Вращение твердого тела

[Oleg Zubelevich]

Вот хорошая задача на понятие мгновенной оси вращения.

В цилиндрическом стакане (радиус основания $R$) катается шар радиуса $r$. Шар касается дна стакана и его боковой стенки, в обоих точках проскальзывания нет. Пусть в данный момент времени скорость центра шара равна $ v$, а ускорение $ a$ (по модулю). Найти ускорение самой векрхней точки шара.

[unistudent]

Munin в сообщении #960067 писал(а):

Oleg Zubelevich
Ну вот, а говорите, в курсе "

Судя по всему, я поторопился, сказав, что все понял ... А что не так?

-- 11.01.2015, 19:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #960083 писал(а):

Вот хорошая задача на понятие мгновенной оси вращения.

В цилиндрическом стакане (радиус основания $R$) катается шар радиуса $r$. Шар касается дна стакана и его боковой стенки, в обоих точках проскальзывания нет. Пусть в данный момент времени скорость центра шара равна $ v$, а ускорение $ a$ (по модулю). Найти ускорение самой векрхней точки шара.

Я бы так поступил. СО: рассмотрим плоскость $\pi$, проходящую через центр шара и ось цилиндра; начало СО - точка пересечения $\pi$ с границей дна стакана; ось $z$ направлена по касательной к границе дна, $x$ - к центру дна, а $y$ параллельно оси цилиндра. В точках соприкосновения нет проскальзывания - это интересно, даже не верится, как такое может быть.. но значит может, хотя и не очевидно. И в этом случае… надо подумать .. и все-таки непонятно, как может шар катится по дну стакана без проскальзывания. Это на самом деле так?

[Munin]

unistudent в сообщении #960073 писал(а):

Просто хочется думать, что есть что-то реальное.

Думать - рано. Сначала надо читать учебники.

-- 11.01.2015 20:27:00 --

unistudent в сообщении #960086 писал(а):

В точках соприкосновения нет проскальзывания - это интересно, даже не верится, как такое может быть.. но значит может, хотя и не очевидно. И в этом случае… надо подумать :D.. и все-таки непонятно, как может шар катится по дну стакана без проскальзывания.

Здесь подразумевается такая штука: точка шара неподвижна относительно точки поверхности, но может вертеться в плоскости касания. Этому ничто не мешает, потому что шар абсолютно твёрдый, и касается поверхности одной точкой, а не целым пятном контакта.

-- 11.01.2015 20:28:33 --

unistudent в сообщении #960086 писал(а):

А что не так?

Для начала такие вопросы:
1. Какие вы знаете движения 2- и 3-мерного пространства?
2. Композиции каких движений являются какими движениями?
3. Как определить тип и элементы произвольного движения?

[unistudent]

Munin в сообщении #960121 писал(а):

Здесь подразумевается такая штука: точка шара неподвижна относительно точки поверхности, но может вертеться в плоскости касания. Этому ничто не мешает, потому что шар абсолютно твёрдый, и касается поверхности одной точкой, а не целым пятном контакта.

Все-таки, без проскальзывания значает без проскальзывания, и в случае твердых тел и твердых поверхностей никаких пятен контакта быть не может.
Скажем, качение шара по прямому желобу с прямоугольным профилем без проскальзывания возможно (и то, не уверен) - в этом случае движение ничем не отличается от качения шара по плоскости. Но качение без проскальзывания в цилиндрическом стакане совсем другая штука. И кстати, если так как говорите вы, г-н Munin, то задача становится элементарной. Что скажет автор задачи?

Munin в сообщении #960121 писал(а):

Для начала такие вопросы:
1. Какие вы знаете движения 2- и 3-мерного пространства?
2. Композиции каких движений являются какими движениями?
3. Как определить тип и элементы произвольного движения?

Я знаю поворот и сдвиг. Любая композиция этих движений будет движением. Вопрос 3 не совсем понятен.. ну можно через тип трансформации системы координат..например.

[schoolboy]

unistudent
Не слушайте Мунина, он Вас только сбивает. Все просто, Вам же сказали, задача о мгновенной оси вращения. Ось это прямая, а прямая определяется двумя точками. Какие две точки шара неподвижны, если проскальзывания нет?

[unistudent]

schoolboy в сообщении #960164 писал(а):

unistudent
Вам же сказали, задача о мгновенной оси вращения. Ось это прямая, а прямая определяется двумя точками. Какие две точки шара неподвижны, если проскальзывания нет?

Если так, то ответ напрашивается сам собой - это прямая проходящая через две неподвижные точки. Однако, как тогда быть в случае качения шара по желобу? Значит я был не прав, говоря, что такое качение равносильно качению шара по плоскости?

[Nemiroff]

unistudent в сообщении #960175 писал(а):

Однако, как тогда быть в случае качения шара по желобу?

По какому желобу? Чтоб он шарик со всех сторон зажал, что ли?
Скорости трёх неколлинеарных точек твёрдого тела определяют скорость любой точки твёрдого тела.

[unistudent]

Nemiroff в сообщении #960184 писал(а):

unistudent в сообщении #960175 писал(а):

Однако, как тогда быть в случае качения шара по желобу?

По какому желобу? Чтоб он шарик со всех сторон зажал, что ли?
Скорости трёх неколлинеарных точек твёрдого тела определяют скорость любой точки твёрдого тела.

Ага, зажал.. читайте выше, желоб прямой, профиль желоба прямоугольный. Речь не о скоростях точек тела, а о мгновенной оси вращения и об ее, оси, инвариантности

[Nemiroff]

Чиво? У прямоугольного желоба две стенки. Стенок шарик касается в двух точках — всегда в одних и тех же. И при этом шарик катится. Нет проскальзывания, не?

unistudent в сообщении #960186 писал(а):

Речь не о скоростях точек тела, а о мгновенной оси вращения и об ее, оси, инвариантности

Да ну вас нафиг.

[Munin]

unistudent в сообщении #960152 писал(а):

Скажем, качение шара по прямоугольному желобу без проскальзывания возможно

А по V-образному?

Движение шара в задаче такое же.

unistudent в сообщении #960152 писал(а):

Любая композиция этих движений будет движением.

Композиция двух поворотов - ? Композиция поворота и сдвига - ? Сдвига и поворота - ? Композиция двух сдвигов - ?

-- 11.01.2015 22:29:33 --

schoolboy в сообщении #960164 писал(а):

Не слушайте Мунина, он Вас только сбивает. Все просто, Вам же сказали, задача о мгновенной оси вращения. Ось это прямая, а прямая определяется двумя точками. Какие две точки шара неподвижны, если проскальзывания нет?

Я не сбиваю. У нас идут две линии разговора. Изначально была поставлена более общая задача. Частная - да, решается просто, как вы сказали. Общая - требует некоторых знаний, которые я и пытаюсь вытащить на свет божий. Могу уйти, как хотите, но тогда возитесь с ТС сами.

[unistudent]

Nemiroff в сообщении #960190 писал(а):

Да ну вас нафиг.

Говорю ж, типичный… Мы дождемся санкций модератора.

Munin в сообщении #960191 писал(а):

А по V-образному?
Движение шара в задаче такое же.

А какое такое же? Все-таки с проскальзыванем.. или с прокручиванием вокруг нормалей к стенкам желоба?

Munin в сообщении #960191 писал(а):

Композиция двух поворотов - ? Композиция поворота и сдвига - ? Сдвига и поворота - ? Композиция двух сдвигов - ?

По пунктам: поворот, поворот и поворот, но только относительно другого центра. Так?

[Munin]

unistudent в сообщении #960204 писал(а):

Все-таки с проскальзыванем.. или с прокручиванием вокруг нормалей к стенкам желоба?

Прокручивание не считается проскальзыванием. Ответьте на вопрос, чёрт возьми.

unistudent в сообщении #960204 писал(а):

По пунктам: поворот, поворот и поворот, но только относительно другого центра. Так?

Так. Только четвёртого ответа нет.

Теперь представим такую картину. Зафиксируем центр $O.$ Будем в первый промежуток времени $\Delta t$ делать поворот на $\alpha$ вокруг $O,$ и сдвиг на $\vec{v}.$ Вы говорите, что это будет "поворот, но только относительно другого центра". Дальше, в следующий $\Delta t$ сделаем то же самое. И в следующий, и в следующий, и в следующий. А потом возьмём предел $\Delta t\to 0.$ Что получится?

[Oleg Zubelevich]

задача оказалась совершенно банальной и вычисления угловой скорости шара не требует. так, что pardon. в оригинальной формулировке требовалось найти угловое ускорение, а я изменил ее ,думал в сторону усложнения, оказалось наоборот. но студентам все равно будет полезно весьма довести ее до ответа. можно ееще отдельным заданием поставить "найти угловую скорость шара".

[unistudent]

Munin в сообщении #960209 писал(а):

Прокручивание не считается проскальзыванием. Ответьте на вопрос, чёрт возьми.

Я думал, что я уже ответил . Ответ на ваш вопрос в вашей постановке звучит так: мгновенная ось вращения проходит через точку контакта со стенкой стакана параллельно оси цилиндра. Однако, автор задачи еще ничего не сказал, поэтому вопрос остается открытым.

[Oleg Zubelevich]

unistudent в сообщении #960216 писал(а):

мгновенная ось вращения проходит через точку контакта со стенкой стакана параллельно оси цилиндра.

неверно