naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[naanov]

Глубокоуважаемый lasta!
На Ваши вопросы и реплики:

lasta в сообщении #902282 писал(а):

Но, почему в этих ячейках не может быть что-либо другое? И какое конкретное соотношение не подходит для не целочисленной системы? Количество ячеек? Но, оно может быть произвольным числом. Не обязательно натуральным.

позвольте ответить чуть позже.
Сейчас хотелось бы вернуться к важным обстоятельствам, на мой взгляд, связанным с Вашими вопросами в целом. Я о рефрене Ваших вопросов и реплик:

lasta в сообщении #902213 писал(а):

имеем не целочисленную систему, доказывающую отсутствие любого решения УФ. Как нам выбраться из этого круга?

Иначе. Назвать, хотя бы одну, причину, по которой приём (скажем – приём частных сумм, ПЧС) формально не может быть применён в решении предложенной Вами задачи, исходящей из некоторого обобщённого условия: $x<y<z$ – вещественные (?), сохраняя $n$ – натуральное.
Проблема…
Попробуем найти её решение в следующем.
1. Утверждение ВТФ (или УФ, как привыкли Вы) связывает в некоторую систему четыре параметра $x, y, z, n$. Естественно, что структуру этой системы задаёт известное уравнение
$x^n + y^n = z^n$. (1)
2. Все возможные доказательства УФ по признаку фиксированности параметров представляются 16-ю вариантами, которые, в свою очередь, по признаку фиксированности параметра $n$ образуют всего два класса:
К-1: $n$ – фиксированный (постоянный) параметр,
К-2: $n$ – нефиксированный (переменный) параметр.
Речь идёт об элементарных доказательствах УФ. В нашем случае – в пределах понятий ПЧС.
3. Если доказательство УФ относится к классу К-1, то в доказательстве, на мой взгляд, обязательно присутствуют соответствующие допущения:
а) пусть существует множество $\{(x, y, z)\}$, для которого уравнение (1) определено,
б) пусть существует множество $\{n\}$, для которого уравнение (1) определено,
в) пусть существует решение уравнения (1),
г) пусть существует $n$ из $\{n\}$ такое, для которого существует решение уравнения (1).
Далее исследуются свойства параметров $x, y, z$, приводящие к подтверждению или отрицанию допущения (в). В зависимости от характеристики $n$: чётное – нечётное, простое – сложное, … ; – класс К-1 разбивается на подклассы и т.д., возможно дальнейшее классификационное дробление доказательств, что мы и наблюдаем в поисках элементарного доказательства УФ.
4. Если доказательство УФ относится к классу К-2, то в доказательстве, на мой взгляд, обязательно присутствуют так же соответствующие допущения:
а) пусть существует множество $\{(x, y, z)\}$, для которого уравнение (1) определено,
б) пусть существует множество $\{n\}$, для которого уравнение (1) определено,
в) пусть существует решение уравнения (1),
г) пусть существует тройка $(x, y, z)$ из $\{(x, y, z)\}$ такая, для которой существует решение уравнения (1).
Далее исследуются свойства параметра $n$, приводящие к подтверждению или отрицанию допущения (в). Так же, как и для класса К-1, возможно дальнейшее дробление класса К-2 на подклассы и т.д.
5. Доказательство с ПЧС относится к комбинации классов К-1 и К-2 и, принципиально, не может применяться для решения, исследования задачи, с обобщением: $x<y<z$ – вещественные (?); – поскольку в его допущениях фиксируется тройка $(x, y, z)$, удовлетворяющая условиям УФ. То есть, фиксируется то, что все числа указанной тройки являются натуральными. Иначе доказательство ПЧС не может быть применено (для ненатуральных чисел частных сумм). И далее исследуются свойства переменного параметра $n$, приводящие к нахождению единственного решения уравнения (1) при допущении (в).
То есть, представленное доказательство с ПЧС состоит из трех частей:
I. Фрагмент класса К-1.
Анализ свойств возможного решения уравнения (1) относительно $n$ при допущении вида 3.г.
В результате устанавливаем существование системы равенств, эквивалентных равенству вида (1):
$x + y - z = s_1$, (2)
$x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1} = s_{n-1}$. (3)
Здесь используется ПЧС.
II. Фрагмент класса К-2.
Ищем единственное решение уравнения (1) относительно переменного параметра $n$, обозначенного теперь, во избежание путаницы, как $j$ при допущениях вида 4.в и 4.г.
В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, полученной из системы равенств (2) и (3):
$x + y - z = s_1$, (4)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)
III. Следствие.
Следствие из (6), подтверждающее справедливость УФ.
Спасибо за внимание.

[naanov]

Уважаемый lasta! Уважаемые участники Темы!
Предлагается скорректированная редакция доказательства в обсуждаемой Теме.
Это вызвано тем, что в ходе обсуждения и удовлетворения отдельных советов и требований участников обсуждения текст оказался перегружен следствиями построения целочисленной системы $(x, y, s)^i$, основное назначение которой конструктивно показать почему доказательство не может быть расширено на случаи ненатуральных чисел, сдержит не вытекающее из логики идеи доказательства рассмотрение случая $x^2 + y^2 - z^2 = (x + y - z)^2$, а также становится трудночитаемым в связи с предпринятыми “переобозначениями” отдельных параметров в целях выделения нюансов, на которые следовало обратить внимание в ходе обсуждения, и ряд иных малых причин для минимизации объема текста.
Предлагаемая редакция не изменяет суть попытки доказательства, положенного в основание Темы, а также следует требованию $n=3$.
В доказательстве достаточно четко прослеживаются самостоятельные части:

naanov в сообщении #902335 писал(а):

I. Анализ свойств возможного решения уравнения (1) относительно $n=3$ в п.1, ..., п.5

naanov в сообщении #902335 писал(а):

II. Нахождение единственного решения уравнения (1) относительно переменного параметра $n$, обозначенного теперь $j$, во избежание путаницы. Найденное решение $j=2$. Изложено в п.6, ..., п.8.

naanov в сообщении #902335 писал(а):

III. Следствие, подтверждающее справедливость ВТФ в п.9, ..., п.11.

1. Целочисленная система $(x, y, s)^i$

Определение 1.
Система
$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
где $s<x<y$ – все натуральные,
$i = 1, 2, 3$ – номера уровней системы,
$\{…\}$ – обозначение последовательности,
$(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$ – сумма $i$–го уровня системы,
называется целочисленной трехуровневой системой натуральных степеней натуральных чисел $x$ и $y$ с основанием $s$.
Определение 2.
Частной суммой в сумме, содержащей не менее двух слагаемых, называется любое слагаемое, являющееся суммой не менее двух слагаемых.
Пример.
$z^3 = z^2z$,
где $z^2$ – число частных сумм, $z^2 > 1$,
$z=u+w$ – частная сумма, $u \not= 0$ и $w \not= 0$.
В частности, $z=1+…+1$ – частная сумма $z$ единиц.
Следствие 3.
Система$(x, y, s)^i = \{(x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)\}$,
определяет последовательность сумм частных сумм:
$\{(x^{i-k} - s^{i-k}) + s^{i-k} + (y^{i-k} - s^{i-k})\}$,
где $i = 2, 3$,
$k < i$ – натуральное, –
в которой сумма частных сумм $i$–го уровня содержит:
$x^{i-k} - s^{i-k}$ частных сумм по $x^k$ единиц,
$y^{i-k} - s^{i-k}$ частных сумм по $y^k$ единиц и
$s^{i-k}$ частных сумм по $x^k+y^k$ единиц.
Действительно.
$(x^{i-k} - s^{i-k})x^k + s^{i-k}(x^k+y^k) + (y^{i-k} - s^{i-k})y^k = x^i + y^i$ и
$x^i + y^i = (x^i - s^i) + 2s^i + (y^i - s^i)$.
Правая часть последнего соотношения по Определению 1 является суммой $i$–го уровня.
Верно и обратное.

2. Доказательство утверждения для случая $n=3$

Утверждение.
Уравнение
$x^n + y^n = z^n$, (1)
где $n=3$ и $x<y<z$ – все натуральные,
не имеет решений.

1. Пусть $(x, y, z)$ – произвольная тройка такая, что
$x + y > z$. (2)
2. Допустим для (1) при $n=3$ и данной тройки $(x, y, z)$ справедливо
$x^3 + y^3 = z^3$. (3)
3. Тогда для данной тройки $(x, y, z)$ по Определению 1 существует целочисленная система $(x, y, s_1)^i$ с основанием $s_1$:
$(x, y, s_1)^i = \{(x^i - s_1^i) + 2s_1^i + (y^i - s_1^i)\}$, (4)
где $s_1 = x + y - z$, (5)
$i \leqslant n$ – натуральное.
4. Тогда всегда выполняется:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (6)
где $z = x + y - s_1$ – число частных сумм $2$–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ по Следствию 3, (7)
$z^2 = x^2 + y^2 - s_2$ – число частных сумм, следующее из $z^3 = z^2z$, по Определению 2, и по Следствию 3 для $3$–го уровня системы $(x, y, s_1)^i$ ; – (8)
что проверяется непосредственно, и откуда следует эквивалентность равенств (6) и (3).
5. Сумма степеней $1$ и $2$ частных сумм в соотношении (6), как следует из его непосредственной проверки, $1 + 2 = 3$, или в общем определяется в виде:
$1 + (n-1) = n$, –
где $n=3$, согласно допущению (3), и равняется номеру $i=3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$ по п.3.
6. Введем новую целочисленную переменную $j$, $1 < j \leqslant n$, не превышающую значения $n=3$ степени уравнения (1) по допущению (3), и равную номеру $i=3$ уровня системы $(x, y, s_1)^i$, указанному в п.5.
7. Тогда, принимая $j$ в качестве степени уравнения $x^j + y^j = z^j$, при данных по п.1 и п.3 $x$, $y$ и $z = x + y - s_1$, выпишем соответствующую соотношению (6) систему уравнений относительно $j$:
$z = x + y - s_1$, (9)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (10)
в которой величины $x$, $y$, $s_1$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$, и что справедливо для всех допустимых $j$, так как суммы старших степеней в (9) и (10) дают $1 + (j-1) = j \leqslant n$.
8. Система уравнений (9) и (10) является всегда совместной при $j=2$ и при $s_{j-1} = s_{2-1} = s_1$.
9. Таким образом, допущение (3) существования решения уравнения (1) при $n=3$ для тройки $(x, y, z)$ всегда приводит к существованию, по крайней мере, второго решения уравнения (1) при $n=j=2$ для той же тройки $(x, y, z)$.
10. Существование различных относительно $n$ решений уравнения (1) для одной и той же тройки $(x, y, z)$ противоречит известному утверждению о единственности решения уравнения (1).
11. Приведение допущения п.3 (3) к противоречию доказывает справедливость основного утверждения.
12. Ч. и т.д.

-- 31.08.2014, 18:44 --

Глубокоуважаемый lasta!
Вы высказали сомнение:

lasta в сообщении #902282 писал(а):

Но, почему в этих ячейках не может быть что-либо другое? И какое конкретное соотношение не подходит для не целочисленной системы? Количество ячеек? Но, оно может быть произвольным числом. Не обязательно натуральным.

Отвечаю.
В элементарной Теории чисел известен т.н. «принцип ящиков». В доказательстве с ПЧС (приём частных сумм) этим "ящикам" соответствуют «ячейки». Указанный принцип формулируется в виде одной из фундаментальных теорем Теории чисел. Например (цитируется по Бухштаб А.А. Теория чисел – М.: Изд-во «Просвещение», 1966 – 384 с. С. 17, абз.5, 6):
Для двух множеств с одинаковым числом элементов имеет место общий принцип, который мы сформулируем, называя условно элементы одного множества «ящиками», а второго – «предметами». Этот принцип мы будем называть «принципом ящиков».
Теорема V («принцип ящиков»). Пусть имеется некоторое число «ящиков» и «предметов». Если известно, что: 1) каждый предмет лежит в каком-то ящике; 2) ни в одном ящике не лежит более одного предмета; 3) число предметов равно числу ящиков, то в каждом ящике лежит один и только один предмет.
В случае доказательства с ПЧС реализуется, именно, этот «принцип ящиков».
При допущении:
$x^3 + y^3 = z^3$, –
когда все параметры постоянны, роль «ящиков» или «ячеек» играет сумма частных сумм $3$–го уровня целочисленной системы $(x, y, s_1)^i$, которая согласно Следствию 3 определяется выражением:
$(x^2 - s_1^2) + s_1^2 + (y^2 - s_1^2)$, –
и равна в общем случае (если $s_1^2 = s_2$ или если $s_1^2 \not= s_2$):
$x^2 + y^2 - s_2 = z^2$, –
где роль «предметов», очевидно, играет частная сумма, согласно Определению 2, $z^2$.
Второй раз этот «принцип ящиков» проявляет себя, когда проводится перераспределение единиц из числа «предметов», роль которых теперь играют суммы по $z$ единиц, находящиеся в сумме, равной $z^3$. В результате получаем размещение этих предметов по «ящикам» $x^2 + y^2 - s_2 = z^2$.
Условием такого перераспределения единиц и размещение их в виде «предметов» $z$ по «ящикам» $x^2 + y^2 - s_2 = z^2$ является хорошо известное Вам соотношение:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$.
В силу очевидной симметрии последнего равенства относительно степеней его членов, так же можно говорить о том, что «ящиков» имеется $x + y - s_1 = z$, а «предметы» представлены суммами по $z^2$ единиц.
Что же касается того, что:

lasta в сообщении #902282 писал(а):

Количество ячеек? Но, оно может быть произвольным числом. Не обязательно натуральным.

То, если Вы здесь предполагаете, что количество ячеек может быть неотрицательным целым рациональным и даже неотрицательным целым вещественным числом, то не возражаю. Если же Вы полагаете, что количество ячеек может быть отрицательным, или нецелым рациональным, или иррациональным, то возражаю. Потому, что «разломанные» до нецелого состояния ячейки или ящики становятся чем угодно, но только не ячейками или ящиками. Теория множеств не переживёт. Так я думаю...
С уважением

[lasta]

naanov в сообщении #902381 писал(а):

Теория множеств не переживёт.

Уважаемый naanov, теория множеств выдержит все, если не путать переменные с фиксированными значениями.
Для переменных: - для любого $s$ существует уравнение

$$(x^j-s^j)+2s^j+(y^j-s^j)=z^j\eqno (1)$$

Для фиксированных значений: - для любого $j$ существуют равенства

$$(x_1^j-s^j)+2s^j+(y_1^j-s^j)=z_1^j-s_j\eqno (2)$$

В связи с произвольным значением $s^j$, можем приравнять $s^j=s_j$; (s_3=0). Тогда

$$x_1 -s_1+y_1 =z_1\eqno (3)$$

$$x_1^2 -s_2+y_1^2 =z_1^2\eqno (4)$$

$$x_1^3+y_1^3 =z_1^3\eqno (5)$$

(3), (4) являются частными суммами, но не нарушают единственности решения, так как $s_1\not =s_2\not=0$

[naanov]

Уважаемый lasta!
О Теории множеств:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

Теория множеств не переживёт

было упомянуто в связи с процитированным из учебника по Теории чисел:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

...имеет место общий принцип, который мы сформулируем, называя условно элементы одного множества «ящиками», а второго – «предметами»,

где, как я понимаю, множества не могут быть определены в количестве, выраженным рациональными или иррациональными числами, если их (множеств) более чем 0. Если что не так - извините.
В Вашем посте, в предложениях после двоеточий

lasta в сообщении #902499 писал(а):

Для переменных: -

и

lasta в сообщении #902499 писал(а):

Для фиксированных значений: -

не "пропечатались" эти самые переменные и фиксированные значения. Укажите их, пожалуйста, если не затруднит.
С заключением:

lasta в сообщении #902499 писал(а):

Тогда ... (3), (4) являются частными суммами, но не нарушают единственности решения,...

совершенно согласен, если, как Вы пишите, для случая:

lasta в сообщении #902499 писал(а):

Для фиксированных значений:...

эта "единственность решения" существует. Только поясните, пожалуйста, о каком решении идёт речь, и что является объектом решения? Это допущение о существовании решения степени 3 в доказательстве УФ, если остальные параметры уравнения, кроме степени, могут быть ненатуральными?
Спасибо

[vasili]

Уважаемый naanov! Если

$X + Y-Z =E_1$,

$X^2 + Y^2-Z^2 = E_2$,

$X^3 + Y^3-Z^3 = 0$,

$X^4 + Y^4-Z^4 = -E_4$, то мы имеем сколько решений(показателей степени)? для
фиксированных чисел $X,Y,Z$.

[naanov]

Уважаемый vasili!
В Вашем примере с вопросом:

vasili в сообщении #902620 писал(а):

Если
$X + Y - Z = E_1$,
$X^2 + Y^2 - Z^2 = E_2$,
$X^3 + Y^3 - Z^3 = 0$,
$X^4 + Y^4 - Z^4 = -E_4$,
то мы имеем сколько решений (показателей степени)? для
фиксированных чисел $X, Y, Z$.

имеются показатели степени: $1, 2, 3$ и $4$; - всего 4 показателя степени.
В Вашем примере все параметры постоянные (фиксированные), поэтому не ясно, о каких решениях идёт речь?
У меня имеется предположение, о чём Вы желали спросить. Но могу и ошибиться.
Уточните, пожалуйста, вопрос. И поясните, что это за числа $X, Y, Z$ применительно к Теме обсуждаемого доказательства.
Спасибо

[naanov]

Глубокоуважаемый lasta!
Убедительная просьба, будьте добры, сформулируйте, пожалуйста, Ваш вопрос на тему нахождения решений уравнения вида
$x^j+y^j=z^j$, (1)
когда $x<y<z$

lasta в сообщении #902213 писал(а):

... не обременены принадлежностью к какому либо классу чисел.

Поскольку этот вопрос в форме различных примеров, приводимых Вами, повторяется несколько раз, то, полагаю, что за этим вопросом кроется некое важное обстоятельство для элементарных доказательств УФ в целом, если я Вас правильно понял по словам о том, что:

lasta в сообщении #902213 писал(а):

...прояснили непонятные моменты и дискуссию можно продолжить уже на этом уровне.

Позволю высказать следующее.
Версия доказательства с ПЧС (с приёмом частных сумм), как реализация "принципа ящиков" показала свою состоятельность в подтверждении справедливости УФ. При этом выявился формализм, состоящий в следующем:
а) установлена равносильность уравнения (1) и уравнения
$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
б) по уравнению (2) выписана равносильная ей и, следовательно, уравнению (1) система
$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (4)
где все уравнения (1), ..., (4), включая вырожденное (3), определены при $1 < j \leqslant 3$ (в общем случае - при $1 < j$ ), а параметры $x, y, z$ зафиксированны;
в) система (3) и (4) при условиях УФ в рамках ПЧС всегда даёт решение $j=2$, и т.д.
Вы обнаружили, что, если расширить уловие так: $x<y<z$

lasta в сообщении #902213 писал(а):

... не обременены принадлежностью к какому либо классу чисел,

и при этом полагать, что число частных сумм может быть и ненатуральным:

lasta в сообщении #902282 писал(а):

количество ячеек ... может быть произвольным числом. Не обязательно натуральным.

- то формальное применение системы (3) и (4) для решения уравнения (1) даже при очевидных решениях $j>2$ для ненатуральных чисел $x, y, z$ выдаёт очевидную ошибку $j=2$. И Вы спрашиваете: Почему так происходит? Почему указанный формализм не чувствителен к ненатуральным параметрам $j=2$?
Правильно ли я выражаю суть Вашего вопроса?
Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #902809 писал(а):

б) по уравнению (2) выписана равносильная ей и, следовательно, уравнению (1) система
$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (4)

Равносильность двух уравнений (систем) А,В означает, что из уравнения А можно вывести уравнение В,и наоборот, из В вывести А.
Вашу систему 3,4 Вы вывели из уравнения 2.Теперь Вам нужно вывести из уравнений 3,4 уравнение 2.И только тогда Вы можете говорить о равносильности.

Напоминаю,что по Вашим словам,

naanov в сообщении #902809 писал(а):

параметры $x, y, z$ зафиксированны;

именно это в точности те числа,которые решают уравнение Ферма-3.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Спасибо за вопросы и указания.
Вы определяете:

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

Равносильность двух уравнений (систем) А, В означает, что из уравнения А можно вывести уравнение В, и наоборот, из В вывести А.
Вашу систему 3, 4 Вы вывели из уравнения 2.Теперь Вам нужно вывести из уравнений 3, 4 уравнение 2. И только тогда Вы можете говорить о равносильности.

Вы убеждены в сказанном?
Если "из уравнения А можно вывести уравнение В, и наоборот, из В вывести А", то при соблюдении определённых условий, я так думаю, из этих фактов может следовать "равносильность двух уравнений (систем) А, В". Но, чтобы из "равносильности двух уравнений (систем) А, В" с необходимостью следовала взаимная выводимость А из В и В из А - это сомнительно, как математическое утверждение. Так, мне всегда представлялось, что: равносильность, или эквивалентность, утверждений (формул) А и В - понятие, означающее, что при каждом допустимом наборе значений параметров утверждений А и В оба истинны или оба ложны. Напр., равносильность уравнений, неравенств и их систем означает совпадение множеств их решений. Это означает, что: равносильные уравнения, эквивалентные уравнения, - уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Можно добавить: любые несовместные системы по определению равносильны между собой. Уравнения этих систем могут и не выводиться (с помощью эквивалентных преобразований) друг из друга: уравнения одной системы из уравнений другой, равносильной первой, системы, и наоборот. (Выделенный курсивом текст цитируется по кн.: Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. - 848 с. - С. 511).
В обсуждаемом доказательстве, согласно обозначениям в тексте:

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

naanov в сообщении #902809 писал(а):... по уравнению (2) выписана равносильная ей и, следовательно, уравнению (1) система
$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (4)

систему (3) и (4) всегда можно дополнить ещё одним (правда, избыточным) уравнением - уравнением (2):

naanov в сообщении #902809 писал(а):

$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$,– (2)

и непосредственно убедиться в том, что система (3), (4), (2) не добавляет и не убавляет корни (решения систем) по отношению к системе (3), (4) или уравнению (2).
По определению они равносильны.
Остаётся ли актуальным Ваше предложение о преобразовании системы (3) и (4) в уравнение (2)?
Уважаемая shwedka, большое спасибо за тему, поднятую в Вашем посте:
равносильность уравнений крайне важна в доказательстве!

-- 02.09.2014, 17:48 --

Уважаемая shwedka!
Извините, пожалуйста. Еще один вопрос по Вашему напоминанию:

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

Напоминаю,что по Вашим словам,
naanov в сообщении #902809 писал(а):
параметры $(x, y, z)$ зафиксированны;
именно это в точности те числа,которые решают уравнение Ферма-3.

Я помню, что в доказательстве было принято условие о фиксированной тройке $(x, y, z)$.
Но, что означает фраза:

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

...в точности те числа, которые решают уравнение Ферма-3

будьте добры, поясните. Как "числа ... решают уравнение"? И что такое "уравнение Ферма-3"?
Я не специалист. Возможно что-то важное упускаю.
Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #903017 писал(а):

систему (3) и (4) всегда можно дополнить ещё одним (правда, избыточным) уравнением - уравнением (2):naanov в сообщении #902809
писал(а):
$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$,– (2) и непосредственно убедиться в том, что система (3), (4), (2) не добавляет и не убавляет корни (решения систем) по отношению к системе (3), (4) или уравнению (2).

чтобы непосредственно убедиться хотелось бы увидеть сооответствующее рассуждение.

naanov в сообщении #903017 писал(а):

"числа ... решают уравнение"? И что такое "уравнение Ферма-3"

Числа решают уравнение-несколько жаргонная форма 'числа являются решением уравнения'.
уравнение Ферма 3- уравнение Ферма степени 3. Вполне употребляемое сокращение.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Спасибо за разъяснения.

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

Вам нужно вывести из уравнений 3,4 уравнение 2. И только тогда Вы можете говорить о равносильности.

$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1}= x^{j-1} + y^{j-1}- s_{j-1}$. (4)
Преобразуем (3) и (4) к виду
$s_1 = x + y - z$, (5)
$s_{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}$. (6)
Перемножим соответствующие части (5) и (6), что выполнимо, поскольку $x + y - z > 0$ и $x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1} > 0$, и является эквивалентным преобразованием:
$s_1s_{j-1} = (x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})$.
Выполним умножение в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= x^j + xy^{j-1}- xz^{j-1} + yx^{j-1} + y^j - yz^{j-1} - zx^{j-1} - zy^{j-1}+ z^j$.
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= (x^j + y^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$.
Выполним эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $z^j$ согласно соотношению $x^j + y^j$ и $z^j$ в уравнении (1)
$x^j + y^j = z^j$: (1)
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= (z^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$.
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= (z^j - zy^{j-1}) - (xz^{j-1} - xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z) - (yz^{j-1}- yx^{j-1})$.
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку $1 \leqslant x < y < z$:
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= z(z^{j-1} - y^{j-1}) - x(z^{j-1} - y^{j-1}) + z(z^{j-1} - x^{j-1}) - y(z^{j-1}- x^{j-1})$.
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку из $1 \leqslant x < y < z$– натуральные следует $1 \leqslant z^{j-1} - y^{j-1} < z^{j-1} - x^{j-1}$:
$(x + y - z)(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}) =$
$= (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Полученное уравнение и является уравнением (2), выводимым из уравнений (3) и (4), равносильным уравнению (1).
2. Далее

shwedka в сообщении #903113 писал(а):

чтобы непосредственно убедиться

выполним следующее.
а) Система (3) и (4) всегда имеет решение $j = 2$.
б) При подстановке $j = 2$ в уравнение (1) получаем
$x^2 + y^2 = z^2$, (7)
откуда
$z = (x^2 + y^2)^{\frac 1 2}$. (8)
в) При подстановке $j = 2$ в (4) получаем
$x + y - s_1 = z$. (9)
После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2 + y^2 - z^2 + s_1^2 - 2s_1(x + y) + 2xy = 0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2 - 2s_1(x + y) + 2xy = 0$. (11)
Так как $s_1 < x < y < z$, то из пары решений уравнения (11) относительно $s_1$ остаётся одно решение
$s_1 = (x + y) - (x^2 + y^2)^{\frac 1 2}$. (12)
Откуда, подставляя значение $s_1$ из первого уравнения (3) системы, получаем
$z = (x^2 + y^2)^{\frac 1 2}$. (13)
То есть, $j=2$ является решением как уравнения (1), так и решением системы (3) и (4) и для фиксированных значений двух независимых параметров $x$ и $y$ даёт одно и то же значение зависимого параметра $z = (x^2 + y^2)^{\frac 1 2}$, (8) и (13). Аналогично можно рассмотреть иные комбинации независимых и зависимых параметров.
В силу единственности решений уравнения (1) и системы (3) и (4) при условиях основного утверждения их равносильность подтверждена.
3. Естественно, можно было вместо рассуждений в пункте в) ограничиться подстановкой найденного решения $j=2$ в уравнение (2), установив его равносильность системе (3) и (4), и получить
$x^2 + y^2 = z^2$, (14)
на что и указала, по-моему, уважаемая shwedka:

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

только тогда Вы можете говорить о равносильности.

Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #903207 писал(а):

Выполним эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $z^j$ согласно соотношению $x^j + y^j$ и $z^j$ в уравнении (1

Не годится!У Вас нет такого 'замещения'.Вам равенство 1 нужно вывести из 3,4, поэтому при таком выводе пользоваться 1 Вы не имеете права.

naanov в сообщении #903207 писал(а):

б) При подстановке $j = 2$ в уравнение (1) получаем
$x^2 + y^2 = z^2$, (7)После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2 + y^2 - z^2 + s_1^2 - 2s_1(x + y) + 2xy = 0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2 - 2s_1(x + y) + 2xy = 0$. (11)

Та же ошибка.при переходе от 10 к 11 Вы уже воспользовались 7, поэтому использовать 11 для доказательства 7 нельзя.

ваше рассуждение в чистом виде.

Докажем, что 2=3
Возьмем верное равенство 1=1.
запишем его как 1-1=0.
Прибавим к нему равенство 2-3=0.
получится 3-4=0.
Используем верное равенство 1-1=0.
получится 2-3=0.
доказано!

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Дайте, пожалуйста, мне некоторое время разобраться с моим "рассуждением в чистом виде".
Мне, поверьте, сложно понять, как рассуждать, даже в "грязном" виде:

shwedka в сообщении #903227 писал(а):

Не годится! У Вас нет такого 'замещения'. Вам равенство 1 нужно вывести из 3, 4, поэтому при таком выводе пользоваться 1 Вы не имеете права.

И

shwedka в сообщении #902866 писал(а):

Вам нужно вывести из уравнений 3, 4 уравнение 2. И только тогда Вы можете говорить о равносильности.

При этом, уравнение (1):

naanov в сообщении #902809 писал(а):

$x^j+y^j=z^j$, (1)

И
уравнение (2)

naanov в сообщении #902809 писал(а):

$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2)

очевидно, несколько различаются.
С уважением

-- 03.09.2014, 16:36 --

Уважаемая shwedka!
Указывая мне на "ошибки":

shwedka в сообщении #903227 писал(а):

Та же ошибка.при переходе от 10 к 11 Вы уже воспользовались 7, поэтому использовать 11 для доказательства 7 нельзя.
ваше рассуждение в чистом виде.

...и т.д., - Вы приводите вставку из моего поста 903207:

shwedka в сообщении #903227 писал(а):

...

naanov в сообщении #903207 писал(а):

б) При подстановке в уравнение (1) получаем
$x^2+y^2=z^2$, (7)После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2+y^2-z^2+s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (11)

Но, уважаемый Заслуженный участник shwedka, помилосердствуйте! Может быть, я не силён в "жаргонных формах" и во "вполне употребляемых сокращениях":

shwedka в сообщении #903113 писал(а):

Числа решают уравнение-несколько жаргонная форма 'числа являются решением уравнения'. уравнение Ферма 3- уравнение Ферма степени 3. Вполне употребляемое сокращение.

но зачем же выдавать за мой текст тот абсурд, который Вы привели выше под видом сообщения 903207. Вот мой действительный текст:

naanov в сообщении #903207 писал(а):

б) При подстановке в уравнение (1) получаем
$x^2+y^2=z^2$, (7)
откуда
$z=(x^2+y^2)^{\frac 1 2}$. (8)
в) При подстановке $j=2$ в (4) получаем
$x+y-s_1=z$. (9)
После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2+y^2-z^2+s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (11)

Сравните, пожалуйста. Разница наблюдается?
Спасибо

[vasili]

Уважаемый naanov! Почему все равенства, а именно: (1), (3) и (4) Вы называете уравнениями?
1. Из допущения равенства (1),благодаря формулам Абеля (для n = 3) следует равенство
$X + Y-Z = E_1 = UU_1U_2$,
где $U,U_1,U_2$ делители чисел $Z,X,Y$ соответственно [ в обозначении М.М. Постникова "Торема Ферма" 1978 Из-во "НАУКА"].
2. Если $E_ј$ величина переменная, как Вы обозначили, то (4) является равенством. В случае $E_ј$=$\operatoname {const}$ равенство (4) превратиться в уравнение.
3. Для лучшего восприятия Ваших рассуждений в том числе для использования зрительной памяти желательно постоянные и переменные величины обозначать как рекомендует наш форум.
к примеру:
$A^3 + B^3- C^3 = 0$,

$A + B-C =E_1$,

$A^{X-1} + B^{X-1}-C^{X-1} = E_X$

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Бесспорно!!! Вы справедливо обратили внимание на факт обоснованности равносильности отдельных соотношений, поскольку без подтверждения такой равносильности доказательство вызывает сомнения.
В доказательстве предполагается существование равносильных уравнений и системы уравнений.
Так, в п.7 доказательства говорится:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

Тогда, принимая $j$ в качестве степени уравнения $x^j + y^j = z^j$, при данных по п.1 и п.3 $x, y$ и $z = x + y - s_1$, выпишем соответствующую соотношению (6) систему уравнений относительно $j$:
$z = x + y - s_1$, (9)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (10)
в которой величины $s_1$, $x$, $y$ зафиксированы, $j$ – переменная и $s_{j-1}$ – переменная, зависящая от $j$, и что справедливо для всех допустимых $j$, так как суммы старших степеней в (9) и (10) дают $1+(j-1)=j \leqstant n$.

Здесь полагается, что равносильными являются:
уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$. (4)
Покажем, что уравнение (1) эквивалентно преобразуется в уравнение (2).
$x^j + y^j = z^j$. (1.1)
Рассмотрим следующую пару представлений левой и правой частей уравнения (1) и их последующие преобразования:
$x^j+y^j =x^j+(xy^{j-1}-xy^{j-1})+$
$+(xz^{j-1}-xz^{j-1})+y^j+(yx^{j-1}-yx^{j-1})+(yz^{j-1}-yz^{j-1})$, (1.2)
$z^j= z^j + (zy^{j-1}- zy^{j-1}) - z^j + (zx^{j-1}- zx^{j-1}) + z^j$; (1.3)
$x^j+y^j=(xz^{j-1}- xy^{j-1})+(x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1})+$
$+(yx^{j-1}+y^j- yz^{j-1})+(yz^{j-1}-yx^{j-1})$, (1.4)
$z^j= (z^j - zy^{j-1}) + (zx^{j-1}+ zy^{j-1} - z^j) + (z^j - zx^{j-1})$; (1.5)
$x^j+y^j=(z^{j-1}-y^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})x+$
$+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})y+(z^{j-1}-x^{j-1})y$, (1.6)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}-x^{j-1})z$; (1.7)
$x^j+y^j=(z^{j-1}-y^{j-1})x + (x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y) + (z^{j-1}- x^{j-1})y$, (1.8)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}- x^{j-1})z$. (1.9)
Вычтем почленно (1.9) из (1.8) и получим
$x^j + y^j - z^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})(x-z)+(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y- z) + (z^{j-1}-x^{j-1})(y-z)$. (1.10)
С учетом равенства (1.1) имеем соотношение уравнения (2):
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (1.11)
Поскольку все выполненные преобразования от (1.1) до (1.11) имеют и обратные преобразования, не нарушающие эквивалентности преобразуемых выражений, то преобразовать уравнение (2) (или 1.11) в уравнение (1) (или 1.1) всегда возможно. Таким образом (1) и (2) эквивалентны (равносильны).
Покажем, что уравнение (2) эквивалентно преобразуется в систему (3) и (4).
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2.1)
Обозначим:
$x + y - z = s_1$, где $ s_1>0$ – натуральное, (2.2)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, где $s_{j-1}>0$ – натуральное. (2.3)
Тогда левую часть (2.1) всегда можно представить произведением
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = s_{j-1}s_1$, (2.4)
и систему (2.2) и (2.3) – рассматривать как эквивалентную произведению (2.4) и уравнению (2.1), соответственно, поскольку почленное умножение равенств (2.2) и (2.3) при указанных выше условиях является эквивалентным преобразованием. Таким образом, (2) и (3)-(4) эквивалентны (равносильны).
Тогда (1) и (2) и (3)-(4) эквивалентны (равносильны) попарно.
Если не ошибаюсь.
Спасибо