Изложим обоснование нашего метода ещё раз, более подробно и с исправлением ошибок.
Пусть
![$w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$ $w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/3/1b3258b56dcf3f1f384d38569a2a396482.png)
,

,

.
Пусть

делится на

.
Тогда
(70)

,
Из (70) следует:
(71)

делится на

,
в поле
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c5785d89df2ac1de1072c78e5ba6382682.png)
, для любого

,
где

- комплексные корни многочлена

.
Если

и

имеют общий делитель (идеал), где

- одно из сопряжённых с

чисел, то
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
делится на этот идеал.
Пусть

- какой-либо простой идеал, делящий
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
и входящий в разложение этого числа со степенью

.
Тогда

входит в разложение

из

сопряжённых чисел

со степенью не больше

, а в одно из этих

чисел - со степенью, скажем,

, которая не больше чем в разложении числа

.
В произведение этих

чисел, идеал

входит со степенью не больше

.
Из этого и (71) следует:
(72)
![$(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1} (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$ $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1} (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/6/996a5f2df6e4425a874035a784955ce182.png)
делится на
![$N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$ $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/9/ff9e2800f48acbfb237e57a9d59eeadc82.png)
,
в поле
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c5785d89df2ac1de1072c78e5ba6382682.png)
, для любого

,
где

- комплексные корни многочлена

.
Перемножая сравнения (72) для

получим:
(73)
![$(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/6/6f6197e6a52609232294114735d6324e82.png)
делится на

,
в поле
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
, причём

и

- целые рациональные числа.
Пусть

- какой-либо идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
(не обязательно простой), на который делится число
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
.
Тогда все сопряжённые с

числа сравнимы между собой по модулю

, и все сопряжённые с

числа сравнимы между собой по модулю

.
Для любого

:

.
Следовательно,

.
Таким образом, имеет место:
(73.1) Если

- какой-либо идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
(не обязательно простой), на который делится число
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
, то

.
Сравнение (73.1) остаётся верным, если в нём заменить

на любое из сопряжённых с

чисел.
Пусть

- какой-либо простой идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
, на который делится число

.
Тогда

не делится на

, в силу условия:

делится на

.
Из этого и (73.1) следует:
(73.2) Если

- какой-либо простой идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
, на который делится число

, то

не делится на

.
Сравнение (73.2) остаётся верным, если в нём заменить

на любое из сопряжённых с

чисел.
Из (73) и (73.2) следует:
(74)
![$(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ $(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/f/10feb221368cc84cc234c3e51f9f271e82.png)
делится на

.
Пусть

- какой-либо простой идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
, делящий
![$x y \sqrt[n]{4}$ $x y \sqrt[n]{4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/2/552ebf54c73d217cd12cad8b288e238782.png)
и входящий в разложение этого числа со степенью

.
Пусть

- степень, с которой

входит в разложение числа

(пусть

, если

не входит в разложение этого числа).
Если
![$\sqrt[n]{4}$ $\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249b088fd9588ff7ad83532aba75926c82.png)
не делится на

, то

поскольку

делится на

,

не делится на

, и

, из чего следует, что

не делится на

, в силу сравнения (73.1).
Пусть
![$\sqrt[n]{4}$ $\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249b088fd9588ff7ad83532aba75926c82.png)
делится на

.
Если

и

-нечётное число, то

делится на

, поскольку
![$\sqrt[n]{4}$ $\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249b088fd9588ff7ad83532aba75926c82.png)
делится на

делится на

.
Если

и

-чётное число, то

делится на

, поскольку

- нечётное число, и

, в силу (73.1).
Значит, если

, то

делится на

.
Пусть

.
Если

-нечётное число, то

делится на

, поскольку
![$\sqrt[n]{4}$ $\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249b088fd9588ff7ad83532aba75926c82.png)
делится на

.
Если

-чётное число, то

делится на

, поскольку

- нечётное число, и

, в силу (73.1).
Значит, если

, то

делится на

.
Мы доказали:
(74.1)
Пусть

- какой-либо простой идеал поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719b7ec7c5cd22a322630ab38e60d4a882.png)
, делящий
![$x y \sqrt[n]{4}$ $x y \sqrt[n]{4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/2/552ebf54c73d217cd12cad8b288e238782.png)
и входящий в разложение этого числа со степенью

.
Пусть

- степень, с которой

входит в разложение числа

(пусть

, если

не входит в разложение этого числа).
Если

, то

делится на

.
Если

, то

делится на

.
Из (74) и (74.1) следует:
(75.1)

делится на

.
В самом деле, если

, то

делится на

, поскольку

делится на

.
А если

, то

делится на

, поскольку

делится на

.
Следовательно если

, то левая часть сравнения (75.1) делится на не меньшую степень

, чем левая часть сравнения (74), которая делится на

.
Из (75.1) следует:
(76.1)

.
Пусть

корни многочлена

, где

.
Из (76.1) следует:
(76.2)

.
Покажем, что

, для любого

.
Предположим, что это не так, и для некоторого

:

.
Тогда

, и

.
Но

.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и
(77)

, для любого

.
Из (77) следует:
(78)

.
Из (78) следует:
(79) левая часть неравенства (76.2) меньше

.
Для любого

:

.
Следовательно, левая часть неравенства (76.2) равна левой части неравенства (76.1), делённой на

.
Осталось показать, что

или

.
Если

или

делится на

, то из соотношений Barlow ((1C) стр. 102, "Fermat's Last Theorem For Amateurs") следует, что

,
следовательно

, так как

.
Если

делится на

, то

делится на

, каждое из слагаемых является

-ой степенью, и одно из них не меньше

(при

). Следовательно, если

делится на

, то

, так как

.
Последнее неравенство следует из того, что

, поскольку

.
Если

делится на

, где

, то

, что проверяется перебором всех вариантов равенства Ферма при

, следовательно

,
следовательно

, поскольку

.
Мы доказали:
(80) Если

делится на

, то

.
Мы не рассматриваем первый случай ВТФ (

не делится на

), так как его доказывает теорема Фуртвенглера.
Во втором случае ВТФ, неравенство (80) завершает обоснование нашего метода доказательста.
Поэтому наш метод доказательства доказывает ВТФ для

и

.