Сколько различных пятизначных чисел можно составить ?

[MAKSUS_87]

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы цифры не повторялись, и сумма крайних цифр была двузначным числом ?

Мои мысли:
Напишем, какие пары цифр могут быть "на концах" числа, чтобы их сумма была двузначным числом.
3 и 7
4 и 6
4 и 7
5 и 6
5 и 7
6 и 7
Еще их можно переставить наоборот
7 и 3
6 и 4
7 и 4
6 и 5
7 и 5
7 и 6

Таким образом имеем $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2$ и домножим это еще на 2 получаем 960.
Заранее спасибо.

[gris]

Идея хорошая.
А в Вашем решении отдельные сомножители какой смысл имеют? Где, интересно, вот эти 6 или 12 пар? Где внутренность?
Если вручную:
Вот я выбрал пару $3$ и $7$.
Число будет вида $3ABC7$.
Внутренность $ABC$ надо заполнить цифрами из множества $\{1,2,4,5,6\}$. Как?
Ну и пару слов надо сказать, что мы не получим дублей.

[MAKSUS_87]

Поясняю свое решение:
Первый множитель 4 - это цифры, которые могут стоять на первой позиции (3, 4, 5, 6),
Пятый множитель - 2 -это цифры, которые могут стоять на второй позиции (7, 6),
Второй, третий, четвертый множители - это заполнение остальных цифр (их 5 вариантов)
Далее, у нас есть еще второй способ заполнения, но он отличается только перестановкой соседних чисел, поэтому просто умножаем на 2.

[Shtorm]

MAKSUS_87 в сообщении #917858 писал(а):

Второй, третий, четвертый множители - это заполнение остальных цифр (их 5 вариантов)

Если Вы говорите о внутреннем заполнении между крайними цифрами, то это должно быть количество перестановок из 5 по 3. То есть $5\cdot4\cdot3$. Внутри же должны стоять три цифры и эти три цифры мы должны выбрать из оставшихся пяти цифр. Да, у Вас так и есть, непонятно только почему Вы пишите, что их 5 вариантов, когда вариантов 60. И Вы там выше выписали 12 вариантов расположения крайних цифр. Почему просто не использовать эти 12 вариантов?

[MAKSUS_87]

Shtorm

Да, вариантов не 5, описался, хотел написать выбор из 5-ти цифр, так будет правильней ?

[Shtorm]

MAKSUS_87, лучше так: выбор из 5-ти цифр по 3-и цифры. Так почему Вы не использовали число 12 в расчётах - количество расположений крайних цифр?

[MAKSUS_87]

Shtorm

Потому что я не догоняю как его использовать.

[Shtorm]

MAKSUS_87, просто умножить на 12

[MAKSUS_87]

Shtorm

$12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cdot 3 = 720$ ?

[Shtorm]

MAKSUS_87, да.

[MAKSUS_87]

Shtorm

Хм... странно, у меня ответ был 960, а тут 720, что верно ? Как проверить ?

[Shtorm]

MAKSUS_87 в сообщении #917858 писал(а):

Первый множитель 4 - это цифры, которые могут стоять на первой позиции (3, 4, 5, 6),
Пятый множитель - 2 -это цифры, которые могут стоять на второй позиции (7, 6),

Вот тут и кроется ошибка в рассуждении. То есть рассуждение-то верное, но способ расчёта на основе этих рассуждений - неверен. При таком способе подсчёта получаются в том числе и такие комбинации первой и последней цифр: $(3,6), (6,6)$, а по условию задачи такого быть не должно.
Как раз эти два неправильных варианта умножаем на два - получаем 4 неправильных варианта. И при этих 4-ёх неправильных вариантах цифры между ними переставляются 60-тью способами. $4\cdot60=240$. Вот как раз и получили разницу $240$ между правильным и неправильным ответом.

[MAKSUS_87]

Shtorm

Спасибо большое за потраченное ваше время.