(а):
Из стационарности следует $\frac{\partial u}{\partial t}\big|_ {t \to \infty} = 0 $, верно?
Да, но на практике Вас интересует уже предельный случай, не так ли?
GAA в сообщении #1165146 писал(а):
Остается записать это условие. Размерности не указаны. Первое что приходит в голову
Коэффициент теплопроводности было бы полезно оставить. :-) К такому виду оно, конечно, приведется, но тогда в правой части будет не $q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:51 


11/07/16
81
Pphantom,

(Оффтоп)

Спасибо большое за редакцию оригинального поста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:54 


27/08/16
10209
Astroid в сообщении #1165100 писал(а):
Нельзя ли сделать еще какие-то допущения, чтобы упростить задачу?
Ввиду симметрии можно рассмотреть задачу в области $(x, y) \in [0, a]\times[-b, b]$ с условием теплоизолированности на границе $x=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 20:58 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Pphantom в сообщении #1165152 писал(а):
Коэффициент теплопроводности было бы полезно оставить. :-) К такому виду оно, конечно, приведется, но тогда в правой части будет не $q$.
Да, конечно. Я через $q$ привык обозначать приведенный поток. Но тут это не уместно. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 21:05 


27/08/16
10209
Astroid в сообщении #1165100 писал(а):
Найти условие теплового равновесия
Можете ли вы ответить на этот вопрос сразу, без расчётов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 21:09 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
realeugene в сообщении #1165161 писал(а):
Можете ли вы ответить на этот вопрос сразу, без расчётов?
Я бы сказал, что ответить на этот вопрос нужно сразу. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение01.11.2016, 21:19 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Astroid в сообщении #1165100 писал(а):
И будет ли это уравнение однородным, ведь у нас есть источники тепла?
Оно не однородное, но стандартным образом сводится к однородному. Замена $u=u_0 +v$, где $v$ удовлетворяет уравнению Лапласа, а $u_0$ — очевидно чему. :) Больше не мешаю. :)

Upd. В стандартных обозначениях
$c\rho u_t = k u_{xx} + Q$,
$-k u _x \big|_{\partial D} = q$,
$c$ — удельная теплоёмкость, $\rho$ — плотность, $k$ — теплопроводность, $Q$ — плотность тепловых источников.
Это можно переписать в виде
$u_t = \beta^2 u_{xx} + f$, $f = Q/(c\rho)$
$ ku _x \big|_{\partial D} = -q$,
Т.е. если использовать стандартные обозначения, то нужно знак минус в граничном условии дописать. Или помнить. :) [произведение $c\rho$ --- видимо равно 1, при такой постановке задачи в начальном сообщении.]
Ну, а для поиска решения можно посмотреть в сторону теории потенциалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 01:12 


11/07/16
81
Pphantom в сообщении #1165163 писал(а):
realeugene в сообщении #1165161 писал(а):
Можете ли вы ответить на этот вопрос сразу, без расчётов?
Я бы сказал, что ответить на этот вопрос нужно сразу. :D

Рискую показаться невежей, но мне в голову идет что-то вроде уравнения непрерывности: $$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \widetilde{q} = Q$$, где $\widetilde{q}$ - плотность потока $q$. Но тогда непонятно откуда получить эту плотность.
GAA, обязательно в сторону метода потенциалов смотреть? Можно ли в принципе эту задачу решить методом Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 01:40 


27/08/16
10209
Astroid в сообщении #1165260 писал(а):
Рискую показаться невежей, но мне в голову идет что-то вроде уравнения непрерывности

Попытайтесь воспользоваться законом сохранения энергии в интегральной форме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group