Канторово множество

[lulbec]

Здравствуйте. Дано задание: докажите, что для любого интервала $I \subset [0,1]$ найдётся подинтервал $J \subset I$ такой, что $J \cap C= \varnothing$, где $C$ - канторово множество.
Например, интервал $I( \frac 1 3 ; \frac 2 3) \subset C$ выкидывается, и он не содержит общих точек с $C_1$.
Или про что они говорят? С остальными интервалами ведь так же. Я не понимаю, как рассуждать в данном случае.

[ewert]

Здесь трети не при чём, а нужно лишь скомбинировать два известных факта: 1) дополнение до канторова множества открыто и 2) само канторово множество не содержит ни одного интервала.

[lulbec]

То есть можно обосновать это так:
$C$ было бы плотно, если бы каждая точка в своей окрестности содержала элемент из $C$, что невозможно, т.к. $C$ состоит из граничных точек и не содержит интервалы?

[nikvic]

Скорей всего, от Вас требуют не доказательства с опорой на свойства КМ, а, так сказать, прямое - через исходную конструкцию.

[lulbec]

Ну тогда опять же: если речь об интервалах - так они не принадлежат $C$. Почему пересечение должно давать что-то?

[nikvic]

Гм, а какие-нибудь точки в Вашем канторовском множестве есть?

[lulbec]

Точки есть.

[nikvic]

Стал быть, Вам могут подсунуть интервал, который не годится на роль искомого.

[yafkin]

nikvic в сообщении #762950 писал(а):

Стал быть, Вам могут подсунуть интервал, который не годится на роль искомого.

1 простите где здесь с мысль?

2 а почеиу в качестве примера не родходит предложение
автора темы?