Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)

[Bartini]

ИСН в сообщении #924081 писал(а):

На политических форумах часто можно увидить диванных вояк. А по ссылке я увидел диванных интеграторов.
По сути - не вижу причин, чтобы это решалось элементарными методами или выражалось как-то прилично, но всё бывает, надо смотреть.

Если решение СЛАУ можно отнести к элементарным методам, то обозначим объёмы сегментов отсекаемых плоскостями:$A,B$, а объёмы этих сегментов за исключением области их пересечения $a,b$ соответственно. Объём области пересечения сегментов обозначим как $c$. Имеет место быть бесконечное множество уравнений:
$a+b+2c=A+B$
$2a+b+3c=2A+B$
$3a+b+4c=3A+B$
...'........
$a+2b+3c=A+2B$
................
Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.

[TOTAL]

Bartini в сообщении #924322 писал(а):

Имеет место быть бесконечное множество уравнений:
$a+b+2c=A+B$
$2a+b+3c=2A+B$
$3a+b+4c=3A+B$
...'........
$a+2b+3c=A+2B$
................
Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.

Запишите здесь 3 уравнения, которые бы выбрали Вы.

[vadulik]

ИСН в сообщении #924300 писал(а):

Ну вот формула:
$\begin{array}{l} {R^3\over3}\left( {\pi\over2} +2ab\sqrt{1-a^2-b^2} -a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ \left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2} +\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)} \right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

Благодарю Вас за формулу - она работает.
Теперь бы разобраться как вывести такую красоту.

[TOTAL]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #924300 писал(а):

$\begin{array}{l} {R^3\over3}\left( {\pi\over2} +2ab\sqrt{1-a^2-b^2} -a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ \left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2} +\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)} \right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

К сожалению, формула не помогает, от неё становится только хуже, особенно от последнего слагаемого.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

vadulik
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[vadulik]

TOTAL в сообщении #924338 писал(а):

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #924300 писал(а):

$\begin{array}{l} {R^3\over3}\left( {\pi\over2} +2ab\sqrt{1-a^2-b^2} -a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ \left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2} +\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)} \right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

К сожалению, формула не помогает, от неё становится только хуже, особенно от последнего слагаемого.

Что значит формула не помогает? Чему или кому?
Я проверил работоспособность формулы - результат вычисления объёма по этой формуле совпадает с объёмом который "выдаёт" Компас 3D

[Nemiroff]

vadulik в сообщении #924376 писал(а):

Что значит формула не помогает? Чему или кому?

Это значит, что эта формула — квинтэссенция боли, что в свою очередь мешает решать задачу элементарными методами.

Bartini в сообщении #924322 писал(а):

Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.

[ИСН]

Вывести просто: двойной интеграл взять. Разумеется, большую часть работы я делал не руками. Можно ли упростить? Наверное, можно, но лишь чуть-чуть, и то я сейчас не соображу, как.
Вопрос о школьных методах, кажется, уже занесло опавшими листьями.

[Sender]

ИСН, в чём считали, если не секрет? У меня mathematica наотрез отказалась его считать, maxima считает, но выдаёт странное. Или это я выдаю странное? Вроде должен быть такой интеграл:

$$2\int\limits_{H_1}^{\sqrt{R^2-H_2^2}}dx \int\limits_{H_2}^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy$$

[vadulik]

ИСН в сообщении #924385 писал(а):

Вопрос о школьных методах, кажется, уже занесло опавшими листьями.

я уже тоже склоняюсь к такому мнению

[ИСН]

Sender в сообщении #924397 писал(а):

Вроде должен быть такой интеграл

Да, именно такой, и - в Математике. Да, она не считает его в лоб. Но можно взять внутренний интеграл как неопределённый, а потом...

[Bartini]

Предлагаю рассмотреть следующую систему обозначений, разобьем шар на 4 части двумя перпендикулярными плоскостями:
V-Объём шара,
A- объем большего сегмента, отсекаемых одной плоскостью
B- объем меньшего сегмента, отсекаемых второй плоскостью
c- область пересечения сегментов A,B,
а- объем большего сегмента за вычетом области пересечения,
b- объём меньшего сегмента,за вычетом области пересечения,
d- объём элемента диагонального к элементу c
И систему уравнений:
$a+c=A$
$b+c=B$
$d+b=V-A$
$d+a=V-B$
$a+b+c+d=V$
Очевидно справедливо следующее уравнение:
$2a+b-c=V-B$
Из системы следует:
$d+c=a+b$
Т.е. сумма диагональных частей такого разбиения всегда равна половине объёма шара.
Далее наверное просто?

[ИСН]

Да-да, конечно. Наверное. Наверное, скоро я ощущу этот неземной вкус локтя во рту.

[Bartini]

А вот он и локоть:
$c=\frac{A+B}{2}-\frac{V}{4}$
Правда чужой локоть во рту может оказаться не столь приятным:)