naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[naanov]

продолжение №4
7. Отметим некоторые свойства системы $(x, y, s)^i$, следующие из определения по п.6 и построения:
а) выражение суммы предыдущего уровня однозначно влечет выражение суммы последующего уровня:
$(x^{i-1} - s^{i-1}) + 2s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1}) \longmapsto (x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$; (14)
б) выражение суммы последующего уровня однозначно влечет выражение суммы предыдущего уровня:
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i) \longmapsto (x^{i-1} - s^{i-1}) + 2s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1})$, (15)
что устанавливается непосредственно применением замещений, указанных в п.3е и п.3ж, в обратном порядке, так, например, каждые $x$ слагаемых $1_x + … + 1_x$ в частной сумме $(1_x + … + 1_x)_{x^i - s^i}$ замещается единицей $1_x$ и т.д.;
в) каждый $i$–й уровень содержит всего
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i) = x^i + y^i$ (16)
единиц $1_x$ и $1_y$;
г) каждый $i$–й уровень, начиная с $i = 2$, по построению, содержит всего
$(x^{i-1} - s^{i-1}) + s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1}) = x^{i-1} + y^{i-1} - s^{i-1}$ (17)
частных сумм, в том числе:
$x^{i-1} - s^{i-1}$ сумм вида $(1_x + … + 1_x)_x = x$,
$y^{i-1} - s^{i-1}$ сумм вида $(1_y + … + 1_y)_y = y$ и
$s^{i-1}$ сумм вида $(1_x + … + 1_x)_{x-s} + (2_s + … + 2_s)_s + (1_y + … + 1_y)_{y- s} = x + y$.
8. В силу произвольности выбора пары $(x, y)$, числа $s$ и отсутствия ограничений для $i$ можно полагать систему $(x, y, s)^i$ достаточной для использования в доказательстве ВТФ.

продолжение №5 далее

-- 19.08.2014, 02:46 --

продолжение №5
II.
Попытка доказательства основного утверждения для уравнения (1).
1. Пусть $(x, y, z)$ – произвольная тройка такая, что
$x + y > z$. (18)
2. Пусть
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$, (19)
где $s = x + y - z$, – (20)
целочисленная система сумм натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$.
3. Допустим, что при $n > 2$ для тройки $(x, y, z)$ существует решение
$x^n + y^n = z^n$. (21)
4. Сумма $x^n + y^n$, по п.5 вспомогательного построения (ВП), равна сумме $n$–го уровня системы $(x, y, s)^i$:
$x^n + y^n = (x^n - s^n) + 2s^n + (y^n - s^n)$. (22)
5. Сумма $(x^n - s^n) + 2s^n + (y^n - s^n)$, согласно свойству $(x, y, s)^i$ по п.7г ВП, представляется суммой:
$x^{n-1} - s^{n-1}$ частных сумм по $x$ единиц,
$y^{n-1}- s^{n-1}$ частных сумм по $y$ единиц и
$s^{n-1}$ частных сумм по $x + y = z + s$ единиц, –
и всего частных сумм:
$(x^{n-1} - s^{n-1}) + s^{n-1} + (y^{n-1} - s^{n-1}) = x^{n-1} + y^{n-1} - s^{n-1}$. (23)

продолжение №6 далее

-- 19.08.2014, 02:59 --

продолжение №6
6. Соотношение (22)
$x^n + y^n = (x^n - s^n) + 2s^n + (y^n - s^n)$
последовательным применением свойства системы $(x, y, s)^i$ по п.7б ВП приводится к сумме 2–го уровня системы $(x, y, s)^i$
$x^2 + y^2 = (x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2)$,
которая, согласно свойству $(x, y, s)^i$ по п.7г ВП, представляется суммой:
$x - s$ частных сумм по $x$ единиц,
$y - s$ частных сумм по $y$ единиц и
$s$ частных сумм по $x + y = z + s$ единиц, –
и всего частных сумм:
$(x - s) + s + (y - s) = x + y - s$. (24)
7. Правая часть равенства (24) с учетом соотношения (20) принимает вид
$x + y - s = z$. (25)
8. Число $z^n$, определённое допущением (21), может быть представлено в виде $z^{n-1}$ частных сумм по $z$ единиц:
$z^n = z^{n-1}(1_z + … + 1_z)_z$. (26)

продолжение №7 далее

-- 19.08.2014, 03:18 --

продолжение №7
9. Тогда, если числа частных сумм $x^{n-1} + y^{n-1} - s^{n-1}$ (23) и $z^{n-1}$ (26) оказываются равными:
$x^{n-1} + y^{n-1} - s^{n-1} = z^{n-1}$, – (27)
то за счет $s^{n-1}(x + y - z) = s^{n-1}s = s^n$ единиц, по одной единице из каждой пары $2_s = 1_x + 1_y$, содержащейся в числе $s^{n-1}$ частных сумм, указанных в левой части равенства (23), всегда можно достроить частные суммы $x^{n-1} - s^{n-1}$ и $y^{n-1} - s^{n-1}$ в этой же части равенства (23):
$x^{n-1} - s^{n-1}$ частных сумм по $x$ единиц до $z$ единиц в каждой частной сумме, добавив $(x^{n-1} - s^{n-1})(z - x)$ единиц,
$y^{n-1} - s^{n-1}$ частных сумм по $y$ единиц до $z$ единиц в каждой частной сумме, добавив $(y^{n-1} - s^{n-1})(z - y)$ единиц; –
что удовлетворяется условием, задаваемым соответствующим соотношением:
$(x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1})(x + y - z) =$
$= (x^{n-1} - s^{n-1})(z - x) + (y^{n-1} - s^{n-1})(z - y)$, – (28)
где $x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1} = s^{n-1}$ согласно равенству (27),
$x + y - z = s$ согласно равенству (25);
что всегда справедливо при допущении (21).

продолжение №8 далее

[naanov]

продолжение №8
10. Положим
$x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1}= t^{n-1}$, (29)
где $t^{n-1} > 0$.
11. Тогда возможны варианты: $t = s$ и $t \not = s$, где, как и ранее, $s = x + y - z$.
а) Пусть $t = s$. (30)
Тогда
$t^{n-1} = s^{n-1}$, (31)
или, после подстановки из соотношений (29) и (25), имеем
$x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1}= (x + y - z)^{n-1}$, (32)
откуда всегда следует возможное решение
$n = 2$. (33)
б) Пусть $t \not = s$. (34)
Следуя обобщению условия (28):
$(x^{n-j} + y^{n-j} - z^{n-j})(x^j + y^j - z^j) =$
$= (x^{n-j} - s^{n-j})(z^j - x^j) + (y^{n-j} - s^{n-j})(z^j - y^j)$, – (35)
всегда справедливого при допущении (21), рассмотрим вариант $t \not = s$ для всех натуральных $j < \frac n 2$ в виде:
$t_j \not = s_j$. (36)

продолжение №9 далее

-- 19.08.2014, 04:19 --

продолжение №9

Всегда можно определить, что
$t_j^{n-j}=s_j^{n-j} + r_{n-j} $, (37)
где $r_{n-j}$ – целое, которое для числа частных сумм уровня $n-j$ системы $(x, y, s)^i$ всегда может быть получено образованием новых частных сумм вида $1_x + 1_y = 2_s$ или их обратным преобразованием в пару единиц $1_x$ и $1_y$ на уровне $n-j-1$, что не влияет на значения частных сумм всех уровней системы $(x, y, s)^i$ при $i < n-1$; $r_{n-j} \not = 0$.
Отметим, что величина $r_{n-j}$ может зависеть от уровня $n-j$.
Тогда для каждого натурального $j < \frac n 2$ определена система уравнений:
$x^j + y^j - z^j = s_j^j$ (38)
$x^{n-j} + y^{n-j} - z^{n-j} = s_j^j + r_{n-j}$ (39)
$x^n + y^n = z^n$, – (40)
возможное решение $n=2j$ которой, в зависимости от значения $r_j$, приводит к случаям:
б.1) противоречие соотношений
$r_j = 0$ и $r_j \not = 0$; (41)

продолжение №10 далее

-- 19.08.2014, 04:28 --

продолжение №10
б.2) противоречие соотношений
$s_j^j= s_j^j+ r_j$ и $s_j^j \not = s_j^j+ r_j$, – (42)
которые исключают допущение $t \not = s$ (34), равно – допущение $t_j \not = s_j$ (36).
12. Вариантами а) и б) п.11 исчерпаны возможные случаи доказательства утверждения об отсутствии решения уравнения (37), равно – уравнения (21).
13. Таким образом, допущение, сделанное в п.3, о существовании решения $n>2$ уравнения (1) всегда влечет согласно пункту 11а существование решения $n=2$, что является очевидным противоречием условию $n>2$.
14. Приведение допущения п.3 (21) к противоречию доказывает справедливость утверждения ВТФ.
15. Ч. и т.п.д.

продолжение №11 далее

[naanov]

Попытка доказательства ВТФ (БТФ) для случая $n = 3$

Утверждение.
Уравнение
$x^3 + y^3 = z^3$, (1)
где $x<y<z$ – все натуральные,
не имеет решений.

I. Вспомогательное построение: целочисленная система $(x, y, s)^i$.
1. Пусть $(x, y)$ – произвольная пара такая, что
$x<y$; (2)
зафиксируем $(x, y)$.
2. Пусть $s$ – натуральное такое, что
$s<x$; (3)
зафиксируем $s$.
3. Выполним вспомогательное построение:
а) представим $x$ разбиением
$x = (1_x + … + 1_x)_x$, (4)
где $1_x = 1$,
а индекс $x$ указывает на принадлежность разбиению $x$,
индекс правой скобки в обозначении $(…)_x$ указывает на число слагаемых в скобках;
б) аналогично представим $y$:
$y = (1_y + … + 1_y)_y$, – (5)
где так же $1_y = 1$;
в) выразим сумму $x + y$ через разбиения чисел $x$ (4) и $y$ (5):
$x + y = (1_x + … + 1_x)_x + (1_y + … + 1_y)_y$, – (6)
и, далее, будем называть суммы в скобках с индексами частными суммами;
г) преобразуем сумму, полученную в правой части (6), в сумму трех частных сумм:
$(1_x + … + 1_x)_x + (1_y + … + 1_y)_y =$
$= (1_x + … + 1_x)_{x-s}+ (2_s + … + 2_s)_s + (1_y + … + 1_y)_{y-s}$, (7)
где $2_s = 1_x + 1_y$, и индекс $s$ соответствует значению $s$, зафиксированному по п.2 (3),
а индекс правой скобки в $(…)_s$ указывает на число слагаемых частной суммы;
д) перепишем сумму в правой части равенства (7), для краткости, как $(x - s) + 2s + (y - s)$, и в соответствии с (7) получим
$x + y = (x - s) + 2s + (y - s)$; (8)
е) преобразуем сумму в правой части равенства (7), выполнив ряд замещений:
каждой единицы частной суммы $(1_x + … + 1_x)_{x-s}$ на частную сумму $(1_x + … + 1_x)_x = x$,
каждой двойки частной суммы $(2_s + … + 2_s)_s$ на сумму
$(1_x + … + 1_x)_{x-s}+ (2_s + … + 2_s)_s + (1_y + … + 1_y)_{y-s}= x + y$,
каждой единицы частной суммы $(1_y + … + 1_y)_{y-s}$ на частную сумму $(1_y + … + 1_y)_y = y$, –
и получим сумму ряда частных сумм единиц $1_x$ и $1_y$ и единиц в $2_s = 1_x + 1_y$, равную $x^2 + y^2$ и приводимую к краткой форме:
$x^2 + y^2 = (x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2)$; (9)
ж) применив аналогичное преобразование к сумме ряда частных сумм, имеющих краткую форму правой части равенства (9), путем замещения:
каждой единицы частной суммы $(1_x + … + 1_x)_{x^2-s^2}$ на частную сумму $(1_x + … + 1_x)_x = x$,
каждой двойки частной суммы $(2_s + … + 2_s)_{s^2}$ на сумму $(1_x + … + 1_x)_{x-s}+ (2_s + … + 2_s)_s + (1_y + … + 1_y)_{y-s}= x + y$,
каждой единицы частной суммы $(1_y + … + 1_y)_{y^2-s^2}$ на частную сумму $(1_y + … + 1_y)_y = y$, –
так же получим сумму ряда частных сумм единиц $1_x$ и $1_y$ и единиц в $2_s = 1_x + 1_y$, но равную $x^3 + y^3$, и приводимую к краткой форме в правой части равенства:
$x^3 + y^3 = (x^3 - s^3) + 2s^3 + (y^3 - s^3)$; (10)
з) обозначим последовательность сумм (8), (9) и (10) ряда частных сумм, приведенных к краткой форме, как
$\{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$, – (11)
где скобки $\{…\}$, – обозначают последовательность,
$i = 1, 2, 3$,
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i) = x^i + y^i $. (12)
3. Таким образом, выполнив вспомогательное построение, получили трехуровневую целочисленную систему взаимосвязанных сумм натуральных степеней $x^i$ и $y^i$ натуральных чисел $x$ и $y$, где $i = 1, 2, 3$, выраженных суммами ряда частных сумм единиц $1_x$ и $1_y$ и единиц в $2_s = 1_x + 1_y$, представимую в краткой форме последовательностью (11).
4. Обозначим построенную систему $(x, y, s)^i$:
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$ (13)
5. Определение.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
где $\{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$ – последовательность сумм,
$(x^i - s^i) = (1_x + … + 1_x)_{x^i-s^i}$ – частная сумма единиц $1_x$,
$(y^i - s^i) = (1_y + … + 1_y)_{y^i-s^i}$ – частная сумма единиц $1_y$,
$2s^i = (2_s + … + 2_s)_{s^i}$ – частная сумма двоек $2_s$,
$2_s = 1_x + 1_y$ – двойка,
$1_x = 1_y = 1$ – единицы,
$s<x<y$ – все натуральные,
$i = 1, 2, 3$,
называется целочисленной трехуровневой системой натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$.
6. Определение.
Сумма $i$–х степеней
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$
системы $(x, y, s)^i$ называется суммой $i$–го уровня системы $(x, y, s)^i$.
7. Отметим ряд свойств системы $(x, y, s)^i$, следующих из определения по п.5 и построения:
а) выражение суммы предыдущего уровня однозначно влечет выражение суммы последующего уровня:
от 1-го к 2-му уровню:
$(x - s) + 2s + (y - s) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2)$, (14)
от 2-го к 3-му уровню:
$(x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^3 - s^3) + 2s^3 + (y^3 - s^3)$; (15)
б) выражение суммы последующего уровня однозначно влечет выражение суммы предыдущего уровня:
от 3-го к 2-му уровню:
$(x^3 - s^3) + 2s^3 + (y^3 - s^3) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2)$, (16)
от 2-го к 1-му уровню:
$(x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x - s) + 2s + (y - s)$, (17)
что устанавливается непосредственно применением замещений, указанных в п.3е и п.3ж, в обратном порядке, так, например, каждая сумма из $x$ слагаемых $1_x + … + 1_x$ в частной сумме $(1_x + … + 1_x)_{x^i-s^i}$ замещается единицей $1_x$ и т.д.;
в) каждый $i$–й уровень, $i = 1, 2, 3$, содержит всего
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i) = x^i + y^i$ (18)
единиц $1_x$ и $1_y$;
г) каждый $i$–й уровень, $i = 1, 2, 3$, начиная с $i = 2$, по построению, содержит всего
$(x^{i-1} - s^{i-1}) + s^{i-1} + (y^{i-1} - s^{i-1}) = x^{i-1} + y^{i-1} - s^{i-1}$ (19)
частных сумм, в том числе:
$x^{i-1} - s^{i-1}$ частных сумм вида $(1_x + … + 1_x)_x = x$,
$y^{i-1} - s^{i-1}$ частных сумм вида $(1_y + … + 1_y)_y = y$ и
$s^{i-1}$ частных сумм вида $(1_x + … + 1_x)_{x-s}+ (2_s + … + 2_s)_s + (1_y + … + 1_y)_{y-s}= x + y$;
д) из подпунктов в) и г) следует, что, начиная со 2-го уровня, сумма каждого уровня однозначно определяет число частных сумм этого же уровня:
2-й уровень:
$(x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x - s) + s + (y - s) = x + y - s$, (20)
3-й уровень:
$(x^3 - s^3) + 2s^3 + (y^3 - s^3) \longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^2 - s^2) + s^2 + (y^2 - s^2) = x^2 + y^2 - s^2$; (21)
е) верно и обратное утверждению подпункта д) утверждение: число частных сумм каждого уровня однозначно определяет сумму этого же уровня:
2-й уровень:
$(x - s) + s + (y - s) = x + y - s\longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^2 - s^2) + 2s^2 + (y^2 - s^2)$, (22)
3-й уровень:
$(x^2 - s^2) + s^2 + (y^2 - s^2) = x^2 + y^2 - s^2\longrightarrow $
$ \longrightarrow (x^3 - s^3) + 2s^3 + (y^3 - s^3)$. (23)
8. В силу произвольности выбора пары $(x, y)$ и числа $s$ в построении системы $(x, y, s)^i$, можно полагать систему $(x, y, s)^i$ достаточной для использования в доказательстве основного утверждения.

II. Доказательство основного утверждения для уравнения (1)
1. Пусть $(x, y, z)$ – произвольная тройка такая, что
$x + y > z)$. (24)
2. Пусть
$(x, y, s_1)^i = \{(x^i - s_1^i) + 2s_1^i + (y^i - s_1^i)\}$, (25)
где $s_1 = x + y - z$, (26)
$i = 1, 2, 3$, –
целочисленная трехуровневая система сумм натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s_1$.
3. Допустим, что для тройки $(x, y, z)$ существует решение
$x^3 + y^3 = z^3$. (27)
4. Сумма $x^3 + y^3$, по определению п.5 вспомогательного построения (ВП), равна сумме 3–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$:
$x^3 + y^3 = (x^3 - s_1^3) + 2s_1^3 + (y^3 - s_1^3)$, – (28)
и по свойствам п.7.г и п.7.д ВП содержит всего частных сумм:
$(x^2 - s_1^2) + s_1^2 + (y^2 - s_1^2) = x^2 + y^2 - s_1^2$, (29)
в том числе:
$x^2 - s_1^2$ частных сумм по $x$,
$y^2 - s_1^2$ частных сумм по $y$ и
$s_1^2$ частных сумм по $x + y$ единиц.
5. Число $z^3$, в допущении (27), всегда может быть представлено в виде $z^2$ сумм по $z$ единиц:
$z^3 = z^2z$. (30)
6. Из допущения (27) также следует:
$x^2 + y^2 > z^2$. (31)
7. Тогда всегда можно сумму $x^2 + y^2$ выразить в виде
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (32)
где $s_2$ – натуральное.
11. Тогда возможны варианты: $s_2 = s_1^2$ и $s_2 \not= s_1^2$, где, как и ранее, $s_1 = x + y - z$.
12. Пусть $s_2 = s_1^2$. (33)
Тогда, после подстановки значений $s_2$ и $s_1$ из соотношений (32) и (26), имеем
$x^2 + y^2 - z^2 = (x + y - z)^2$, (34)
что является противоречием при условии $x<y<z$ доказываемого утверждения.
13. Пусть $s_2 \not= s_1^2$, (35)
где $s_1 = x + y - z$ и $s_2 = x^2 + y^2 - z^2$.
а) Обратим внимание на то, что левые части соотношений:
$x + y - z = s_1$, (36)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, – (37)
определяющие согласно свойствам п.7.г, п.7.д ВП числа частных сумм 2–го и 3–го уровней системы $(x, y, s_1)^i$, задают условия выполнимости решения уравнения (27) в виде равенства:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, – (38)
в котором сумма степеней 2 и 1 всегда равна степени уравнения (27): $x^3 + y^3 = z^3$, – то есть $2 + 1 = 3$.
б) Тогда, принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $i$, выпишем соответствующую систему уравнений относительно $i$, где $1 < i < 4$,
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{i-1} + y^{i-1} - z^{i-1} = s_{i-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $i$ – переменная и $s_{i-1}$ – переменная, зависящая от $i$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП значении $i = 2$ и при допущении $s_{i-1} \not= s_1^2$, где при $i = 2$ имеем $s_{i-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: $i = 2$ при допущении $i = 3$, (27).
14. Вариантами, рассмотренными в п.12 и п.13, исчерпаны все возможные случаи: $s_2 = s_1^2$ и $s_2 \not= s_1^2$.
15. Таким образом, допущение, сделанное в п.3 (27), о существовании решения уравнения (1), всегда влечет противоречия, указанные в соотношении (34) в п.12 и в системе (39) и (40) в п.13.в.
16. Приведение допущения п.3 (27) к противоречиям доказывает справедливость основного утверждения.
17. Ч. и т.п.д.

С уважением к участникам
АН

[Феликс Шмидель]

Уважаемый naanov, не могли бы Вы объяснить мне, что такое $1_x$ и чем этот объект отличается от $1$? Если ничем не отличается, то зачем индекс $x$?
Что такое $(1_x+...+1_x)_{x-s}$?

[nnosipov]

naanov в сообщении #897242 писал(а):

б) Пусть $t \not = s$. (34)
Следуя обобщению условия (28):
$(x^{n-j} + y^{n-j} - z^{n-j})(x^j + y^j - z^j) =$
$= (x^{n-j} - s^{n-j})(z^j - x^j) + (y^{n-j} - s^{n-j})(z^j - y^j)$, – (35)
всегда справедливого при допущении (21), рассмотрим вариант $t \not = s$ для всех натуральных $j < \frac n 2$ в виде:
$t_j \not = s_j$. (36)

Очень мутное место. Кто такие эти $s_j$ и $t_j$? Поскольку далее они участвуют в рассуждении, нужно объяснить, что обозначают эти буквы.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: доказательство не выписано для $n=3$.

naanov
Выпишите текст доказательства для $n=3$ явно. (обращаю внимание сразу, что в Вашем случае такое доказательство выписываемо)
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

[naanov]

lasta в сообщении #895880 писал(а):

Свойства натуральных чисел никак не проявляются в ваших алгебраических преобразованиях, поэтому все Ваши равенства и неравенства одинаково справедливы как для рациональных , так и для иррациональных чисел, а также и для смешанных решений (присутствие в тройке решения иррациональных чисел). Нет критерия оценки, - существование противоречия только для натуральных.

Уважаемый lasta, расширение попытки доказательства "как для рациональных , так и для иррациональных чисел, а также и для смешанных решений" невозможно, поскольку система $(x, y, s)^i$ оперирует понятием числа частных сумм, являющегося и по определению (п.5 части I попытки доказательства) и по построению (часть I попытки доказательства) натуральным числом.

nnosipov в сообщении #897327 писал(а):

naanov в сообщении #897242 писал(а):
б) Пусть $t \not= s$. (34)
Следуя обобщению условия (28):
$(x^{n-j}+y^{n-j}-z^{n-j})(x^j+y^j-z^j)=...$ и т.д., – (35)
всегда справедливого при допущении (21), рассмотрим вариант $t \not= s$ для всех натуральных $j<\frac n 2$ в виде: $t_j \not= s_j$. (36)
Очень мутное место. Кто такие эти $s_j$ и $t_j$? Поскольку далее они участвуют в рассуждении, нужно объяснить, что обозначают эти буквы.

Уважаемый nnosipov, в форме попытки доказательства для $n=3$ указанные выше символы в выражениях (39) и (40) заменены $s_j$ на $s_1$, $s_1=x+y-z$, и $t_j$ на $s_{i-1}$, $s_{i-1}=x^{i-1}+y^{i-1}-z^{i-1}$.

Феликс Шмидель в сообщении #897320 писал(а):

не могли бы Вы объяснить мне, что такое $1_x$ и чем этот объект отличается от $1$? Если ничем не отличается, то зачем индекс $x$?
Что такое $(1_x+...+1_x)_x$?

Уважаемый Феликс Шмидель, как видно из определения (п.5 части I попытки доказательства), $1_x=1_y=1$, объекты $1_x$ и $1_y$ по величине и по своей принадлежности натуральным числам ничем не отличаются от $1$. Однако, в системе $(x, y, s)^i$ важно, что частная сумма $(2_s+...+2_s)_s$, по построению, формируется из пар $1_x$ и $1_y$ строго по одной единице из разбиений чисел $x$ и $y$ на единицы. То есть важна позиция (исходная принадлежность этих единиц тому или другому натуральному числу).
Выражение $(1_x+...+1_x)_x$ по определению (п.5 части I попытки доказательства) является частной суммой $x$ единиц $1$, равной, здесь, разбиению числа $x$ на $1$.

Cash в сообщении #897029 писал(а):

можно же с тем же результатом применить Ваш "метод" к уравнению
$x^n+y^n=z^n+1$.
То есть это уравнение тоже не имеет корней?

Уважаемый Cash, заметьте, не я это сказал. Этот вопрос мной не исследовался.

Извините, в тексте попытки доказательства (п.7 часть II) допущена опечатка (по небрежности при копировании):

naanov в сообщении #897254 писал(а):

7. Тогда всегда можно сумму $x^2+y^2$ выразить в виде
$x^2+y^2-z^2=s_2$, (32)

Следует читать:
7. Тогда всегда справедливо: ...

С уважением

[nnosipov]

naanov в сообщении #897254 писал(а):

б) Тогда, принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $i$, выпишем соответствующую систему уравнений относительно $i$, где $1 < i < 4$,
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{i-1} + y^{i-1} - z^{i-1} = s_{i-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $i$ – переменная и $s_{i-1}$ – переменная, зависящая от $i$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП значении $i = 2$ и при допущении $s_{i-1} \not= s_1^2$, где при $i = 2$ имеем $s_{i-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: $i = 2$ при допущении $i = 3$, (27).

Нет здесь никакого противоречия: при $i=2$ равенство (40) --- это определение $s_1$, а при $i=3$ --- определение $s_2$. Как следует из ограничения $1<i<4$, другие значения параметра $i$ не рассматриваются. Почему неравенство $s_2 \neq s_1^2$ невозможно, по-прежнему остаётся загадкой.

Напоминает игру в напёрстки: $i=2$, в то время, как $i=3$ (шарика под колпачком нет, но он же должен там быть --- вот тебе и желанное противоречие).

[lasta]

naanov в сообщении #897254 писал(а):

и по свойствам п.7.г и п.7.д ВП содержит всего частных сумм:
$(x^2 - s_1^2) + s_1^2 + (y^2 - s_1^2) = x^2 + y^2 - s_1^2$, (29)
в том числе:
$x^2 - s_1^2$ частных сумм по $x$,
$y^2 - s_1^2$ частных сумм по $y$ и
$s_1^2$ частных сумм по $x + y$ единиц.
5. Число $z^3$, в допущении (27), всегда может быть представлено в виде $z^2$ сумм по $z$ единиц:
$z^3 = z^2z$. (30)

Уважаемый naanov !
1.Приравнивать количество частных сумм (29) к количеству частных сумм (30) является ошибкой, так как частные суммы являются коэффициентами разных переменных. И если произвести правильное преобразование к одному переменному $z$ за счет распределения $s^3$ то получится тождество $z^2=z^2$.
2. Введение дополнительной переменной $S$ не дает противоречий по существованию решения УФ, но всегда обеспечивает решения в новых соотношениях.

[naanov]

nnosipov в сообщении #900356 писал(а):

nnosipov в сообщении #900356 писал(а):

naanov в сообщении #897254 писал(а):
б) Тогда, принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $i$, выпишем соответствующую систему уравнений относительно $i$, где $1 < i < 4$,
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{i-1} + y^{i-1} - z^{i-1} = s_{i-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $i$ – переменная и $s_{i-1}$ – переменная, зависящая от $i$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП значении $i = 2$ и при допущении $s_{i-1} \not= s_1^2$, где при $i = 2$ имеем $s_{i-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: $i = 2$ при допущении $i = 3$, (27).

Нет здесь никакого противоречия: при $i = 2$ равенство (40) --- это определение $s_1$, а при $i = 3$ --- определение $s_2$. Как следует из ограничения $1 < i < 4$, другие значения параметра $i$ не рассматриваются. Почему неравенство $s_2 \not= s_1^2$ невозможно, по-прежнему остаётся загадкой. Напоминает игру в напёрстки: $i = 2$, в то время, как $i = 3$ (шарика под колпачком нет, но он же должен там быть --- вот тебе и желанное противоречие).

Уважаемый nnosipov, в сопоставлении двух натуральных чисел $s_2$ и $s_1^2$ (пункт 11 часть II доказательства) вариантами $s_2 = s_1^2$ (пункт 12) и $s_2 \not= s_1^2$ (пункт 13) исчерпываются все возможности, возникающие в попытке доказательства, которое опирается на такое сопоставление.
При этом $s_1$ определяется не для $i = 2$, а для $i = 1$ (26), $s_2$ определяется не для $i = 3$, а для $i = 2$ (32).
Таким образом, в пункте 13 не исследуется вопрос о возможности или невозможности неравенства $s_2 \not= s_1^2$.
Наоборот, неравенство $s_2 \not= s_1^2$ является исходным для дальнейшего доказательства.
В указанном доказательстве для варианта $s_2 \not= s_1^2$, рассматривается более общий случай с переменной $s_{i-1} \not= s_1^2$ (пункт 13 подпункты б и в), где $1 < i < 4$, и в котором переменная $s_{i-1}$ при $i = 3$, действительно, принимает значение $s_2$.
Нахождение решения системы уравнений (39) и (40):
$x + y - z = s_1$,
$x^{i-1} + y^{i-1} - z^{i-1} = s_{i-1}$, –
в которой первое уравнение (39) вырождено до постоянных, действительно, сводится к перебору в подстановке ряда возможных значений $i = 2$ и $i = 3$ в уравнение (40).
Обратим внимание: ограничение сверху для $1 < i < 4$следует из допущения (27):
$x^3 + y^3 = z^3$.
Это означает, что на всей области определения $1 < i < 4$, справедливо:
$x^{2-1} + y^{2-1} > z^{2-1}$, и, следовательно, $x + y - z = s_1$,
$x^{3-1} + y^{3-1} > z^{3-1}$, и, следовательно, $x^2 + y^2 - z^2 = s_2^2$, –
а система уравнений (39) и (40), возможно, имеет решение.
Перебор (подстановка возможных значений) $i = 2$ и $i = 3$ в уравнение (40) дает всегда решение $i = 2$.
Отсюда – противоречие: если существует некоторое допускаемое решение (здесь) $i = 3$, или в общей формулировке ВТФ $i > 2$, то немедленно следует существование решения $i = 2$.
Известно, что уравнение (1) при условиях утверждения ВТФ, если имеет решение, то единственное.
Уважаемый nnosipov, перечитывая п.13 доказательства, прихожу к заключению, что у Вас имеются основания для скепсиса. Полагаю, что в подпунктах б и в п.13 необходимо изменить обозначение $i$, например, на $j$.
“б) Тогда, принимая степень уравнения (27) в качестве неизвестного параметра $j$, выпишем соответствующую систему уравнений относительно $j$, где $1 < j < 4$,
$x + y - z = s_1$, (39)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, – (40)
в которой величины $s_1, x, y$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$.
в) Система (39) и (40) является всегда совместной при всегда возможном согласно п.7.г ВП значении $j = 2$ и при допущении $s_2 \not= s_1^2$ (вместо имеющегося в тексте $s_{i-1} \not= s_1^2$), где при $j = 2$ имеем $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
Таким образом, вариант $s_2 \not= s_1^2$ всегда приводится к противоречию: существование решения $j = 2$ при допущении $i = 3$, (27)”.
С уважением

[naanov]

lasta в сообщении #900432 писал(а):

naanov в сообщении #897254 писал(а):
и по свойствам п.7.г и п.7.д ВП содержит всего частных сумм:
$(x^2 - s_1^2) + s_1^2 + (y^2 - s_1^2) = x^2 + y^2 - s_1^2$, (29)
в том числе:
$x^2 - s_1^2$ частных сумм по $x$,
$y^2 - s_1^2$ частных сумм по $y$ и
$s_1^2$ частных сумм по $x + y$ единиц.
5. Число $z^3$, в допущении (27), всегда может быть представлено в виде $z^2$ сумм по $z$ единиц:
$z^3 = z^2z$. (30)

Уважаемый naanov !
1.Приравнивать количество частных сумм (29) к количеству частных сумм (30) является ошибкой, так как частные суммы являются коэффициентами разных переменных. И если произвести правильное преобразование к одному переменному $z$ за счет распределения $s^3$ то получится тождество $z^2=z^2$.
2. Введение дополнительной переменной $S$ не дает противоречий по существованию решения УФ, но всегда обеспечивает решения в новых соотношениях.

Уважаемый lasta, пунктом 2 в попытку доказательства (часть I) вводится система $(x, y, s)^i$, в которой согласно положениям пунктов 1 и 2 (часть II) все параметры зафиксированы, поэтому в частных суммах (29) и (30), упомянутых в Вашем тезисе 1, переменные по условию отсутствуют.
Вы совершенно правильно устанавливаете, что нам удаётся перераспределить $s_1^3$ единиц, по одной из каждой пары $2_s$ каждой частной суммы $(2_s+…+2_s)_{s1}$, коих всего $s_1^2$, в $x^2 - s_1^2$ частные суммы по $x$ и в $y^2 - s_1^2$ частные суммы по $y$ единиц, при условии равенства частной суммы 2-го уровня $x^2 + y^2 - s_1^2$ числу $z^2$ частных сумм по $z$ единиц, потому, что $x^3 + y^3 = z^3$. Ради этого «перераспределения единиц» и строилась система $(x, y, s)^i$.
Вы указали всё верно. Только, полагаю, нужно уточнить, что за чем следует.
Однако, в чём состоит ошибка моих рассуждений при приравнивании двух выражений, мне не понятно. Поясните, пожалуйста.
Извините, а тезис 2 о чём?
Спасибо. С уважением

[nnosipov]

naanov в сообщении #900498 писал(а):

При этом $s_1$ определяется не для $i = 2$, а для $i = 1$ (26), $s_2$ определяется не для $i = 3$, а для $i = 2$ (32).

Начиная с этого странного заявления, далее идёт поток сознания. Никаким усилием воли я не могу заставить себя его прочитать.

naanov в сообщении #900498 писал(а):

прихожу к заключению, что у Вас имеются основания для скепсиса

Могу сказать, что теперь их ещё больше. Если Ваш предыдущий текст был ясным и пустым, то последний --- просто образец мутности, он написан на неизвестном мне языке.

[naanov]

Глубокоуважаемый lasta!
Простите за бестактность. На Ваш тезис 1:

lasta в сообщении #900432 писал(а):

Приравнивать количество частных сумм (29) к количеству частных сумм (30) является ошибкой, так как частные суммы являются коэффициентами разных переменных. И если произвести правильное преобразование к одному переменному $z$ за счет распределения $s^3$ то получится тождество $z^2=z^2$.

я ответил трудно читаемым, хотя и верным по сути, текстом:

naanov в сообщении #900511 писал(а):

...удаётся перераспределить $s_1^3$ единиц, по одной из каждой пары $2_s$ каждой частной суммы $(2_s+…+2_s)_{s1}$, коих всего $s_1^2$, в $x^2 - s_1^2$ частных сумм по $x$ и $y^2 - s_1^2$ частных сумм по $y$ единиц, при условии равенства частных сумм 2-го уровня $x^2 + y^2 - s_1^2$ = z^2, потому, что $x^3 + y^3 = z^3$.

Полагаю, что обязан был просто сослаться на соотношение (38):
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$.
Простите. С глубоким уважением

[lasta]

naanov в сообщении #900511 писал(а):

Извините, а тезис 2 о чём?

naanov в сообщении #900591 писал(а):

Полагаю, что обязан был просто сослаться на соотношение (38):
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$.

Уважаемый naanov. тезис 2 о том, что (28) не содержит противоречий, а (32) при произвольном $s$ всегда имеет решение. Это о том, что алгебраические преобразования без проверки чисел в полученных новых соотношений на делимость их на целые числа не могут привести к доказательству. Действительно, пусть в УФ $x,y$ - натуральные, а основание $z$ - иррациональное, что всегда возможно. Тогда, используя Ваш метод, можно доказать, что количество частных сумм, определяемое натуральными $x,y$ не может быть равно иррациональному $z^2$, а значит решение УФ с иррациональным $z$ не существует.
Соотношение (38) справедливое, но связывать его с $s^3$, ошибочно. Количество частных сумм от разных переменным также как и от взаимно простых фиксированных чисел не может создать из уравнения

$$ax_1+bx_2+cx_3=dx_4$$

равенство

$$a+b+c=d$$