Задача на построения треугольника

[timtam]

Задача поставлена так:
С помощью циркуля и линейки построить теугольник если известны точки пересечения его биссектрис с описанной окружностью.

Стандатрно эта задача решается составлением (и решением) системы 3-х уравнений для дуг описанной окружности.
Т.е. сперва некая алгебра и только затем построения.

Я решил эту задачу еще одним способом.


т.е. построил сначала $\Delta ILK$, подобный искомому ($\Delta ABC$)
потом построил $\Delta TUV$ подобный $\Delta ILK$ и $\Delta ABC$.
затем продлив линии соединяющие вершины $T$ и $I$, $V$ и $L$, $U$ и $K$ до пересечения с исходной окружностью
получил искомые точки $\Delta ABC$

Вот только доказательство правильности построений не получается.
Т.е. нужно доказать, что вершины подобных треугольников, построенных как на чертеже, лежат на 3-х прямых (лучах)
С чего начать доказательство?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

timtam
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[BVR]

Пусть $P$ - точка пересечения $UK$ и $VL$. Рассмотрите гомотетию с центром в этой точке, переводящую пунктирную окружность в сплошную и обратную к ней.

[Skeptic]

В окружности проводим хорду - это одна из сторон треугольника и две вершины. Из середины одной из дуг проводим хорду. Получаем третью вершину треугольника.

[timtam]

Цитата:

В окружности проводим хорду - это одна из сторон треугольника и две вершины. Из середины одной из дуг проводим хорду. Получаем третью вершину треугольника.

К чему вы это?
И, если вас не затруднит, конкретизируйте пожалуйста ваши "построения" по чертежу, представленному в этой ветке.

-- 09.03.2015, 15:43 --

Цитата:

Пусть $P$ - точка пересечения $UK$ и $VL$. Рассмотрите гомотетию с центром в этой точке, переводящую пунктирную окружность в сплошную и обратную к ней.

Идея понятна. Точка $W$ ( Точка $P$ на чертеже уже присутствовала) является центром гомотетии как для окружностей,
так и для треугольников. Следовательно вершины всех подобных построенных треугольников лежат на лучах проходящих от центра гомотетии через соответствующие вершины.
Осталось только доказать, что точка $W$ является центром гомотетии данной системы.

[grizzly]

timtam
Я не особенно глубоко вник, но в этом разделе форума вникать должен ТС
Меня может сбивать уже полностью готовый рисунок, но я пока не пойму, зачем нужен внешний треугольник. Поэтому я просто задам пару вопросов:
1) Верно ли, что $AE$ -- бисектриса?
2) Верно ли, что $ID$ -- бисектриса?
3) $AB$ и $IK$ параллельны?
4) $ID$ и $AE$ параллельны?
5) Вышеперечисленного разве недостаточно, чтобы восстановить нужный треугольник?

[timtam]

Цитата:

Верно ли, что $AE$ -- бисектриса?

Верно. $AE$ является биссектрисой $\angle CAB$

Цитата:

Верно ли, что $ID$ -- бисектриса?

Верно. Т.к. точка $D$ является центром вписанной в $\Delta ILK$ окружности, то и $ID$ является
биссектрисой $\angle LIK$

Цитата:

$AB$ и $IK$ параллельны?

Да. По построению

Цитата:

$ID$ и $AE$ параллельны?

Да. Также как $LD \parallel CG$ и $KD \parallel BF$ (хотя мне пока не понятно - почему)

Цитата:

Вышеперечисленного разве недостаточно, чтобы восстановить нужный треугольник?

Достаточно. Но проведение параллельных линий менее "наглядно", чем продление линии, проведенной через 2 точки.

В любом случае, вопрос был, не "как еще можно решить эту задачу",
а "доказать правильность построения".

[grizzly]

timtam в сообщении #987865 писал(а):

В любом случае, вопрос был, не "как еще можно решить эту задачу", а "доказать правильность построения".

Замечу, что вопрос начинался с того, что зачем-то нужно решать системы уравнений. Благодаря Вашему построению мы видим в 2 хода, что не нужно. А если Вы сравните трудоёмкость и наглядность всех построений в Вашем решении с предложенным (не могу назвать своим это, по сути тоже Ваше, решение), то результат не будет в пользу Вашего первоначального.

Простого способа наглядно доказать Ваше построение я не нашёл. Можно, конечно, алгебраически, но быстро это не будет и вряд ли в этом была Ваша цель. В любом случае, видя простое решение, сложно заставить себя искать другое, более сложное, ради мнимой (имхо) наглядности. Буду рад, если узнаю, что ошибся.

-- 09.03.2015, 22:02 --

timtam в сообщении #987865 писал(а):

Да. Также как $LD \parallel CG$ и $KD \parallel BF$ (хотя мне пока не понятно - почему)

Упустил из внимания, что Вам непонятен этот момент.
Стороны параллельны $\Rightarrow$ треугольники подобны $\Rightarrow$ углы равны. Из всего этого следует, что соответствующие биссектрисы параллельны. Согласны?

[Skeptic]

timtam, $BW$ и $CW$ по вашему биссектрисы?

[TOTAL]

Вокруг трех данных точек описали окружность.
На ней взяли первую произвольную точку в качестве вершины искомого треугольника.
Затем на окружности взяли вторую точку так, чтобы одна из данных точек была точкой пересечения биссектрисы.
Затем на окружности взяли третью точку так, чтобы ещё одна из данных точек была точкой пересечения биссектрисы.

Теперь только третья данная точка не является точкой пересечения биссектиры, поэтому вносим соответствующую поправку в постановку первой точки (сдвигаем её на половину разности понятно каких дуг). Таким образом за одну итерацию получим нужный треугольник.

[Skeptic]

timtam в сообщении #986043 писал(а):

Задача поставлена так:
С помощью циркуля и линейки построить треугольник, если известны точки пересечения его биссектрис с описанной окружностью.

timtam, в чём задача?
Если заданы точки пересечения биссектрис треугольника с описанной окружностью, то тем самым заданы вершины треугольника. Осталось соединить их линией с помощью линейки.

[timtam]

Цитата:

$BW$ и $CW$ по вашему биссектрисы?

Ни в коем разе. Где я такое написАл?
$BW$ и $CW$ отрезки от вершин треугольника (который собственно и надо построить) к центру гомотетии системы.

Цитата:

в чём задача?
Если заданы точки пересечения биссектрис треугольника с описанной окружностью, то тем самым заданы вершины треугольника. Осталось соединить их линией с помощью линейки.

Ух ты. А мужики то мозг морщат А тут всех делов-то соединить точки линейкой
Вы бы прежде чем такое постить хотя бы на миг задумались насколько это соответствует истине.

Цитата:

Стороны параллельны $\Rightarrow$ треугольники подобны $\Rightarrow$ углы равны. Из всего этого следует, что соответствующие биссектрисы параллельны. Согласны?

Согласен

Цитата:

В любом случае, видя простое решение, сложно заставить себя искать другое, более сложное, ради мнимой (имхо) наглядности.

Решение, предложенное вами довольно простое в части доказательства правильности построения.

Точка $C$ находится на пересечении прямой проходящей через точку $G$ и $\parallel$ отрезку $LD$
с исходной окружностью.
Ну а дальше все просто. $CB \parallel LK$ - нашли точку $B$
$BA \parallel KI$ - нашли точку$A$

Таким образом, должен согласится, что оно проще, чем то, что я предложил в начале поста.
Спасибо grizzly за предложенное решение (и доказательство )


Мне все же интересно, как доказать, что точка $W$ является центром гомотетии отстроенной системы.
(ни разу не сталкивался с такими доказательствами, даже не представляю, как это делается)

[grizzly]

timtam в сообщении #988283 писал(а):

как доказать, что точка $W$ является центром гомотетии отстроенной системы.

Ваш вопрос действительно заслуживает внимания -- независимо от первоначальной задачи. Я теперь тоже считаю его более интересным (это когда прошло первое разочарование от безуспешных усилий :) Если Вам удастся найти геометрическое обоснование (алгебраически понятно, что можно вымучить), поделитесь, пжл. Я тоже ещё подумаю.

[gris]

Skeptic в сообщении #988218 писал(а):

Если заданы точки пересечения биссектрис треугольника с описанной окружностью, то тем самым заданы вершины треугольника.

timtam в сообщении #988283 писал(а):

насколько это соответствует истине

Ну чисто формально это как раз и соответствует истине Мы, конечно, понимаем, что имелись в виду продолжения биссектрис, ибо по определению биссектриса треугольника это отрезок, но тем не менее все мы знаем, как иногда экзаменаторы придираются.