2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение29.11.2016, 00:59 


31/03/06
1384
Я написал более простую программу:

Код:
   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of intervals";
   40   input Nintervals
   50   dim V(N),B(N),W(N),Ph(N)
   70   for I=0 to Nintervals
   80   U=I/Nintervals
   90   In=cos(pi(2)/N)+#i*sin(pi(2)/N)
  100   for J=0 to N-1
  110   W(J)=1-U*In^(2*J)
  120   V(J)=W(J)^(1/2)
  130   next J
  140   for K=1 to N-2 step 2
  150   Combination$=""
  160   for I1=1 to N-K
  170   Combination$=Combination$+chr(I1)
  180   next I1
  190   B(K)=0
  200   while Combination$<>""
  210   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
  220   Combination$=fnNextComb(Combination$)
  230   wend
  240   next K
  250   for J=0 to N-1
  260   Ph(J)=0
  270   for K=1 to N-2 step 2
  280   Ph(J)=Ph(J)+B(K)*(W(J))^((K-1)/2)
  290   next K
  300   Ph(J)=Ph(J)+(W(J))^((N-1)/2)
  310   next J
  320   Norm_phi=1
  330   for J=0 to N-1
  340   Norm_phi=Norm_phi*Ph(J)
  350   next J
  360   ' print Norm_phi
  400   next I
2010   ' '=====================================
3000   dim Mb(N),Mw(N),Mi(N),Di(N,N),Mph(N)
3010   Delta=1/300000
3020   for J=0 to N-1
3030   Mw(J)=2*sin(J*pi(1)/N)
3040   if J<N/6 or J>5*N/6 then Mw(J)=1
3050   Mi(J)=Delta^(1/2)/2
3060   if J>N/4 and J<3*N/4 then Mi(J)=1
3070   if (J>0 and J<N/4) or J>3*N/4 then Mi(J)=abs(sin(J*2*pi(1)/N))^(1/2)
3080   next J
3120   for K=1 to N-2 step 2
3130   Combination$=""
3140   for I=1 to N-K
3150   Combination$=Combination$+chr(I)
3160   next I
3170   Mb(K)=0
3180   while Combination$<>""
3190   Mb(K)=Mb(K)+fnMBkComb(Combination$)
3200   Combination$=fnNextComb(Combination$)
3210   wend
3220   next K
3230   for K=1 to N-2 step 2
3250   Combination$=""
3260   for I=1 to N-K
3270   Combination$=Combination$+chr(I)
3280   next I
3290   Sum=0
3300   while Combination$<>""
3310   Sum=Sum+fnMBkComb(Combination$)*fnFracSumComb(Combination$)
3320   Combination$=fnNextComb(Combination$)
3330   wend
3340   for J=0 to N-1
3350   Di(K,J)=Mw(J)^((K-1)/2)*Sum+Mb(K)*Mw(J)^((K-3)/2)*((K-1)/2)
3360   next J
3370   next K
3380   for J=0 to N-1
3390   Di(N,J)=Mw(J)^((N-3)/2)*((N-1)/2)
3400   next J
3410   for J=0 to N-1
3420   Mph(J)=0
3430   for K=1 to N-2 step 2
3440   Mph(J)=Mph(J)+Mb(K)+Mw(J)^((K-1)/2)
3450   next K
3460   Mph(J)=Mph(J)+Mw(J)^((N-1)/2)
3470   next J
3480   Product=1
3490   for J=0 to N-1
3500   Product=Product*Mph(J)
3510   next J
3520   Sum2=0
3530   for J=0 to N-1
3540   Sum3=0
3550   for K=1 to N step 2
3560   Sum3=Sum3+Di(K,J)
3570   next K
3580   Sum2=Sum2+Sum3/Mph(J)
3590   next J
3600   Norm_diff=Delta*Product*Sum2
3610   print Norm_diff
3900   ' =========================================
4000   end
4350   fnNextComb(C$)
4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
4370   Indexdo=len(C$)
4380   ' find suitable index Indexdo
4390   loop
4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
4420   Indexdo=Indexdo-1
4430   if Indexdo=0 goto 4450
4440   endloop
4450   if Indexdo=0 then return("")
4460   B$=""
4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
4490   next I9
4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
4510   ' ===================================
4610   fnBkComb(C$)
4620   local I9,Ch,Product
4630   Product=1
4640   for I9=1 to len(C$)
4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4660   Product=Product*V(Ch-1)
4670   next I9
4680   return(Product)
4690   ' =====================================
4700   fnMBkComb(C$)
4710   local I9,Ch,Product
4720   Product=1
4730   for I9=1 to len(C$)
4740   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4750   Product=Product*Mw(Ch-1)^(1/2)
4760   next I9
4770   return(Product)
4780   ' =======================================
4800   fnFracSumComb(C$)
4810   local I9,Ch,Sum
4820   Sum=0
4830   for I9=1 to len(C$)
4840   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4850   Sum=Sum+1/(2*Mi(Ch-1)*Mw(Ch-1)^(1/2))
4860   next I9
4870   return(Sum)


После исправления нескольких ошибок, она выдаёт ожидаемые результаты и доказывает ВТФ для $n=5$ c приращением $\delta=1/300000$.

-- Вт ноя 29, 2016 01:38:47 --

Чтобы доказать ВТФ для $n=7$ этим способом нужно взять приращение $\delta=50000000$.
Программа справится, но будет работать долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение29.11.2016, 07:19 


31/03/06
1384
Немного улучшенная версия программы:

Код:
   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of intervals";
   40   input Nintervals
   50   dim V(N),B(N),W(N),Ph(N)
   60   Norm_at_u_1=fnGetNorm(1)
   70   for I=0 to Nintervals
   80   U=I/Nintervals
   90   Norm_at_u=fnGetNorm(U)
  100   if re(Norm_at_u)<re(Norm_at_u_1) then print "Norm at u=";U;" is less than Norm at u=1"
  110   next I
  120   print "Minimal norm=";re(Norm_at_u_1)
2010   ' =====================================
2020   ' caclulate the estimate of the norm difference
2030   ' =====================================
3000   dim Mb(N),Mw(N),Mi(N),Di(N,N),Mph(N)
3010   Delta=1/300000
3020   for J=0 to N-1
3030   Mw(J)=2*sin(J*pi(1)/N)
3040   if J<N/6 or J>5*N/6 then Mw(J)=1
3050   Mi(J)=Delta^(1/2)/2
3060   if J>N/4 and J<3*N/4 then Mi(J)=1
3070   if (J>0 and J<N/4) or J>3*N/4 then Mi(J)=abs(sin(J*2*pi(1)/N))^(1/2)
3080   next J
3120   for K=1 to N-2 step 2
3130   Combination$=""
3140   for I=1 to N-K
3150   Combination$=Combination$+chr(I)
3160   next I
3170   Mb(K)=0
3180   while Combination$<>""
3190   Mb(K)=Mb(K)+fnMBkComb(Combination$)
3200   Combination$=fnNextComb(Combination$)
3210   wend
3220   next K
3230   for K=1 to N-2 step 2
3250   Combination$=""
3260   for I=1 to N-K
3270   Combination$=Combination$+chr(I)
3280   next I
3290   Sum=0
3300   while Combination$<>""
3310   Sum=Sum+fnMBkComb(Combination$)*fnFracSumComb(Combination$)
3320   Combination$=fnNextComb(Combination$)
3330   wend
3340   for J=0 to N-1
3350   Di(K,J)=Mw(J)^((K-1)/2)*Sum+Mb(K)*Mw(J)^((K-3)/2)*((K-1)/2)
3360   next J
3370   next K
3380   for J=0 to N-1
3390   Di(N,J)=Mw(J)^((N-3)/2)*((N-1)/2)
3400   next J
3410   for J=0 to N-1
3420   Mph(J)=0
3430   for K=1 to N-2 step 2
3440   Mph(J)=Mph(J)+Mb(K)+Mw(J)^((K-1)/2)
3450   next K
3460   Mph(J)=Mph(J)+Mw(J)^((N-1)/2)
3470   next J
3480   Product=1
3490   for J=0 to N-1
3500   Product=Product*Mph(J)
3510   next J
3520   Sum2=0
3530   for J=0 to N-1
3540   Sum3=0
3550   for K=1 to N step 2
3560   Sum3=Sum3+Di(K,J)
3570   next K
3580   Sum2=Sum2+Sum3/Mph(J)
3590   next J
3600   Norm_diff=Delta*Product*Sum2
3610   print "Norm difference=";re(Norm_diff)
3620   print "delta=1 /";int(1/Delta)
3900   ' =========================================
4000   end
4350   fnNextComb(C$)
4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
4370   Indexdo=len(C$)
4380   ' find suitable index Indexdo
4390   loop
4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
4420   Indexdo=Indexdo-1
4430   if Indexdo=0 goto 4450
4440   endloop
4450   if Indexdo=0 then return("")
4460   B$=""
4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
4490   next I9
4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
4510   ' ===================================
4610   fnBkComb(C$)
4620   local I9,Ch,Product
4630   Product=1
4640   for I9=1 to len(C$)
4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4660   Product=Product*V(Ch-1)
4670   next I9
4680   return(Product)
4690   ' =====================================
4700   fnMBkComb(C$)
4710   local I9,Ch,Product
4720   Product=1
4730   for I9=1 to len(C$)
4740   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4750   Product=Product*Mw(Ch-1)^(1/2)
4760   next I9
4770   return(Product)
4780   ' =======================================
4800   fnFracSumComb(C$)
4810   local I9,Ch,Sum
4820   Sum=0
4830   for I9=1 to len(C$)
4840   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4850   Sum=Sum+1/(2*Mi(Ch-1)*Mw(Ch-1)^(1/2))
4860   next I9
4870   return(Sum)
4900   ' ===========================================
5000   fnGetNorm(U)
5002   local In,J,K,I1,Combination$
5010   In=cos(pi(2)/N)+#i*sin(pi(2)/N)
5020   for J=0 to N-1
5030   W(J)=1-U*In^(2*J)
5040   V(J)=W(J)^(1/2)
5050   next J
5060   for K=1 to N-2 step 2
5070   Combination$=""
5080   for I1=1 to N-K
5090   Combination$=Combination$+chr(I1)
5100   next I1
5110   B(K)=0
5120   while Combination$<>""
5130   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
5140   Combination$=fnNextComb(Combination$)
5150   wend
5160   next K
5170   for J=0 to N-1
5180   Ph(J)=0
5190   for K=1 to N-2 step 2
5200   Ph(J)=Ph(J)+B(K)*(W(J))^((K-1)/2)
5210   next K
5220   Ph(J)=Ph(J)+(W(J))^((N-1)/2)
5230   next J
5240   Norm_phi=1
5250   for J=0 to N-1
5260   Norm_phi=Norm_phi*Ph(J)
5270   next J
5280   return(Norm_phi)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение01.12.2016, 11:42 


31/03/06
1384
Обоснуем теперь случай произвольного нечётного простого $n$ так, как мы сделали это для $n=5$.
Пусть $w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$, $v=\sqrt{w}$, $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$.

Тогда

(70) $b_{n-1} w^{(n-1/2)}+b_{n-3} w^{(n-3/2)}+...+b_2 w+b_0=$ $(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) v$,

Из (70) следует:

(71) $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $w-t_k$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$.

Если $w-t_k$ и $w_1-t_k$ имеют общий делитель (идеал), то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.

Тогда $\rho_1$ входит в разложение $n-1$ из $n$ сопряжённых чисел $w-t_k, w_1-t_k, ..., w_{n-1}-t_k$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих $n$ чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$.
В произведение $n$ чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+(n-1) m_1$.

Из этого и (71) следует:

(72) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1}  (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$.

Перемножая сравнения (72) для $k=1, 2, ..., (n-1)/2$ получим:

(73) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, причём $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$ - целое рациональное число.

Из (73) следует:

(74) $(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (74) следует:

(75) $(x y)^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (75) следует неравенство:

(76) $z^{(n-1)/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение09.12.2016, 13:59 


31/03/06
1384
Я вижу ошибку: из (75) следует неравенство:

(76) $z^{(n-1)^2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Что ставит под сомнение наше доказательство, в том числе и для $n=5$.
Вопрос теперь в том, можно ли его спасти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение09.12.2016, 15:49 


31/03/06
1384
Думаю, что можно, потому что обоснование можно уточнить.
Пусть $x y$ делится на идеал $\rho$, и $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho$, где $w=z^2-\sqrt[n]{4} x y$.
Тогда $w \equiv z^2 \mod \rho$, и из того, что $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho$ следует: $z^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+C_n^{n-1})=z^{n-1} 2^{n-1}$ делится на $\rho$.
Следовательно, $2^{n-1}$ делится на $\rho$.

Пусть $x y$ делится на идеал $\rho^m$, где $m$ - наибольший такой показатель.
Если $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Если $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, где $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{m_1}$.

Из (75) теперь следует:

(75.1) $2^{(n-1)^3/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (75.1) следует:

(76.1) $2^{(n-1)^3/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение09.12.2016, 23:57 


31/03/06
1384
В этом сообщении $t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}$ корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$, где $w=1-u$.

Покажем, что $\lvert t_k \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.
Предположим, что это не так, и для некоторого $k$: $\lvert t_k \rvert>2^n$.
Тогда $\lvert b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t_k+b_1 \rvert<\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} (\sqrt{2})^2 2^{n-1}=\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} 2^n$, и

$\lvert t_k^{(n-1)/2}+b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t+b_1 \rvert>\lvert t_k \rvert^{(n-1)/2}-\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} 2^n>0$.

Но $t_k^{(n-1)/2}+b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t_k+b_1=0$.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и

(77) $\lvert t_k \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.

Из (77) следует:

(78) $\lvert b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert<\sqrt{2} \, 2^{n (n-1)/2} 2^{n-1}<2^{n (n+1)/2}$.

Из (78) следует:

(79) левая часть неравенства (76.1) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$.

Продолжение следует.

-- Сб дек 10, 2016 00:27:58 --

При переходе от $w=z^2-x y\sqrt[n]{4}$ к $w=1-u$, новые $t_k$ равны старым $t_k$, делённым на $z^2$.
Следовательно, новая левая часть неравенства (76.1) равна старой, делённой на $z^{n (n-1)/2}$.
Мы завершим обоснование доказательства, если докажем, что $z^{n (n-1)/2}>2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$ или $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.12.2016, 04:31 


31/03/06
1384
Если $x$ или $y$ делится на $n$, то из соотношений Barlow ((1C) стр. 102, "Fermat's Last Theorem For Amateurs") следует, что $z>n^{2 n-1}$,
следовательно $z^n>n^{n (2 n-1)}>2^{n (2 n-1)}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $2 n^2-n>3/2 n^2-3/2 n+1$.

Если $z$ делится на $n$, то $(z-x)+(z-y)$ делится на $n$, каждое из слагаемых является $n$-ой степенью, и одно из них не меньше $3^n$ (при $n>3$). Следовательно, если $z$ делится на $n$, то $z^n \ge 3^{n^2}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $9^{n^2/2}>8^{((n-1)^2+n (n+1)/2)/3}$.
Последнее неравенство следует из того, что $n^2/2>((n-1)^2+n (n+1)/2)/3$, поскольку $3 n^2>3 n^2-3 n+2$.

Мы доказали:

(80) Если $x y z$ делится на $n$, то $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Продолжение следует.

-- Сб дек 10, 2016 04:39:46 --

Мы не рассматриваем первый случай ВТФ ($x y z$ не делится на $n$), так как его доказывает теорема Фуртвенглера.
Во втором случае ВТФ, неравенство (80) завершает обоснование нашего метода доказательста.
Поэтому наш метод доказательства доказывает ВТФ для $n=5$ и $n=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.12.2016, 09:13 


31/03/06
1384
Я вижу недоработку в обосновании: переход от (73) к (74) необоснован.
Обоснуем этот переход.
Пусть $i_n-1$ делится на идеал $\rho$.
Тогда все сопряжённые с $w$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$, и все сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.

Поскольку $x y z$ делится на $n$, то $v^{n-1} 2^{n-1}$ не делится на $\rho$, следовательно $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$.

Значит из (73) следует (74).

Необоснован также переход от (74) к (75), и (75) неверно.

Если $x y \sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$ и $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$, то $z^{n-1} 2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Если $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Пусть $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho$, но не делится на $\rho^m$.
Тогда $x y$ - чётное число, следовательно $z$ - нечётное, значит $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

В любом случае $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Значит из (74) следует (75.1)

Желательно написать обоснование снова с исправлением ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение11.12.2016, 05:08 


31/03/06
1384
Изложим обоснование нашего метода ещё раз, более подробно и с исправлением ошибок.

Пусть $w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$, $v=\sqrt{w}$, $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$.
Пусть $x y z$ делится на $n$.

Тогда

(70) $b_{n-1} w^{(n-1/2)}+b_{n-3} w^{(n-3/2)}+...+b_2 w+b_0=$ $(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) v$,

Из (70) следует:

(71) $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $w-t_k$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Если $w-t_k$ и $w_1-t_k$ имеют общий делитель (идеал), где $w_1$ - одно из сопряжённых с $w$ чисел, то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.

Тогда $\rho_1$ входит в разложение $n-1$ из $n$ сопряжённых чисел $w-t_k, w_1-t_k, ..., w_{n-1}-t_k$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих $n$ чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$.
В произведение этих $n$ чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+(n-1) m_1$.

Из этого и (71) следует:

(72) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1} (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Перемножая сравнения (72) для $k=1, 2, ..., (n-1)/2$ получим:

(73) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, причём $\prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ и $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ - целые рациональные числа.

Пусть $\rho$ - какой-либо идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ (не обязательно простой), на который делится число $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$.
Тогда все сопряжённые с $w$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$, и все сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.
Для любого $k=0, 1, ..., n-1$: $b_k \equiv C_n^{n-k} v^{n-k} \mod \rho$.
Следовательно, $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1 \equiv v^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})=$ $v^{n-1} 2^{n-1} \mod \rho$.
Таким образом, имеет место:

(73.1) Если $\rho$ - какой-либо идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ (не обязательно простой), на который делится число $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1 \equiv v^{n-1} 2^{n-1} \mod \rho$.

Сравнение (73.1) остаётся верным, если в нём заменить $w$ на любое из сопряжённых с $w$ чисел.

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, на который делится число $i_n-1$.
Тогда $v^{n-1} 2^{n-1}$ не делится на $\rho$, в силу условия: $x y z$ делится на $n$.
Из этого и (73.1) следует:

(73.2) Если $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, на который делится число $i_n-1$, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$.

Сравнение (73.2) остаётся верным, если в нём заменить $w$ на любое из сопряжённых с $w$ чисел.

Из (73) и (73.2) следует:

(74) $(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, делящий $x y \sqrt[n]{4}$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m$.
Пусть $m_1$ - степень, с которой $\rho$ входит в разложение числа $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ (пусть $m_1=0$, если $\rho$ не входит в разложение этого числа).
Если $\sqrt[n]{4}$ не делится на $\rho$, то $m_1=0$ поскольку $x y$ делится на $\rho$, $z$ не делится на $\rho$, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \not \equiv 0 \mod \rho$, из чего следует, что $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$, в силу сравнения (73.1).
Пусть $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho$.
Если $m_1<m$ и $x y$ -нечётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, поскольку $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$ делится на $\rho^{m_1}$.
Если $m_1<m$ и $x y$ -чётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, поскольку $z$ - нечётное число, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \equiv 0 \mod \rho^{m_1}$, в силу (73.1).
Значит, если $m_1<m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$.
Пусть $m_1 \ge m$.
Если $x y$ -нечётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$, поскольку $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$.
Если $x y$ -чётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$, поскольку $z$ - нечётное число, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \equiv 0 \mod \rho^m$, в силу (73.1).
Значит, если $m_1 \ge m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

Мы доказали:

(74.1)
Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, делящий $x y \sqrt[n]{4}$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m$.
Пусть $m_1$ - степень, с которой $\rho$ входит в разложение числа $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ (пусть $m_1=0$, если $\rho$ не входит в разложение этого числа).
Если $m_1<m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$.
Если $m_1 \ge m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

Из (74) и (74.1) следует:

(75.1) $2^{(n-1)^3/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.

В самом деле, если $m_1<m$, то $2^{(n-1)^3/2}$ делится на $\rho^{n m_1}$, поскольку $2^{n (n-1)}$ делится на $\rho^{n m_1}$.
А если $m_1 \ge m$, то $2^{(n-1)^3/2}$ делится на $\rho^{m (n-1)^2/2}$, поскольку $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Следовательно если $m_1 \ge m$, то левая часть сравнения (75.1) делится на не меньшую степень $\rho$, чем левая часть сравнения (74), которая делится на $\rho^{n m_1}$.

Из (75.1) следует:

(76.1) $2^{(n-1)^3/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert \ge $ $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert$.

Пусть $t_1(u), t_2(u), ..., t_{(n-1)/2}(u)$ корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)$, где $w(u)=1-u$.

Из (76.1) следует:

(76.2) $2^{(n-1)^3/2} $ $\lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert \ge $ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w(u)^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)) \rvert$.

Покажем, что $\lvert t_k(u) \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.
Предположим, что это не так, и для некоторого $k$: $\lvert t_k(u) \rvert>2^n$.
Тогда $\lvert b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t_k(u)+b_1(u) \rvert<$ $\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} (\sqrt{2})^2 2^{n-1}=\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} 2^n$, и

$\lvert t_k^{(n-1)/2}(u)+b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t(u)+b_1(u) \rvert>$ $\lvert t_k(u) \rvert^{(n-1)/2}-\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} 2^n>0$.

Но $t_k^{(n-1)/2}(u)+b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t_k(u)+b_1(u)=0$.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и

(77) $\lvert t_k(u) \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.

Из (77) следует:

(78) $\lvert b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert<$ $\sqrt{2} \, 2^{n (n-1)/2} 2^{n-1}<2^{n (n+1)/2}$.

Из (78) следует:

(79) левая часть неравенства (76.2) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$.

Для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$: $t_k(u)=t_k/z^2$.
Следовательно, левая часть неравенства (76.2) равна левой части неравенства (76.1), делённой на $z^{n (n-1)/2}$.
Осталось показать, что $z^{n (n-1)/2}>2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$ или $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Если $x$ или $y$ делится на $n$, то из соотношений Barlow ((1C) стр. 102, "Fermat's Last Theorem For Amateurs") следует, что $z>n^{2 n-1}$,
следовательно $z^n>n^{n (2 n-1)}>2^{n (2 n-1)}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $2 n^2-n>3/2 n^2-3/2 n+1$.

Если $z$ делится на $n$, то $(z-x)+(z-y)$ делится на $n$, каждое из слагаемых является $n$-ой степенью, и одно из них не меньше $3^n$ (при $n>3$). Следовательно, если $z$ делится на $n$, то $z^n \ge 3^{n^2}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $9^{n^2/2}>8^{((n-1)^2+n (n+1)/2)/3}$.
Последнее неравенство следует из того, что $n^2/2>((n-1)^2+n (n+1)/2)/3$, поскольку $3 n^2>3 n^2-3 n+2$.

Если $z$ делится на $n$, где $n=3$, то $z>9$, что проверяется перебором всех вариантов равенства Ферма при $z \le 9$, следовательно $z \ge 12$,
следовательно $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, поскольку $12^3>2^{10}$.

Мы доказали:

(80) Если $x y z$ делится на $n$, то $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Мы не рассматриваем первый случай ВТФ ($x y z$ не делится на $n$), так как его доказывает теорема Фуртвенглера.
Во втором случае ВТФ, неравенство (80) завершает обоснование нашего метода доказательста.
Поэтому наш метод доказательства доказывает ВТФ для $n=3, n=5$ и $n=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение11.12.2016, 09:03 


31/03/06
1384
Исправим неточность, неравенство (76.2) имеет вид:

(76.2) $2^{(n-1)^3/2} $ $\lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert/z^{n (n-1)/2} \ge $ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w(u)^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)) \rvert$.

(79) левая часть неравенства (76.2) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}/z^{n (n-1)/2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение11.12.2016, 15:20 


31/03/06
1384
Теперь мы можем открыть новую тему и изложить итоговое доказательство ВТФ для $n=3, n=5, n=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение12.12.2016, 23:55 


31/03/06
1384
Я увидел ещё одну ошибку: если $x y \sqrt[n]{4}$ делится на простой идеал $\rho$, то не обязательно сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.
Снова возникает вопрос: можно ли спасти доказательство?
Думаю, что можно, потому что меньшие значения чем $2^{n-1}$ в (74.1) не меняют неравенства (76.1).
Пока я не разберусь в этом вопросе, я не продолжу новую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение13.12.2016, 10:17 


31/03/06
1384
Мы знаем, что если $x y$ делится на $\rho^m$, где $\rho$ - простой идеал, то часть сопряжённых с $v$ чисел сравнима с $z$, а часть с $-z$ по модулю $\rho^m$.
Я проверил, что если есть минусы и плюсы, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$.
Это проверяет следующий код:

Код:
   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of -1";
   40   input Nm
   42   dim B(N),O(N)
   44   for I=0 to N-1
   46   O(I)=1:if I<Nm then O(I)=-1
   48   next I
   50   for K=1 to N
   60   Combination$=""
   70   for I=1 to K
   80   Combination$=Combination$+chr(I)
   90   next I
  100   B(K)=0
  110   while Combination$<>""
  120   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
  130   Combination$=fnNextComb(Combination$)
  140   wend
  150   next K
  160   Sum=1
  170   for K=2 to N-1 step 2
  180   Sum=Sum+B(K)
  190   next K
  200   print Sum
  210   Sum=0
  220   for K=1 to N step 2
  230   Sum=Sum+B(K)
  240   next K
  250   print Sum
  260   end
4350   fnNextComb(C$)
4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
4370   Indexdo=len(C$)
4380   ' find suitable index Indexdo
4390   loop
4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
4420   Indexdo=Indexdo-1
4430   if Indexdo=0 goto 4450
4440   endloop
4450   if Indexdo=0 then return("")
4460   B$=""
4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
4490   next I9
4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
4510   ' ===================================
4610   fnBkComb(C$)
4620   local I9,Ch,Product
4630   Product=1
4640   for I9=1 to len(C$)
4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4660   Product=Product*O(Ch-1)
4670   next I9
4680   return(Product)


Код выдаёт нули, если количество $-1$ не равно нулю, и $2^{n-1}$, если количество $-1$ не равно нулю (это мы знали).
Значит $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$.
Это не проблема, потому что множитель $(x y \sqrt[n]{4})^n$ допустим.
Вопрос в том, может ли $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{m+1}$ или даже на $\rho^{m (n-1)/2}$?
я продолжаю над этим думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение13.12.2016, 22:31 


31/03/06
1384
Ответ на предыдущий вопрос: да может.
Если при $n=5$, $\rho$ соответствует двум или трём минусам, то $t_1-t_2$, $w-t_1$ и $w-t_2$ делятся на $\rho^m$.
Значит $w^2+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{2 m}$.
Получается, что мы допустили ошибку уже для $n=5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение14.12.2016, 05:40 


31/03/06
1384
Итак, при $n=5$, если простой идеал $\rho$, входит в разложение числа $x y \sqrt[n]$ cо степенью $m$, и $\rho$ соответствует двум минусам (то есть, например, $v \equiv z, v(i_n) \equiv -z, v(i_n^2) \equiv -z, v(i_n^3) \equiv z, v(i_n^4) \equiv z \mod \rho^m$), то $w-t_1$ делится на $\rho^m$ (где $t_1$ - корень многочлена $w^2+b_3 w+...+b_1$).
Можно ли утверждать, что $w-t_1$ не делится на $\rho^{m+1}$?

Имеем: $v \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} \mod \rho^{m+1}$, в чём легко убедится путём возведения этого сравнения в квадрат.
Также $v(i_n) \equiv -z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^2, v(i_n^2) \equiv -z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^4, v(i_n^3) \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^6,$ $v(i_n^4) \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^8 \mod \rho^{m+1}$, где $v(i_n^j)=\sqrt{z^2-x y \sqrt[n] {4} i_n^{2 j}}$ для $j=1, 2, 3, 4$.

С помощью этих формул, вопрос может быть решён, я буду этим заниматься.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group