Проекторы

[Утундрий]

Есть у меня некий линейный оператор $\omega$, действующий в линейном пространстве размерности $d$. Иногда из него удаётся составить проектор $P$. Это сразу же облегчает разрешение некоторых уравнений. Следовательно, проектор - это хорошо! Иногда (зависит от $d$) не удаётся. И это печально. А иногда удаётся составить более одного проектора.

Так вот, хотелось бы знать - это просто хорошо или очень хорошо? Другими словами, способствует ли сей знаменательный факт появлению более чем двух инвариантных подпространств или ситуация не лучше случая существования одного проектора и у меня всего лишь появляется некоторая свобода выбора?

[Munin]

Для начала разговора: каким образом составить?

(Страшный зверь - поектор.)

[Утундрий]

Например, в случае $d=3, \quad \omega ^3 = \omega \quad ,$ и можно сочинить три проектора

$$\omega ^2 ,\quad \frac{{\omega ^2 \pm \omega }}{2}$$

[popolznev]

Такое впечатление, что вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе.

[Утундрий]

popolznev в сообщении #912960 писал(а):

вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе

В примере выше это произвольная матрица $3 \times 3$, связанная только условием $\omega ^3 = \omega$. В других размерностях всё аналогично, только условия красивше.

[g______d]

Если $p(A)$ является проектором (где $p$ - полином одной переменой), то спектр $A$ принадлежит $p^{-1}(\{0,1\})$.

-- Сб, 27 сен 2014 13:46:16 --

Более того, применяя это аргумент к каждому жорданову блоку, получаем, что ядро и образ проектора будут инвариантными подпространствами исходного оператора (наверное, можно и проще).

[popolznev]

Утундрий в сообщении #912962 писал(а):

popolznev в сообщении #912960 писал(а):

вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе

В примере выше это произвольная матрица $3 \times 3$, связанная только условием $\omega ^3 = \omega$. В других размерностях всё аналогично, только условия красивше.

Ну вот да, я так и подумал, что есть какое-то соотношение.

[Утундрий]

g______d в сообщении #912966 писал(а):

ядро и образ проектора будут инвариантными подпространствами исходного оператора

То есть других инвариантных пространств вычленить не получится?

popolznev в сообщении #912972 писал(а):

я так и подумал, что есть какое-то соотношение

Вы его просто не заметили - оно там справа от размерности привинчено.

[popolznev]

Цитата:

Цитата:

соотношение

Вы его просто не заметили - оно там справа от размерности привинчено.

Да, в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу.

[Otta]

Утундрий в сообщении #912930 писал(а):

Иногда (зависит от $d$) не удаётся.

А что, правда иногда не удается? Когда?

-- 28.09.2014, 03:20 --

popolznev в сообщении #912980 писал(а):

Да, в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу.

Ну характеристический многочлен, по крайней мере, всегда есть.

[popolznev]

Цитата:

Ну характеристический многочлен, по крайней мере, всегда есть.

Вот именно что всегда. Но тут как будто подразумевается что-то такое, что бывает не всегда (например, таково условие $\omega^3 = \omega$).

[g______d]

Утундрий в сообщении #912977 писал(а):

То есть других инвариантных пространств вычленить не получится?

Ну, проектор же не один, как Вы говорите. По одному на каждый. Кроме того, инвариантные пространства можно пересекать.

[Munin]

Утундрий в сообщении #912944 писал(а):

Например, в случае $d=3, \quad \omega ^3 = \omega$

Рассмотрим жорданову нормальную форму оператора $\omega.$ Из равенства $\omega^3=\omega$ легко получим, что в жордановой нормальной форме $\omega=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ (по крайней мере, над полями $\mathbb{R},\mathbb{C}$). Отсюда, как я понимаю, получается, что если $\omega$ - проектор, то и все полиномы от него - проекторы в то же самое подпространство. Не обязательно на: в общем случае $\lambda_1\ne\lambda_2\ne\lambda_3\ne\lambda_1,$ можно выбирать любое подмножество жордановых клеток, и проецировать на соответствующее подпространство. Но для этого надо знать точно сами собственные значения, а если их не знать - получится в общем случае проектор на то же самое подпространство, что и у исходного $\omega.$

[Утундрий]

popolznev в сообщении #912980 писал(а):

в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу

Я бы с удовольствием вывалил сюда весь имеющийся ворох условий, но погожу, так как пока что не определился с диапазонами значений коэффициентов.

g______d в сообщении #912985 писал(а):

Кроме того, инвариантные пространства можно пересекать.

Вооот! Так в этом же и вопрос. Как это делается технически?

-- Вс сен 28, 2014 01:45:45 --

Munin в сообщении #912988 писал(а):

если $\omega$ - проектор

Совсем не обязательно. Это я среди функций от $\omega$ проекторы ищу.

[Munin]

Утундрий в сообщении #912991 писал(а):

Совсем не обязательно. Это я среди функций от $\omega$ проекторы ищу.

Я оговорился. Разумеется, не нужно, чтобы $\omega$ был проектором. Я забыл, что проектор должен оставлять подпространство неизменным. Вместо "проектор" у меня стоит читать "вырожденный эрмитов оператор". (и даже не обязательно вырожденный...)