про пыль Кантора

[yafkin]

KANTORSET
$C_0=[0,1]$
$ C_1=[0,1/3] \cup [2/3,1] $
$ C_2=[0,1/9] \cup [2/9,1/3] \cup [2/3,7/9] \cup[8/9,1] $
............
$\mathfrak{M} = \bigcap \limits_{i=1}^{\infty}C_i $ - и представляет собой пыль Кантора-
чья мощность равна мощности континуума -и не содержит ни одного интервала

ewert в сообщении #762903 писал(а):

два известных факта: 1) дополнение до канторова множества открыто и 2) само канторово множество не содержит ни одного интервала.

$ \mu \mathfrak{M} =0 $

$\frac 1 3 + \frac 2 9 +...+\frac {2^{n-1}} { 3^n } +...= \frac 1 3 \sum \limits_{k=1}^{\infty} \binom{2}{3}^k = 1 $ -мера уходит в дополнение

$ \overline{ \mathfrak{M} }=C_0 \cap \mathfrak{M} $
$ \mu \overline{ \mathfrak{M} }=1 $

cool.phenon в сообщении #570060 писал(а):

Всё,уже разобрался. Любое открытое ограниченное множество можно представить в виде счётного объединения интервалов,которые не пересекаются.

$ \overline{\mathfrak{M}} =\bigcup \limits_{i=1}^{\infty}{\overline C_i} $

Если все провильно, то что есть эти интервалы?

[popolznev]

Вы хотите описать открытые интервалы, в объединение которых разбивается дополнение к канторову множеству?

[yafkin]

Да

[ИСН]

Так ведь это и есть те самые, которые мы вырезали.

[arseniiv]

(Оффтоп)

yafkin в сообщении #900134 писал(а):

KANTORSET

Ничего, что его звали всё-таки Cantor?

[yafkin]

arseniiv в сообщении #900280 писал(а):

(Оффтоп)

а это нельзя назвать счетной базой?

[yafkin]

2)множество всех ограниченных открытых интервалов
по определению является базисом топологии рациональной прямой (п2)
Множество всех ограниченных открытых интервалов является также базисом топологии числовой прямойю

Бурбаки общая топология с22

[Someone]

yafkin в сообщении #900521 писал(а):

а это нельзя назвать счетной базой?

Базой чего?

[yafkin]

Дополнения множества Кантора

$ \overline{\mathfrak{M}} =\bigcup \limits_{i=1}^{\infty}{\overline C_i} $

[popolznev]

yafkin в сообщении #900593 писал(а):

Дополнения множества Кантора

Нет. Те интервалы, что выкидываются при построении канторова множества, не являются базой топологии на дополнении к канторову множеству (если, конечно, имеется в виду обычная топология прямой).

[yafkin]

$\mathfrak{M} = \bigcap \limits_{i=1}^{\infty}C_i $

$ \overline{ \mathfrak{M} }=C_0 - \mathfrak{M} $

$ \overline{\mathfrak{M}} =\bigcup \limits_{i=1}^{\infty}{\overline C_i} $

А в резултате такого счета остаются именно вырезанные
интервалы ?

Пересечение зачем? они не только делятся на тройки и
выбрасываются но еще считается пересечение да так ,что
не остается ни одного интервала

[popolznev]

yafkin в сообщении #900609 писал(а):

А в резултате такого счета остаются именно вырезанные
интервалы ?

А какие же ещё?

Вторая формула неправильная у вас.

[yafkin]

Поправил ,извините \ заменил -

[popolznev]

yafkin в сообщении #900625 писал(а):

Поправил ,извините \ заменил -

Как раз $\setminus$ правильно - у вас там стояло $\cap$.

[yafkin]

Mножество Кантора- называется континуальным множеством
это множество не содержит изолированных точек – в любой окрестности произвольной его точки содержатся другие точки этого множества.
замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством. Так что канторовское множество совершенно.
С другой стороны, оно исключительно «дырявое» – не содержит ни одного отрезка целиком.

и дополнение к такому множеству -это просто множество
отрезков $ 1/3 , 1/9... $ -?