Отличия аффинного пространства от векторного

[Nurzery[Rhymes]]

В книжке Кокс, Литл, Ши прочитал такое определение аффинного пространства. Пусть дано поле $k$ и натуральное число $n$. Тогда $n$-мерным аффинным пространством над $k$ называется множество $k^n = \left\lbrace(a_1 , ..., a_n )| a_1 , ... a_n \in k\right\rbrace$.

В чем отличие пространства, заданного таким определением, от линейного пространства?

Нашел еще такое определение, что аффинное пространство это тройка $(A,L,+)$, состоящая из линейного пространства $L$ над $k$, множества точек $A$ и внешней бинарной операции.

А в чем отличие линейного пространства от множества точек? Что то, что другое выглядит как наборы вида $(a_1, ..., a_n )$. В смысле и векторы, и точки записываются одинаково. Короче, мне кажется, что множества $L$ и $A$ состоят из элементов одного типа.

[Joker_vD]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965342 писал(а):

А в чем отличие линейного пространства от множества точек?

Сложение и умножение на скаляр.

[Nurzery[Rhymes]]

Joker_vD в сообщении #965344 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965342 писал(а):

А в чем отличие линейного пространства от множества точек?

Сложение и умножение на скаляр.

Не нашел здесь этого http://www.fipm.ru/affinpr.shtml
А умножение на скаляр определено и в векторном пространстве.

[Nemiroff]

На плоскости прямая, проходящая через начало координат, является векторным подпространством, а не проходящая — не является. Первая прямая — пример векторного пространства, а вторая — аффинного.

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #965346 писал(а):

На плоскости прямая, проходящая через начало координат, является векторным подпространством, а не проходящая — не является. Первая прямая — пример векторного пространства, а вторая — аффинного.

В вашем примере пространства отличаются только тем, что в аффинном пространстве нет нулевой точки, потому что прямая через нее не проходит. Но по определению аффинного пространства эта точка в нем должна быть, потому что это пространство задано над полем, в поле есть ноль, и по-любому можно построить точку $(0, ..., 0)$.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Важно то, что в аффинном пространстве все точки равноправные, там начала отсчёта нету (и вообще линейных операций нет). Реализовать кстати его просто (обобщение Nemiroff). Берём линейное пространство $\[L\]$ и добавляем к нему вектор, не лежащий в нём

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #965348 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
Важно то, что в аффинном пространстве все точки равноправные, там начала отсчёта нету (и вообще линейных операций нет). Реализовать кстати его просто (обобщение Nemiroff). Берём линейное пространство $\[L\]$ и добавляем к нему вектор, не лежащий в нём

Да и в алгебраическом определении векторного пространства ничего не говорится про точку отсчета. Или есть еще какое-нибудь геометрическое определение?
Как понимать, что точки в ВП неравноправные?

[Otta]

Nurzery[Rhymes]
Вас в школе когда векторам учили и учили их складывать, наверное, рассказывали, про начало вектора, конец вектора, правило треугольника и т.д. - всякие такие штуки, которые, помимо собссно векторной структуры требуют рисования точек? Вот фактически это и есть аффинное пространство. Сочетание одного с другим и правила их взаимодействия. Ну я упрощаю, конечно.

Прочитайте в Википедии, например, комментарий, нам в свое время афф. пространство так определяли.

[iifat]

Странное определение. Судя по паре страниц текста, им для целей книги неважно ни векторное, ни линейное, ни аффинное пространство, а только кортежи действительных чисел. По крайней мере, ничего похожего на аффинные пространства там не наблюдается.
В общем-то, ситуация более или менее встречающаяся: в каждой книге свои определения.
Дальше они определяют аффинное многообразие. Оно больше похоже на аффинное пространство, как его тут описывают.

[Otta]

iifat
Почему странное? стандартное вроде.

[Ms-dos4]

У нас его вообще определяли в духе: некое множество над линейным пространством $\[L\]$ называется аффинным пространством, если каждой паре точек (уп.) поставлен в соответствие вектор в $\[L\] $ (ну и пара аксиом, треугольник да единственность)

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #965357 писал(а):

если каждой паре точек (уп.) поставлен в соответствие вектор в $\[L\] $ (ну и пара аксиом, треугольник да единственность)

Ну правильно, это оно и есть. И по ссылке ТС, и по моей. :)

[iifat]

Otta в сообщении #965358 писал(а):

И по ссылке ТС

В цитате ТС (с книжкой сверил, цитата верная) сказано буквально следующее:

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965342 писал(а):

Пусть дано поле $k$ и натуральное число $n$. Тогда $n$-мерным аффинным пространством над $k$ называется множество $k^n = \left\lbrace(a_1 , ..., a_n )| a_1 , ... a_n \in k\right\rbrace$.

Мне, например, это кажется странным: на кой для хорошо известного прямого произведения вводить новое название?

[Otta]

iifat в сообщении #965402 писал(а):

В цитате ТС

Под ссылкой я имела в виду гиперссылку.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965345 писал(а):

Не нашел здесь этого http://www.fipm.ru/affinpr.shtml

[Ms-dos4]

Otta
А, ну я по ней не ходил). Но тогда как у ТС мог возникнуть вопрос, "чем отличается аффинное пространство от линейного", если это явно видно в определении?