Новый раздел геометрии?

[kavict]

Изучая свойства систем сжатых капель, обнаружил, что жидкое тело - интересный геометрический объект. Под жидким телом здесь понимается порция несжимаемой жидкости, не обладающей смачиванием, поверхностное натяжение которой играет существенную роль, а инерционными силами и силой тяжести можно пренебречь. Назовем такое тело просто "капля". Гидростатическое давление внутри этой капли везде одинаково.

Если каплю деформировать жесткими стенками, то ее свободная поверхность во всех точках сохраняет одинаковую среднюю кривизну, а полная площадь поверхности и внутреннее давление растут. Установлено, что приращение площади поверхности $DS$ капли пропорционально работе $A$ внешних сил, деформирующих ее:

$f DS = A$, (1)

где: $f$ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Если принять мерой деформации перемещенный объем - объем жидкости, перетекающей в капле при изменении ее формы, есть основания утверждать, что на элементарной деформации, на которой давление $p$ жидкости можно считать постоянным, имеет место равенство:

$p dM = dA$, (2)

где: $dM$ - элементарный перемещенный объем;
$dA$ - работа внешних сил на элементарной деформации.

Как известно, давление в жидкости связано со средней кривизной $H$ ее свободной поверхности формулой Лапласа:

$p = 2f H$ (3)

Объединяя (1),(2) и (3), получим для элементарной деформации капли:

$f dS = 2f H dM$,
откуда:

$H = 1/2 (dS/dM)$

Как видим, физика жидкости из последнего выражения ушла, а осталась только геометрия. И это всего лишь один из примеров геометрических свойств жидкого тела, в котором кроется еще много интересного.

Если кто-то из математиков захочет заняться этой темой, он откроет для себя уникальную возможность стать основоположником нового раздела математики - геометрии жидких тел (или как он сам захочет его назвать).
Со своей стороны обещаю всякое содействие.

[Munin]

Во-первых, это старый и хорошо известный раздел геометрии - дифференциальная геометрия (в том числе, вариационные методы, которые в ней и так широко применяются).

Во-вторых, формула (2) неверна. Она была бы верна, если бы выражение $d(pV)=dA$ дифференцировали при постоянном давлении и переменном объёме. Но во-первых, объём в данном случае постоянный, а давление переменное; во-вторых, внутренняя энергия жидкости записывается не выражением $pV,$ верным для идеального газа, а другим выражением, вида $U_\mathrm{T}+fS,$ где первое слагаемое - тепловая энергия (предполагается постоянной), а второе слагаемое - поверхностная энергия. Дифференцирование этого выражения приводит к формуле (1).

Таким образом, формулы (2) вообще нет, скомбинировать (1), (2) и (3) указанным способом нельзя, и результата нет.

[kavict]

Вы не совсем правильно поняли - речь идет не об объеме капли, который всегда постоянный, а о перемещенном объеме вещества тела при изменении его формы.

[Munin]

Начать с того, что его вообще нельзя внятно дефинировать.

[kavict]

Поэтому здесь и говорится о новом разделе геометрии, где бы это понятие внятно дефинировалось.

[Munin]

Нет, сначала дефинируйте, потом говорите о новом разделе геометрии.

Вы вообще знакомы с дифференциальной геометрией-то?

[kavict]

Вот как я описал понятие перемещенного объема в своей книге "Давайте сделаем открытие":

"Что может служить мерой изменения формы? Представим себе тело не сплошным, а в виде эластичной оболочки, заполненной жидкостью, внутреннее пространство которой разделено перегородками на множество мелких замкнутых объемов. Когда мы попытаемся изменить внешнюю форму этой оболочки, то обнаружим, что сделать это невозможно – внутри жидкость
не может перемещаться свободно из-за перегородок, и форма держится такой, какая заложена в исходном распределении вещества между замкнутыми объемами. В данном случае оказывается безразличным – жидкость ли заполняет эти мелкие внутренние пространства, или это сплошное жесткое тело. Но стоит нам проделать отверстия в перегородках, чтобы жидкость могла беспрепятственно перетекать сквозь них, и оболочка в целом станет податливой, допускающей деформацию. Значит, изменение формы сопровождается перемещением вещества внутри нее. И, по всей видимости, чем сильнее форма изменяется, тем больше вещества должно переместиться.
Следовательно, при изменении формы внутри нее перемещается некоторый объем, который мы будем называть перемещенным объемом.

Чтобы представить величину этого перемещенного объема, обратимся к простому примеру. Допустим, у нас есть кусок пластилина, которому нужно придать другую форму. Сделать это можно двумя способами: первый, самый естественный –
деформировать весь кусок в нужном направлении, постепенно получая из него требуемую конфигурацию. Но так мы не узнаем, сколько пластилина при этом переместилось. Более наглядный в этом смысле второй способ – от исходной формы отсекаем все то, что не войдет в ее конечный вид, затем из отсеченных кусков
вылепливаем новые детали, которых не хватает в оставшейся части для новой формы, и присоединяем их в нужных местах. Таким образом, весь наш кусок пластилина мы сначала разделили на две части – одну, не изменяемую, которая, можно сказать, осталась на месте, и другую – которую мы изменили и переместили в другое место. Соединив их, мы и получили конечную форму, где вторая часть пластилина как раз и составляет перемещенный объем.

Этот пример, по сути, является алгоритмом нахождения перемещенного объема. Алгоритм этот состоит в следующем – совмещаются две сравниваемые равновеликие формы так, чтобы область их пересечения была наибольшей. Тогда искомый
перемещенный объем – это объем частей одной из форм, которые не вошли в область пересечения. Естественно, такой же объем имеют и части второй формы, так же не вошедшие в область пересечения.

Идея перемещенного объема, вообще говоря, не нова. В геометрии существует такое понятие как расстояние между формами по объему. Определяется оно почти так же, как только что описали – две формы, не обязательно равновеликие, совмещаются с максимальным пересечением и измеряются объемы их частей, не вошедшие в это пересечение. Сумма всех этих выступающих объемов и есть искомая величина.
В нашем случае мы ограничиваемся сравнением только равновеликих форм, и берем не все расстояние между этими формами по объему, а половину его, что соответствует нашему понятию перемещенного объема."

Конечно, это объяснение, как говорится, "на пальцах". Но как это понятие перевести
на язык математики, я не знаю, поэтому и обращаюсь к профессионалам.

[arseniiv]

Можно всякие

$$\int_\text{везде}\left(\left(\mathbf r-\int_\text{везде}\mathbf r\,d\mathbf r\right),\mathbf a\right)^md\mathbf r$$

вычислять, если так хочется определить перемещённый объём, но вряд ли это будет то, что ожидается, и нового раздела геометрии это тоже не сделает.

P. S. Лучше вместо «форма», наверно, пишите «фигура» — первое навевает не те ассоциации.

[Munin]

kavict в сообщении #905980 писал(а):

Вот как я описал понятие перемещенного объема в своей книге "Давайте сделаем открытие"

Диагноз ясен.

Ответ на вопрос будет?

Munin в сообщении #905953 писал(а):

Вы вообще знакомы с дифференциальной геометрией-то?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

kavict в сообщении #905928 писал(а):

Если кто-то из математиков захочет заняться этой темой, он откроет для себя уникальную возможность стать основоположником нового раздела математики - геометрии жидких тел (или как он сам захочет его назвать).
Со своей стороны обещаю всякое содействие.

Взять и подарить постороннему такую уникальную возможность стать основоположником нового раздела математики, да еще при этом всякое содействие обещать...
Какая душевная щедрость и бескорыстность.

[kavict]

Munin в сообщении #905953 писал(а):

Вы вообще знакомы с дифференциальной геометрией-то?

Немного знаком, а что?

-- 10.09.2014, 18:05 --

Dan B-Yallay в сообщении #906068 писал(а):

(Оффтоп)

Взять и подарить постороннему такую уникальную возможность стать основоположником нового раздела математики, да еще при этом всякое содействие обещать...
Какая душевная щедрость и бескорыстность.

Уважаемый Dan B-Yallay, дело в том, что я физик, а не математик, и не обладаю
тем завидным складом ума, свойственным настоящим математикам. Поэтому не берусь
не за свое дело, а выношу свою идею на суд математиков.

Судя по Вашему сарказму, Вы считаете нормальным заниматься не своим делом в науке,
если это сулит личные выгоды.

[Dan B-Yallay]

Возмите кусок пластилина и слегка деформируйте его со скосом (типа квадрат ---> в параллелограм). Очевидно, что согласно определению в вашей "книге" перемещенным обьемом будет лишь часть пластилина. Когда же вы перейдете к разбиению пластилина на малые части - столкнетесь с тем, что в КАЖДОЙ части есть перемещение (включая те, которые находятся в неподвижном по вашему определению куске) и таким образом перемещенным будет весь обьем.

Вам уже сказали, что вводимое вами понятие не поддается внятному дефинированию. Поэтому ваше предложение ничем не лучше предложения поставить у Путина на столе красную кнопку, которую нажал - и в Вашингтоне землетрясение.
Вопрос КАК эта кнопка будет вызывать землетрясение - вас не волнует.
Ваше дело идею подкинуть. Не так ли?

А личная выгода тут ни причем.

[kavict]

Уважаемый Dan B-Yallay,
с Вашим примером я полностью согласен, но он показывает только качественную сторону явления. Действительно, перемещения при деформации будут происходить в любой точке тела. Мы же говорим о количественной характеристике, т.е. о мере деформации. Именно эта величина, названная перемещенным объемом, характеризует степень изменения формы.

Теперь о дефинировании понятия перемещенного объема. Это понятие я не придумал - оно существует физически. С его помощью получены некоторые результаты компьютерным
моделированием процесса деформации. Кроме этого существует книга "Перемещенный объем как мера пластической деформации". Название я нашел в Интернете, но саму книгу, к
сожалению, не видел. Логично предположить, что любое физическое явление можно описать математически. А если это на данный момент не получается, то здесь, по моему мнению,
может быть только две причины - либо за это еще не взялся настоящий специалист в этой области, либо в самой математике еще не созданы понятия для описания таких задач.

И, наконец, о личной выгоде. Вы сами начали эту тему своим сарказмом по поводу моей душевной щедрости и бескорыстности, подразумевая, что в моем предложении математикам таится какой-то подвох. Давайте об этом закончим.

[Munin]

kavict в сообщении #906593 писал(а):

Действительно, перемещения при деформации будут происходить в любой точке тела. Мы же говорим о количественной характеристике, т.е. о мере деформации.

Именно она и получилась двумя разными способами вычисления двумя разными величинами. Итак, количественную характеристику дефинировать нельзя. Пока вы не займётесь этим вопросом сами лично вплотную, и не произнесёте что-то более внятное.

kavict в сообщении #906593 писал(а):

Теперь о дефинировании понятия перемещенного объема. Это понятие я не придумал - оно существует физически.

К сожалению, не существует.

kavict в сообщении #906593 писал(а):

С его помощью получены некоторые результаты компьютерным моделированием процесса деформации. Кроме этого существует книга "Перемещенный объем как мера пластической деформации". Название я нашел в Интернете, но саму книгу, к сожалению, не видел.

Это не аргумент.

(Сильно подозреваю, что речь идёт о малых деформациях, и об объёме разности двух трёхмерных тел.)

kavict в сообщении #906593 писал(а):

Логично предположить, что любое физическое явление можно описать математически.

Во-первых, не логично, во-вторых, и физического-то понятия не существует.

kavict в сообщении #906593 писал(а):

А если это на данный момент не получается, то здесь, по моему мнению, может быть только две причины - либо за это еще не взялся настоящий специалист в этой области, либо в самой математике еще не созданы понятия для описания таких задач.

Обычно имеет место третья причина: у того, кто хочет "чтобы получалось", нет никаких внятных и непротиворечивых желаний, а есть только "принеси то, не знаю что, но серобуромалиновое в крапинку".

kavict в сообщении #906593 писал(а):

И, наконец, о личной выгоде. Вы сами начали эту тему своим сарказмом по поводу моей душевной щедрости и бескорыстности, подразумевая, что в моем предложении математикам таится какой-то подвох. Давайте об этом закончим.

Предмета сарказма вы не поняли :-)

[Deggial]

kavict, напоминаю:

правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы
...
3.1. ... В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Тема, формулировка которой признается нечеткой или неоднозначной, может быть отправлена в карантин до исправления. Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

определите понятие "перемещенный объем вещества", иначе тема поедет в Карантин.