Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду

[lantza]

У меня возникла такая задача. Она возникла при решении одной, более сложной задачи, так что я ее фактически придумал.

Цитата:

n-угольная пирамида вписана в сферу радиусом R. Существует ли для нее максимальный объем? Если да, то найдите его.

Вроде бы интуитивно понятно, что если каким-то образом хитро расположить пирамиду, то ее объем окажется максимальным. Нет идей, как решать? Совершенно не могу понять, как тут объем пирамиды выразить хоть как-нибудь через радиус или что-нибудь, чтоб исследовать ее на экстремумы.
Или этас какой-то?

[kp9r4d]

Очевидно, что пирамида будет правильной, вершину можно зафиксировать, а высоту окружности, по которой будут располагаться вершины основания нужно варьировать.

[provincialka]

Надо вписать в сечение $n$-угольник и найти его площадь. А радиус сечения с высотой свяжите с помощью теоремы Пифагора

[lantza]

Да ну, так неинтересно. Почему "очевидно", что пирамида правильная? Этот пункт я не могу игнорировать.
Если она вообще правильная, то задачу пытаюсь решить так.
Пусть O - центр сферы, она лежит на высоте пирамиды; пусть на расстоянии $\mathrm{h_0}$ находится плоскость $\mathrm{n}$-угольника, $\mathrm{h}$ - высота пирамиды, $\mathrm{R}$ - данный радиус сферы, $\mathrm{R_0}$ - радиус описанной около $\mathrm{n}$-угольника окружности. Тогда очевидно, что $\mathrm{h_0+R=h}$, по теореме Пифагора $\mathrm{R_0^2=R^2-h_0^2}$, по формуле площади правильного многоугольника $\mathrm{S=\frac{1}{2}nR_0^2$sin$\frac{2\pi}{n}$}. Выворачиваем все это в $\mathrm{V=\frac{1}{3}Sh}$, получим $\mathrm{V=\frac{1}{6}h n(R^2-(h-R)^2)sin\frac{2\pi}{n}}$. Дальше в лес, глубже в лес: производная этой функции относительно $\mathrm{h}$ равна $V'=\frac{1}{3}nh^2sin\frac{2\pi}{n}$. И что теперь мне делать с этим? $h=0$?
Где я тут ошибся?

[Shtorm]

lantza, производную неправильно нашли.

[ИСН]

Я не вникал, только производная у Вас неправильная, или вместе с функцией.
Теперь по существу. Пусть пирамида опирается на произвольный (может, кривой, косой, одноногий) многоугольник, и вершина её торчит не обязательно прямо вверх, а куда хочет. Ах да, и всё это вписано в сферу. Чему равен объём пирамиды? Да те же $V=\frac13Sh$. Как мы можем увеличить S, оставляя основание в той же плоскости и вписанным в ту же сферу? То есть какой n-угольник из вписанных в данный круг имеет максимальную площадь?

[lantza]

Shtorm
Да, действительно, простите.
Производная равна V=$\frac{1}{6}$nhsin$\frac{2\pi}{n}$(4R-3h), откуда $h=\frac{4R}{3}$. Вторая производная меньше нуля, что говорит о максимуме в данной точке. Спасибо.
ИСН
Данный произвольный n-угольник можно разбить на n равнобедренные треугольники с общим центром O. Их суммарная площадь (т. е. площадь n-угольника) равна $S=1/2R^2(sinA_1+sinA_2+sinA_3+...)$, где $A_1+A_2+A_3+...=2\pi$ - углы при вершине в центре окружности. По-моему, не факт, что она будет всегда меньше площади правильного n-угольника.
Или же от горя доказывать, что sinA_1+sinA_2+sinA_3+...<nsin \frac{2\pi}{n}? Или как-то попроще нужно доказывать, что правильный n-угольник имеет наибольшую площадь среди описанных выпуклых n-угольников?
Про высоту вершины - понятно, спасибо.

[ИСН]

lantza в сообщении #939939 писал(а):

По-моему, не факт

Факт.
А с деталями уж как хотите.
Потому что функция синус выпукла вверх, например.

[ewert]

lantza в сообщении #939939 писал(а):

Или как-то попроще нужно доказывать, что правильный n-угольник имеет наибольшую площадь среди описанных выпуклых n-угольников?

Да, нужно как-то совсем просто: что если энугольник не правильный, то его площадь заведомо не максимальна. А это очевидно безо всякого счёта (достаточно тупо пошевелить вершинки).

[gris]

Интересно, будет ли точка максимума по высоте, скажем, зависеть от $n$? А если пирамида превратится в конус? Видно ли это без дифференцирования по чисто геометрическим соображениям?

[Evgenjy]

gris в сообщении #940026 писал(а):

Интересно, будет ли точка максимума по высоте, скажем, зависеть от $n$?

Не будет.

gris в сообщении #940026 писал(а):

А если пирамида превратится в конус?

Даже, если превратится в конус

gris в сообщении #940026 писал(а):

Видно ли это без дифференцирования по чисто геометрическим соображениям?

Да видно. Поскольку площадь правильного $n$-угольника составляет определенную часть от площади описанного круга.

[gris]

Спасибо. Получается, что мы можем найти высоту для нужного конуса (что, в общем, не требует дифференцирования хотя я что-то засомневался), а потом просто умножить его объём на Ваш коэффициент?

[ИСН]

Ещё лучше: мы можем найти высоту для тетраэдра, а тут и дифференцировать не надо, ведь их у него четыре и все одинаковые!

[Evgenjy]

gris в сообщении #940147 писал(а):

Получается, что мы можем найти высоту для нужного конуса (что, в общем, не требует дифференцирования хотя я что-то засомневался)

Правильно засомневались. Чтобы найти высоту, дифференцировать придется.

[kp9r4d]

Evgenjy в сообщении #940304 писал(а):

Правильно засомневались. Чтобы найти высоту, дифференцировать придется.

ИСН ведь предыдущим постом предложил хороший метод, как можно без. Вписать как-нибудь правильный тетраэдр в сферу, а конус и тетраэдр - почти одно и то же.