вероятностное пространство

[lulusa]

Добрый вечер,
Понятно, что такое пространство элементарных исходов, сигма алгебра на нем и вероятностная мера. Однако мне не понятны случаи, когда сигма алгебра не полна (т.е. не множество всех подмножеств элементарных исходов). Вот, к примеру, бросаем кубик (возьмем такой кубик, на котором выпадение каждой грани не $1/6$, но сумма всех вероятностей эл. исходов $= 1$). Мы знаем, что элементарных исходов шесть, однако задаем сигму алгебру такую: $ \lbrace \o \rbrace, \lbrace\Omega\rbrace , \lbrace1\rbrace, \lbrace2,3,4,5,6\rbrace$

Т.е. получается, мы не знаем вероятность $P(2),\ldots,P(6)$ и любых их объединений?

[Null]

У вас не сигма алгебра. Попробуйте по пересекать/объединять множества.

[lulusa]

Null
Да, исправил

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

А вероятность-то — функция из этой самой $\sigma$-алгебры. Даже $\Prob(1)$ попросту не определено — только $\Prob(\{1\})$, хотя можно понимать первое как сокращение второго — но только когда соответствующее одноэлементное множество принадлежит $\sigma$-алгебре.

[--mS--]

lulusa в сообщении #947765 писал(а):

Т.е. получается, мы не знаем вероятность $P(2),\ldots,P(6)$ и любых их объединений?

Мы-то может и знаем, а вот функция $P$ с областью определения, равной такой сигма-алгебре, про $P(2)=P(\{2\})$ и т.д. действительно ничего не знает.

lulusa в сообщении #947765 писал(а):

однако задаем сигму алгебру такую: $ \lbrace \o \rbrace, \lbrace\Omega\rbrace , \lbrace1\rbrace, \lbrace2,3,4,5,6\rbrace$

Кстати, это тоже не сигма-алгебра. Потому что $\Omega\neq \{\Omega\}$ и $\varnothing\neq \{\varnothing\}$.

[lulusa]

--mS--
А можете сказать, в каких реальных задачах может встретиться неполная сигма алгебра?
Или просто получается, что можно задавать неполную, но на практике почти всегда сигма алгебра оказывается полной?
и еще. Верно ли, что если А, B, C - элементы сигма алгебры, где С = А$\cup B$, то $P(C) = P(A) + P(B)$?

[provincialka]

Мне нравится такой пример.

Рассматриваем множество студентов, а у каждого - оценку по теории вероятностей. Тогда выделяются подмножества получивших "отл", "хор", "удовл" и "неуд" и доли студентов каждого типа. На основе этих подмножеств можно построить вероятностное пространство.

Мы можем найти, например, вероятность такого события: "Случайно выбранный студент сдал тервер". То есть он входит в число студентов, получивших "удовл", или "хор", или "отл".

Но вот для событий "Случайно выбранный студент является девушкой", "Случайно выбранный студент проживает в общежитии" и т.п. вероятность по этим сведениям мы не найдем. Но в конкретном исследовании это и не надо.

[lulusa]

provincialka в сообщении #948068 писал(а):

На основе этих подмножеств можно построить вероятностное пространство.

А какие элементарные события в вашем примере образуют $\Omega$?

Я хотел бы получить такую реальную задачу, в которой мы знаем все элементарные события, однако не знаем все вероятности.
И как я понимаю, исход всегда только один. т.е. "студент живет в общежитии" и "студент сдал теорвер" не могут являться элементарными событиями одновременно.

[provincialka]

Элементарный исход - "случайно выбранный студент".

lulusa в сообщении #948078 писал(а):

И как я понимаю, исход всегда только один. т.е. "студент живет в общежитии" и "студент сдал теорвер" не могут являться элементарными событиями одновременно.

Вообще не поняла. Нет, это не элементарные исходы. Это другие события, состоящие из отдельных исходов="студентов".
Причем, если из деканата нам передали только информацию по успеваемости, то найти вероятность первого события мы не сможем. А второго - сможем, сложив соответствующие проценты.

Вот скажем, мы знаем, что доли пятерок, четверок, троек и двоек равны, соответственно, 10%, 30%, 40% и 20%. Тогда, увидев незнакомого студента, вы можете предположить: вероятность, что он сдал тервер равна 80%. А вот предположить, какова вероятность того, что он живет в общежитии, вы не сможете без дополнительной информации.

[--mS--]

lulusa в сообщении #948038 писал(а):

--mS--
А можете сказать, в каких реальных задачах может встретиться неполная сигма алгебра?

Если говорить о дискретном пространстве элементарных исходов, то вероятностное пространство с такой сигма-алгеброй - это, конечно, штука искусственная. На дискретном $\Omega$ естественная сигма-алгебра есть $2^\Omega$ с соответствующей вероятностью, заданной значениями на каждом элементарном исходе (на каждом одноэлементном множестве). А вот на более богатых пространствах исходов - $\mathbb R$, например, - на $2^\Omega$ ничего, кроме самых тривиальных вероятностных мер не задать. Приходится сужать булеан до чего-нибудь подходящего. Например, до борелевской сигма-алгебры. Здесь вероятностное пространство с более узкими сигма-алгебрами возникает естественным путём. В качестве примера годится геометрическое определение вероятности: вероятность определим как отношение мер. У любого подмножества отрезка эта вероятность определена? Нет. Вот тут возникает реальное "не можем": не можем определить вероятность точке, брошенной наудачу на отрезок, попасть в неизмеримое множество.

На любых вероятностных пространствах более узкие, чем та, на которой задана вероятность, сигма-алгебры возникают обычно как сигма-алгебры, порождённые какими-то случайными величинами, т.е. как минимальные сигма-алгебры, содержащие набор множеств $\{\omega | \xi(\omega) < x\}$, $x\in\mathbb R$.

Например, если Вы зададите вероятность $\mathsf P$ на своём $\langle \Omega, 2^\Omega \rangle$, присвоив вероятности элементарным исходам, то сигма-алгебра $\sigma(\xi)$, порождённая случайной величиной $\xi(1)=0$, $\xi(2)=\ldots=\xi(6)=1$ будет как раз $\mathcal A=\{\varnothing, \Omega, \{1\}, \{2,\ldots,6\}\}$. Это самая маленькая сигма-алгебра, относительно которой $\xi$ измерима. Соответственно, случайная величина $\xi$ на $\langle \Omega, 2^\Omega, \mathsf P \rangle$ "породила" новое в.п. $\langle \Omega, \mathcal A, \mathsf P' \rangle$, где $\mathsf P'(1)=\mathsf P(1)$ и $\mathsf P'(2)=\mathsf P(2)+\ldots +\mathsf P(6)$.

Распределение $\xi$, т.е. $\mathsf P(\xi \in B)=\mathsf P'(\xi \in B)$, $B\in \mathfrak B(\mathbb R)$, одинаково как на исходном вероятностном пространстве, так и на том более узком, которое связано с $\xi$.

Сигма-алгебры, порожденные случайными величинами, нужны, скажем, для описания зависимости случайных величин. Величины независимы, если независимы порождённые ими сигма-алгебры. Величина $\xi$ измерима относительно сигма-алгебры, порожденной величиной $\eta$, в том и только в том случае, когда $\xi$ есть борелевская функция от $\eta$. Так, вычисление условных матожиданий $\mathsf E(\xi | \eta)=\mathsf E(\xi | \sigma(\eta))$ приводит к функциям, измеримым относительно $\sigma(\eta)$. Ну и т.п.

-- Ср дек 17, 2014 10:00:57 --

lulusa в сообщении #948038 писал(а):

и еще. Верно ли, что если А, B, C - элементы сигма алгебры, где С = А$\cup B$, то $P(C) = P(A) + P(B)$?

Разумеется, нет. Возьмите $2^\Omega$ и пересекающиеся $A$ и $B$. Или $A=B=\Omega$ на любой сигма-алгебре.

[lulusa]

--mS-- в сообщении #948124 писал(а):

lulusa в сообщении #948038 писал(а):

--mS--
А можете сказать, в каких реальных задачах может встретиться неполная сигма алгебра?

Цитата:

А вот на более богатых пространствах исходов - $\mathbb R$, например, - на $2^\Omega$ ничего, кроме самых тривиальных вероятностных мер не задать. Приходится сужать булеан до чего-нибудь подходящего. Например, до борелевской сигма-алгебры. Здесь вероятностное пространство с более узкими сигма-алгебрами возникает естественным путём. В качестве примера годится геометрическое определение вероятности: вероятность определим как отношение мер. У любого подмножества отрезка эта вероятность определена? Нет.

я не очень понял. Дело обстоит так. У нас есть пространство исходов, совпадающее с $\mathbb R$ (т.е. любое действительное число является эл. исходом). Поэтому полная сигма-алгебра будет более, чем континуальна. Это плохо (не очень понял про тривиальные вер. меры), поэтому мы сужаем нашу сигму-алгебру до множества, содержащего все открытые интервалы на $\mathbb R$.

(Оффтоп)

Как я понимаю, бор. сигма-алгебра континуальна. Сопоставим каждому интервалу его замыкание, тогда мощность множества всех интервалов (отрезков) та же, что и у множества всех пар действительных чисел, т.е. континуум.

Потом вы говорите, что можно ввести геом. опр. вероятности: отношение мер. Т.е. для любого элемента бор. сигма-алгебры вы определили значение вероятности. Т.е. отношение длины интервала к .. к чему, я тут не очень понял (если простр-во исходов есть все $\mathbb R$ ). Или в данном случае подразумевается, что пространство исходов все-таки ограничено, так?

Еще вопрос.
"Величины независимы, если независимы порождённые ими сигма-алгебры."
Т.е. у нас есть одно пространство исходов, 2бор сигма-алгебры на нем, на каждой мы определяем случ. величину (т.е. функцию из элементов бор. сигма алгебры в $\mathbb R$). Я правильно понял? Если так, то сигма-алгебры независимы, когда их пересечению пусто?

[--mS--]

lulusa в сообщении #948323 писал(а):

я не очень понял. Дело обстоит так. У нас есть пространство исходов, совпадающее с $\mathbb R$ (т.е. любое действительное число является эл. исходом). Поэтому полная сигма-алгебра будет более, чем континуальна. Это плохо (не очень понял про тривиальные вер. меры)

Это ничем не плохо, и континуальность тут ни при чём. "Тривиальные" - ну например, $\mathsf P(A)=I(7\in A)$, $A\in 2^{\mathbb R}$. Или $\mathsf P(A)=\sum p_k I(a_k\in A)$, $A\in 2^{\mathbb R}$, $\sum_k p_k=1$. Обычные считающие меры. $I(C)$ - индикатор, т.е. $1$ или $0$ в зависимости от того, верно $C$ или нет.

lulusa в сообщении #948323 писал(а):

, поэтому мы сужаем нашу сигму-алгебру до множества, содержащего все открытые интервалы на $\mathbb R$.

Стоп. Очень неаккуратное словоупотребление. Вы хотели сказать, что сигма-алгебра сужается до сигма-алгебры, а не до множества, содержащего все интервалы. А именно, до сигма-алгебры, порождённой всеми открытыми интервалами на $\mathbb R$. Делается это никак не из-за континуальности, а тогда, когда на слишком богатой сигма-алгебре не удаётся построить меру с заданными свойствами. Например, если хотеть, чтобы мера любого интервала равнялась его длине (грубо говоря), то такой меры на множестве всех подмножеств прямой просто не существует. Зато она может быть задана на множестве измеримых по Лебегу подмножеств прямой, что существенно шире борелевской сигма-алгебры. В частности, сигма-алгебра измеримых по Лебегу множеств, точно так же как и булеан, имеет мощность больше, чем мощность континуума.

lulusa в сообщении #948323 писал(а):

Или в данном случае подразумевается, что пространство исходов все-таки ограничено, так?

Разумеется, если речь о геометрическом определении вероятности, то на отрезке или ином ограниченном лебеговском подмножестве прямой с ненулевой мерой Лебега.

lulusa в сообщении #948323 писал(а):

"Величины независимы, если независимы порождённые ими сигма-алгебры."
Т.е. у нас есть одно пространство исходов, 2бор сигма-алгебры на нем

Это как две? Она одна всегда

lulusa в сообщении #948323 писал(а):

Если так, то сигма-алгебры независимы, когда их пересечению пусто?

В каком случае два события независимы?