Первая теорема Гёделя

[Rubik]

Добрый вечер. Решил разобраться с первой теоремой Гёделя, ознакомился с доказательством её в Википедии https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_Gödel%27s_first_incompleteness_theorem и по ссылке из этой статьи http://www.apronus.com/math/goedel.htm . Там строится некоторое утверждение $P(G(P))$, в дальнейшем просто $\pi$, которое оказывается эквивалентным утверждению "$\pi$ недоказуемо". Затем доказывается, что ни $\pi$, ни его отрицание недоказуемы. Не следует ли из этого, что $\pi$ верно, из его эквивалентности своей недоказуемости? Таким рассуждением была доказана истинность утверждения $\pi$, при том, что была доказана его недоказуемость. Как понимать эту ситуацию?

[mihaild]

Недоказуемость отрицания $\pi$ доказана в предположении $\omega$-непротиворечивости теории - которая, в свою очередь, недоказуема в теории.

[Lukin]

Доказуемость - только часть истины

[mihaild]

Lukin в сообщении #1114652 писал(а):

Доказуемость - только часть истины

Поясните, пожалуйста.

[Anton_Peplov]

Rubik в сообщении #1114526 писал(а):

Как понимать эту ситуацию?

Не существует "доказуемости вообще" и "недоказуемости вообще". Существует доказуемость и недоказуемость в конкретной теории - т.е. выводимость и невыводимость из аксиом теории посредством правил вывода теории. В первой теореме Геделя показано, что в формальной арифметике первого порядка существует утверждение, которое нельзя вывести из аксиом формальной арифметики первого порядка посредством правил вывода формальной арифметики первого порядка - т.е. оно недоказуемо в формальной арифметике первого порядка. В более мощной теории это же утверждение может быть доказуемо, так что противоречия здесь нет.

-- 13.04.2016, 20:44 --

Lukin
Человек задал математический вопрос. Вы не могли бы не сбивать его философией?