Разрезы вдоль

[grizzly]

Спасибо, Evgenjy,
Теперь я уверен, что мы "сверили часы". Я возьму небольшую паузу, чтобы ещё раз внимательно обдумать дальнейший ход доказательства. Я ещё опасаюсь некоторых подводных камней (точнее одного, но весьма необычного), и, поверьте, не потому что я совсем уж туплю или желаю придраться. Я искренне надеюсь, что Ваше доказательство безупречно или, в худшем случае, может быть без усилий доведено до безупречного состояния. Но то, чего я опасаюсь встретить на Вашем пути, настолько похоже на проблемы, с которыми я уже десятки раз сталкивался при различных неудачных попытках решить эту задачу по индукции, что я не хочу загадывать. Я скоро вернусь со своим ответом.

(Оффтоп)

Надеюсь, для нас является "общим местом", что доказательство только тогда добротно, когда оно убедило не только автора, но и аудиторию определённого уровня (назовём это консенсусом). Не то чтобы я претендовал на этот уровень, но я заинтересован в задаче и просто пытаюсь помочь. Если бы кто-то из заслуженных или просто авторитетных партнёров по форуму (скажем, ТС) подтвердил понимание Вашего доказательства, я бы не лез со своими глупыми вопросами (поскольку я в своих сомнениях пока не уверен).

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #966528 писал(а):

Но то, чего я опасаюсь встретить на Вашем пути, настолько похоже на проблемы, с которыми я уже десятки раз сталкивался при различных неудачных попытках решить эту задачу по индукции, что я не хочу загадывать. Я скоро вернусь со своим ответом.

С интересом посмотрю Ваши дальнейшие соображения.
Вот, что еще я хотел заметить. В задаче предлагалось также найти решение для трехмерного пространства. Вот набросок решения сразу для $k$-мерного пространства. Выберем $k$ гиперплоскостей и возьмем точку их пересечения. Рассмотрим сумму длин (одномерных) ребер каждого из вырезанных симплексов. Эта сумма будет линейной формой расстояний гиерплоскостей, составляющих грани этого симплеса, от выбранной точки. Дальше повторяется доказательство для двухмерного случая с соответствующими изменениями. Таким образом число симплексов, вырезанных $n$ гиперплоскостями общего положения, будет равно $n-k$. Соответственно для трехмерного пространства число тетраэдров, вырезанных $n$ плоскостями общего положения, будет равно $n-3$.

[Skeptic]

Имеем три линии. Они образуют один треугольник. Добавим одну линию.
Если линия проходит через треугольник, то разрежет его на треугольник и четырёхугольник. Т.е. при разрезании треугольника линией треугольник, как фигура, не уничтожается. Количество треугольников при добалении линии не уменьшается.
Если добавленная линия не пересекает треугольник, то появится новый треугольник.

В общем случае. При добавлении линии появятся новые точки пересечения, образующие новые фигуры. Количество существовавших треугольников не уменьшится, но добавится, по крайей мере, один треугольник.

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #966610 писал(а):

но добавится, по крайей мере, один треугольник.

Почему добавляется?

[Skeptic]

TOTAL, нарисуйте на бумажке и убедитесь в этом.

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #966612 писал(а):

TOTAL, нарисуйте на бумажке и убедитесь в этом.

Что именно рисовать? Линии могут располагаться бесконечным количеством способов. Вы сами все способы нарисовали и убедились?

[grizzly]

Skeptic в сообщении #966610 писал(а):

добавится, по крайей мере, один треугольник.

Удивительно, насколько легко к Вашим утверждениям строить контрпримеры. Но мне лень всё это вырисовывать каждый раз и вставлять. Просьба прилагать чуть больше усилий и использовать разумные в общем-то советы:

Skeptic в сообщении #966612 писал(а):

нарисуйте на бумажке и убедитесь в этом.

[grizzly]

Evgenjy
На данный момент у меня новости неутешительные. Ваше логическое построение в п.6 не является обоснованным. Это сложно объяснить на пальцах, но в общих чертах ситуация выглядит следующим образом: Вы совмещаете в пределах рассмотрения одного утверждения две различные модели (геометрическую и алгебраическую), посредством создания системы линейных уравнений. Но эта система никак не отображает геометрические свойства нашей конфигурации (а именно, минимальность рассматриваемого треугольника). Допустимые треугольники будут появляться и исчезать, а система линейных уравнений ничего об этом не узнает. Она по-прежнему будет иметь решение для старого, 100 раз разрезанного треугольника, который из геометрических соображений мы больше не вправе рассматривать и, самое главное, используем этот запрет в качестве аргумента рассуждения.

-- 22.01.2015, 16:35 --

Я решил немного смягчить свою позицию. Пусть будет так: имхо, я не считаю рассуждения в п.6 обоснованными в силу приведенных выше аргументов. Я не уверен, что смогу убедить в этом кого-либо другого. Если там действительно есть такая ошибка, как я её понимаю, то спорить с такими ошибками очень сложно. Если же ошибки нет -- тем более :)
Будем надеяться, что кто-то из сильных мира сего форума присмотрится к нашим аргументам и поможет не плодить бесполезные дебаты.

[grizzly]

Evgenjy
Я попытался придумать максимально простой и адекватный контрпример к Вашему рассуждению. Понятно, что нельзя составить контрпример к условию задачи, поэтому я немного видоизменил задачу.

Задача.
Даны те же $n$ прямых общего положения; как и ранее рассматриваются только минимальные треугольники. Выберем одну из прямых, про которую известно, что каждая из оставшихся $n-1$ прямых составляет с выбранной один из треугольников. В образовании какого количества треугольников участвует данная прямая?

Применив дословно Ваше доказательство, получим, что выбранная прямая участвует в $n-2$ треугольниках. Это может быть опровергнуто простым рисунком.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #966947 писал(а):

Даны те же $n$ прямых общего положения; как и ранее рассматриваются только минимальные треугольники. Выберем одну из прямых, про которую известно, что каждая из оставшихся $n-1$ прямых составляет с выбранной один из треугольников. В образовании какого количества треугольников участвует данная прямая?

Применив дословно Ваше доказательство, получим, что выбранная прямая участвует в $n-2$ треугольниках. Это может быть опровергнуто простым рисунком.

Существуют такие конфигурации, когда одна из прямых составляет с каждой из остальных прямых стороны вырезанного треугольника. Тогда эта прямая образует одну из сторон каждого из $n-2$ вырезанных треугольников. Это ни коим образом не опровергает мое доказательство, т. к. оно применимо ко всем конфигурациям и, в частности, к этой.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #967767 писал(а):

Существуют такие конфигурации, когда одна из прямых составляет с каждой из остальных прямых стороны вырезанного треугольника. Тогда эта прямая образует одну из сторон каждого из $n-2$ вырезанных треугольников.

Индийское доказательство "Смотри!":

Применительно к этому рисунку Ваше доказательство гарантирует 3 треугольника, образованных с участием чёрной прямой.

(Удалено при update -- эмоции здесь не нужны.)
Ваше доказательство использует механизмы чёрной магии (воздействие постороннего по отношению к модели объекта) и его нельзя в таком виде спасти.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #967788 писал(а):

Применительно к этому рисунку Ваше доказательство гарантирует 3 треугольника, образованных с участием чёрной прямой.

Ничего такого в моем доказательстве нет.

grizzly в сообщении #967788 писал(а):

Ваше доказательство использует механизмы чёрной магии (воздействие постороннего по отношению к модели объекта) и его нельзя в таком виде спасти.

Доказательство правильное и его спасать не надо. Черную магию не применял.

[grizzly]

Evgenjy
Уточните, пожалуйста, Ваше текущее мнение по следующему утверждению. (Я не собираюсь здесь или в другом месте ловить Вас на слове, мне просто нужно понимать происходящее.)

Evgenjy в сообщении #967767 писал(а):

Существуют такие конфигурации, когда одна из прямых составляет с каждой из остальных прямых стороны вырезанного треугольника. Тогда эта прямая образует одну из сторон каждого из $n-2$ вырезанных треугольников.

Далее я заново приведу формулировку некоторого заведомо ложного утверждения и доказательство этого утверждения. Доказательство я буду стараться использовать дословно Ваше (в этом случае я буду оставлять только номер пункта), меняя что-то только в случае необходимости (изменения буду выделять подчёркиванием). Вашей задачей будет указать мне на точное место ошибки в (теперь уже моём) "доказательстве".

Задача.
Даны те же $n$ прямых общего положения; как и ранее рассматриваются только минимальные треугольники. Пусть одна из прямых составляет с каждой из оставшихся $n-1$ прямых один из треугольников. В образовании какого количества треугольников участвует данная прямая?

Доказательство:

Evgenjy в сообщении #954774 писал(а):

Схема доказательства.
1 Выберем две линии (одна из которых данная) и точку их пересечения $O$.
2 ...
3 ...
4 ...
5 ...
6 ...
7 ...

Ответ: $n-2$ треугольника.

[Null]

Может просто выполнить полярное преобразование? Во что переходит множество прямых пересекающих данный треугольник?

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #969239 писал(а):

Уточните, пожалуйста, Ваше текущее мнение по следующему утверждению. (Я не собираюсь здесь или в другом месте ловить Вас на слове, мне просто нужно понимать происходящее.)
Evgenjy в сообщении #967767

писал(а):
Существуют такие конфигурации, когда одна из прямых составляет с каждой из остальных прямых стороны вырезанного треугольника. Тогда эта прямая образует одну из сторон каждого из $n-2$ вырезанных треугольников.

Подтверждаю. Тем более это легко показать и доказать.

grizzly в сообщении #969239 писал(а):

Далее я заново приведу формулировку некоторого заведомо ложного утверждения

Какое же утверждение является заведомо ложным?

grizzly в сообщении #969239 писал(а):

Вашей задачей будет указать мне на точное место ошибки в (теперь уже моём) "доказательстве".

Ваше модернизированное доказательство не связано с ответом на вопрос, поставленном в условии задачи. Ошибки нет. Для этой специальной конфигурации доказательство для общего количества малых треугольников остается верным, как и в общем случае.

grizzly в сообщении #969239 писал(а):

Ответ: $n-2$ треугольника.

Ответ правильный, но он ни коим образом не следует из Вашего модернизированного доказательства.
Вами приведен некий набор сентенций, не всегда связанных между собой. Что дальше?