2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Число зверя.
Сообщение11.09.2014, 09:43 


16/06/13

133
Есть 666 значное число . Если первых 43 цифры переставить назад то число увеличится в 3 раза. Если задних 55 цифр переставить вперед, то число увеличится в 5 раз. Если первых 128 чисел переставить назад, то число увеличится в 2 раза. Если задних 183 цифры переставить в перёд то число увеличится в 6 раз. Если задних 314 переставить в перёд то число увеличится в 4 раза.
Найдите это число. Конечно это далеко не для олимпиадных задач но история этого числа интересна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение11.09.2014, 11:07 


16/06/13

133
Gematria в сообщении #906568 писал(а):
Если первых 128 чисел

Следует читать 128 цифр

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение11.09.2014, 22:38 
Заслуженный участник


03/12/07
344
Украина
Первые 666 цифр после запятой дроби $1/7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение11.09.2014, 23:09 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение12.09.2014, 07:08 


16/06/13

133
Edward_Tur в сообщении #906823 писал(а):
Первые 666 цифр после запятой дроби $1/7$

Число целое но ход ваших мыслей мне нравиться.
Aritaborian в сообщении #906840 писал(а):
Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.

Подобные задачи помнется решали в 5 классе. Может кто помнет аналог с знаменитым шахматным числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение20.09.2014, 00:48 


16/06/13

133
Aritaborian в сообщении #906840 писал(а):
Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.


Специально состряпала для Вас такое число что когда кто либо даст ответ глядя на цифры Вы практически сами поймёте.

Есть $666^{666}.                                                         $ значное число, если задних 4294967293 цифры переставить вперёд число увеличится в 2 раза. Если у полученного числа опять переставить столько - же задних цифр в перёд число опять увеличится в 2 раза.
Если у полученного числа опять переставить столько - же задних цифр в перёд число опять увеличится в 2 раза

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение20.09.2014, 09:30 


26/08/11
2057
Период $2/19$ достаточное число раз. (период 18 так что подходит). Перемещение последней цифры на первое место (или последних $18k+1$ цифр) число увеличивает число в 2 раза и т.д.
Вообще если при пермещении последней цифры числа вначале оно увеличивается в $k$ раз, то наше число - один или несколько полных периодов дроби $\dfrac{n}{10k-1}$, где $k \le n\le 9$

Наибольший период при $k=6$ - 58

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.09.2014, 11:01 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Gematria
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.09.2014, 23:31 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение20.09.2014, 23:44 


16/06/13

133
Shadow в сообщении #909772 писал(а):
Период $2/19$ достаточное число раз. (период 18 так что подходит). Перемещение последней цифры на первое место (или последних $18k+1$ цифр) число увеличивает число в 2 раза и т.д.
Вообще если при пермещении последней цифры числа вначале оно увеличивается в $k$ раз, то наше число - один или несколько полных периодов дроби $\dfrac{n}{10k-1}$, где $k \le n\le 9$

Наибольший период при $k=6$ - 58


При помощи Вашего способа даже знать числа не надо. Моё решение сперва даёт сперва числа а потом я определяю период. Я не могу сказать чей способ проще мой метод 30 секунд в уме. В связи с чем хотела бы спросить докажите единственность решения первой задачи. Мой способ это доказывает сам собой а как у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение21.09.2014, 14:13 


16/06/13

133
. Уважаемый т. Shadow во первых извините меня за не совсем красивый ответ. Просто бабушка пока в карантине мучилась, пытаясь исправить свои 150 формул. Спасибо людям добрым. Я потом его отрехтую до корректного состояния. Во-вторых, спасибо, что дали полное и простое объяснение, показали тов.. как решаются подобные задачи. У меня к Вам такой вопрос не знаю, замечали вы, на мой взгляд, одну интересную особенность таких периодов. Если о таком периоде известно, что в нём есть какая либо цифра можете назвать вторую цифру, которая в обязательном порядке в этом периоде будет. Это как дополнение можно использовать в решении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение21.09.2014, 17:59 


26/08/11
2057
Да, Gematria, можно. Если знаем последнюю цифру последовательно получим остальные. А можно и так (задачу при перемещении последней цифры в начале увеличивается в 2 раза.) Пусть наше $n$-значное число $X=10A+b$. По условию
$(10A+b)\cdot 2=b\cdot 10^{n-1}+A$

$A=b\cdot\dfrac{10^{n-1}-2}{19}$

$X=10A+b=b\cdot\dfrac{10^n-1}{19}$

Откуда все решения при $10^n \equiv 1 \pmod {19}$

Известно, что $n$-значное число $X$ является периодом дроби $\dfrac{X}{10^n-1}$

А у нас $\dfrac{X}{10^n-1}=\dfrac{b}{19},\quad b\ge 2$

У этих дробей (и не только) одинаковые цифры с смещением.

У Вас в первой задаче условие 666-значное и еще одно из осталных однозначно определеяет число как период $1/7$ (правда, степени там неприятные)
А числа, которые получаются при перемещении туда-сюда - $b/7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение21.09.2014, 22:06 


16/06/13

133
Shadow в сообщении #910239 писал(а):
У этих дробей (и не только) одинаковые цифры с смещением.

Если такую последовательность разделить по палам с равным количеством чисел, а потом сложить эти два число получаются одни 999999.. . Правда это не всегда в основном, когда может быть увеличена не менее чем дважды. Например, если у Вас первая цифра 1 то первая во второй половине 8.
Если знаем последнюю цифру последовательно получим остальные. Всё правильно задача так решается логически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение25.09.2014, 17:19 


16/06/13

133
Как решать такие задачи устно и быстро.
Рассмотрим на примере первой задачи. То что многих с первого раза пугает многозначность числа, несуразность этого должна игнорироваться. И стать наоборот помощником, указываем, что число имеет повторяющий период. 666 подсказывает, что период кратен 6.Перенос первых 43 цифр назад надо рассматривать как не 43 цифры, а 1. Это не кратность к 6.Далее вы знаете, что число может умножаться на 5 и 6, следовательно, вы знаете, что 1я цифра 1.Почему потому что если первая цифра будет больше 1 то при умножении более чем на 4, значность числа увеличится на 1 цифру. А у нас количество цифр не меняется, следовательно, первая цифра только 1.Теперь при умножении не известного числа на 3 порядок цифр не изменится за исключением переноса первой цифры назад. И так какая цифра это позволяет сделать только 7. У нас получим в конце 1, 2 в уме. Теперь нам надо найти цифру приумножении на 3 чтоб получить 7, почему 7 потому что последовательность кроме перестановки 1й цифры сохранилась. Помня о 2х в уме следовательно нам надо получить при х3 пять, Это только5 5х3 да 2, 17, 7 пишем, 1 в уме. Мы знаем, что вторая с заде цифра 5, нам её и надо получить при х3. Но для этого нам надо чтобы 3 умноженное на какое-то число дало 4, так как 1 у нас уже есть. А для этого подойдёт, только 8х3 пишем 5 , 2 в уме. Теперь нам надо 3 умножить так, чтоб получить 6, да два дадут 8. Это 2, чтобы получить 2 надо 4. А чтобы получить 4 с 1 в уме над 1, а чтобы получить 1 , надо 7. Здесь стоп пошёл повтор 1, 7. Вы получили 142857. Другие увеличения числа нет и смысла делать. Более того как только Вы узнали что последняя цифра может быть только 7 Вы тут же утверждаете что задача имеет единственное решение. Почему надеюсь, понимаете сами. И поэтому попытки найти, какой либо большей период не имеет смысла. 2 я задача аналогично точно знаете, что первая цифра 1 а последними 842.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число зверя.
Сообщение25.09.2014, 19:41 


26/08/11
2057
Gematria в сообщении #911936 писал(а):
Как решать такие задачи

Типичный пример как не надо решать такие задачи.
Gematria в сообщении #911936 писал(а):
666 подсказывает, что период кратен 6.Перенос первых 43 цифр назад надо рассматривать как не 43 цифры, а 1.

Не валяйте дурака, возьмите любую дробь с каким угодно большим периодом $\dfrac a p,\quad  p/10<a<p$. Такие же цифры с смещением будут иметь и дроби $\dfrac{2a}{p},\dfrac{3a}{p},\cdots,\dfrac{9a}{p}$. И тога перенос первых 43 цифр означает 43 цифр и никак не меньше.
Вы кажется ничего не поняли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group