Колебания тела, подвешенного на пружине (пружинный матник)

[littleodyssey]

Если тело свободно подвешено на пружине и покоится, на него действуют сила упругости $F_y$ и сила тяжести $F_t$, уравновешивающие друг друга. $F_t=-F_y$, $mg=kx_0$, $x_0=\dfrac{m}{k}g$
При выведении тела из положения равновесия, равновесие нарушается, равнодействующая сил не равна нулю и тело начинает двигаться с ускорением. Расписанное в курсе уравнение по II закону Ньютона имеет вид: $F=F_y+F_t$ или $ma_x=-k(x+x_0)+mg$ - где все три силы сонаправлены друг другу. В таком случае: $ma_x=-kx$.

Однако, как мне представляется, если посмотреть на вектора, то вектор ускорения сонаправлен лишь с силой упругости, и противонаправлен силе тяжести, т.е. получается $F=F_y-F_t$, т.е. $ma_x=-k(x+x_0)-mg$. И тогда $ma_x=-kx-2mg$. Вопрос, в чём у меня ошибка??

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено

[fronnya]

Скорее всего в том, что вы неправильно знак в силе упругости поставили, у вас на рисунке нулевой уровень отсчета растяжения пружинки находится в положении равновесия пружинки. Либо пересмотрите ваши уравнения, либо переместите этот уровень в точку подвеса и запишите уравнения относительно этого уровня.

[DimaM]

littleodyssey в сообщении #933102 писал(а):

Однако, как мне представляется, если посмотреть на вектора, то вектор ускорения сонаправлен лишь с силой упругости, и противонаправлен силе тяжести, т.е. получается $F=F_y-F_t$, т.е. $ma_x=-k(x+x_0)-mg$. И тогда $ma_x=-kx-2mg$. Вопрос, в чём у меня ошибка??

Надо выбрать положительное направление и четко написать все проекции с правильными знаками. Первый раз вы выбрали положительное направление вниз и получили правильное уравнение.

[rustot]

сила упругости может быть направлена как вверх так и вниз, в зависимости от положения груза. не руководствуясь никаких догадками куда она направлена чаще, надо просто выбрать любое направление оси положительным и расставить знаки именно в соответствии с выбором.

допустим за $x=0$ выбрали положение тела, при котором на него силы упругости не действуют. теперь если выберем положительным направлением направление вниз, то $m g - k x = m a$, потому-что при положительных $x$ сила упругости направлена вверх. если выберем положительным направление вверх, то $-m g - k x = m a$. сила упругости по прежнему с отрицательным знаком, поскольку опять при положительных $x$ она направлена в сторону "отрицательную", на этот раз вниз. уравнения и их решения будут отличаться друг от друга, это вызвано тем что в решениях $x$ отсчитывается в разные стороны

[littleodyssey]

Всё, спасибо) Разобралась.
Если мы выбираем точку отсчёта в положении нерастянутой пружины, то для пружины с грузом имеем $F_t-F_{y0}=0$ (состояние покоя), $mg+kx_0=0$, $x_0=$-\dfrac{m}{k}g$$
Тогда для колеблющегося тела будет $F=F_y-F_t$, $ma=-k(x_0+x)-mg$, подставляя выведенное значение для $x_0$ получим $ma=-kx+mg-mg$ и в итоге искомое $ma=-kx$. Т.е. колебания груза на пружине не зависят от силы тяжести, а определяются только её упругостью.
Спасибо.

[rustot]

да можно и с любым началом координат и любым положительным направлением считать. если за $x=0$ считать положение с нулевой силой упругости, а положительным направление вниз, то:

$m g - k x = m x'' \Rightarrow x'' + \frac{k}{m} x - g = 0 \Rightarrow x = \frac{m g}{k} + c_1 \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t + c_2)$

а если считать за 0 положение равновесия и положительным направление вверх, то

$- m g - k (x-\frac{m g}{k}) = m x'' \Rightarrow x'' + \frac{k}{m} x = 0 \Rightarrow x = c_1\sin(\sqrt\frac{k}{m} t + c_2)$

главное никогда не руководствоваться какими то отвлеченными идеями что "на самом деле" является положительным знаком для той или иной величины, а выбрать раз и навсегда положительное направление совершенно произвольным образом, а потом строго этого выбора придерживаться для всех переменных, для всех начальных условий и учитывать выбор в анализе результатов