Число зверя.

[Gematria]

Есть 666 значное число . Если первых 43 цифры переставить назад то число увеличится в 3 раза. Если задних 55 цифр переставить вперед, то число увеличится в 5 раз. Если первых 128 чисел переставить назад, то число увеличится в 2 раза. Если задних 183 цифры переставить в перёд то число увеличится в 6 раз. Если задних 314 переставить в перёд то число увеличится в 4 раза.
Найдите это число. Конечно это далеко не для олимпиадных задач но история этого числа интересна.

[Gematria]

Gematria в сообщении #906568 писал(а):

Если первых 128 чисел

Следует читать 128 цифр

[Edward_Tur]

Первые 666 цифр после запятой дроби $1/7$

[Aritaborian]

Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.

[Gematria]

Edward_Tur в сообщении #906823 писал(а):

Первые 666 цифр после запятой дроби $1/7$

Число целое но ход ваших мыслей мне нравиться.

Aritaborian в сообщении #906840 писал(а):

Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.

Подобные задачи помнется решали в 5 классе. Может кто помнет аналог с знаменитым шахматным числом.

[Gematria]

Aritaborian в сообщении #906840 писал(а):

Забавы ради проверил: верно. Но не понимаю, как найти это решение.

Специально состряпала для Вас такое число что когда кто либо даст ответ глядя на цифры Вы практически сами поймёте.

Есть $666^{666}. $ значное число, если задних 4294967293 цифры переставить вперёд число увеличится в 2 раза. Если у полученного числа опять переставить столько - же задних цифр в перёд число опять увеличится в 2 раза.
Если у полученного числа опять переставить столько - же задних цифр в перёд число опять увеличится в 2 раза

[Shadow]

Период $2/19$ достаточное число раз. (период 18 так что подходит). Перемещение последней цифры на первое место (или последних $18k+1$ цифр) число увеличивает число в 2 раза и т.д.
Вообще если при пермещении последней цифры числа вначале оно увеличивается в $k$ раз, то наше число - один или несколько полных периодов дроби $\dfrac{n}{10k-1}$, где $k \le n\le 9$

Наибольший период при $k=6$ - 58

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Gematria
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[Gematria]

Shadow в сообщении #909772 писал(а):

Период $2/19$ достаточное число раз. (период 18 так что подходит). Перемещение последней цифры на первое место (или последних $18k+1$ цифр) число увеличивает число в 2 раза и т.д.
Вообще если при пермещении последней цифры числа вначале оно увеличивается в $k$ раз, то наше число - один или несколько полных периодов дроби $\dfrac{n}{10k-1}$, где $k \le n\le 9$

Наибольший период при $k=6$ - 58

При помощи Вашего способа даже знать числа не надо. Моё решение сперва даёт сперва числа а потом я определяю период. Я не могу сказать чей способ проще мой метод 30 секунд в уме. В связи с чем хотела бы спросить докажите единственность решения первой задачи. Мой способ это доказывает сам собой а как у Вас.

[Gematria]

. Уважаемый т. Shadow во первых извините меня за не совсем красивый ответ. Просто бабушка пока в карантине мучилась, пытаясь исправить свои 150 формул. Спасибо людям добрым. Я потом его отрехтую до корректного состояния. Во-вторых, спасибо, что дали полное и простое объяснение, показали тов.. как решаются подобные задачи. У меня к Вам такой вопрос не знаю, замечали вы, на мой взгляд, одну интересную особенность таких периодов. Если о таком периоде известно, что в нём есть какая либо цифра можете назвать вторую цифру, которая в обязательном порядке в этом периоде будет. Это как дополнение можно использовать в решении.

[Shadow]

Да, Gematria, можно. Если знаем последнюю цифру последовательно получим остальные. А можно и так (задачу при перемещении последней цифры в начале увеличивается в 2 раза.) Пусть наше $n$-значное число $X=10A+b$. По условию
$(10A+b)\cdot 2=b\cdot 10^{n-1}+A$

$A=b\cdot\dfrac{10^{n-1}-2}{19}$

$X=10A+b=b\cdot\dfrac{10^n-1}{19}$

Откуда все решения при $10^n \equiv 1 \pmod {19}$

Известно, что $n$-значное число $X$ является периодом дроби $\dfrac{X}{10^n-1}$

А у нас $\dfrac{X}{10^n-1}=\dfrac{b}{19},\quad b\ge 2$

У этих дробей (и не только) одинаковые цифры с смещением.

У Вас в первой задаче условие 666-значное и еще одно из осталных однозначно определеяет число как период $1/7$ (правда, степени там неприятные)
А числа, которые получаются при перемещении туда-сюда - $b/7$

[Gematria]

Shadow в сообщении #910239 писал(а):

У этих дробей (и не только) одинаковые цифры с смещением.

Если такую последовательность разделить по палам с равным количеством чисел, а потом сложить эти два число получаются одни 999999.. . Правда это не всегда в основном, когда может быть увеличена не менее чем дважды. Например, если у Вас первая цифра 1 то первая во второй половине 8.
Если знаем последнюю цифру последовательно получим остальные. Всё правильно задача так решается логически.

[Gematria]

Как решать такие задачи устно и быстро.
Рассмотрим на примере первой задачи. То что многих с первого раза пугает многозначность числа, несуразность этого должна игнорироваться. И стать наоборот помощником, указываем, что число имеет повторяющий период. 666 подсказывает, что период кратен 6.Перенос первых 43 цифр назад надо рассматривать как не 43 цифры, а 1. Это не кратность к 6.Далее вы знаете, что число может умножаться на 5 и 6, следовательно, вы знаете, что 1я цифра 1.Почему потому что если первая цифра будет больше 1 то при умножении более чем на 4, значность числа увеличится на 1 цифру. А у нас количество цифр не меняется, следовательно, первая цифра только 1.Теперь при умножении не известного числа на 3 порядок цифр не изменится за исключением переноса первой цифры назад. И так какая цифра это позволяет сделать только 7. У нас получим в конце 1, 2 в уме. Теперь нам надо найти цифру приумножении на 3 чтоб получить 7, почему 7 потому что последовательность кроме перестановки 1й цифры сохранилась. Помня о 2х в уме следовательно нам надо получить при х3 пять, Это только5 5х3 да 2, 17, 7 пишем, 1 в уме. Мы знаем, что вторая с заде цифра 5, нам её и надо получить при х3. Но для этого нам надо чтобы 3 умноженное на какое-то число дало 4, так как 1 у нас уже есть. А для этого подойдёт, только 8х3 пишем 5 , 2 в уме. Теперь нам надо 3 умножить так, чтоб получить 6, да два дадут 8. Это 2, чтобы получить 2 надо 4. А чтобы получить 4 с 1 в уме над 1, а чтобы получить 1 , надо 7. Здесь стоп пошёл повтор 1, 7. Вы получили 142857. Другие увеличения числа нет и смысла делать. Более того как только Вы узнали что последняя цифра может быть только 7 Вы тут же утверждаете что задача имеет единственное решение. Почему надеюсь, понимаете сами. И поэтому попытки найти, какой либо большей период не имеет смысла. 2 я задача аналогично точно знаете, что первая цифра 1 а последними 842.

[Shadow]

Gematria в сообщении #911936 писал(а):

Как решать такие задачи

Типичный пример как не надо решать такие задачи.

Gematria в сообщении #911936 писал(а):

666 подсказывает, что период кратен 6.Перенос первых 43 цифр назад надо рассматривать как не 43 цифры, а 1.

Не валяйте дурака, возьмите любую дробь с каким угодно большим периодом $\dfrac a p,\quad p/10<a<p$. Такие же цифры с смещением будут иметь и дроби $\dfrac{2a}{p},\dfrac{3a}{p},\cdots,\dfrac{9a}{p}$. И тога перенос первых 43 цифр означает 43 цифр и никак не меньше.
Вы кажется ничего не поняли.