naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[shwedka]

naanov в сообщении #903355 писал(а):

При этом, уравнение (1):naanov в сообщении #902809
писал(а):
$x^j+y^j=z^j$, (1) И
уравнение (2)naanov в сообщении #902809
писал(а):
$(x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2) очевидно, несколько различаются.

совет, который дается начинающим: прежде, чем писать, что что-то очевидно, убедитесь, что оно верно.
Ваши два уравнения, 1,2, очевидно эквивалентны.

naanov в сообщении #903355 писал(а):

Сравните, пожалуйста. Разница наблюдается?

здесь у меня получился сбой при редактировании. пардон.

naanov в сообщении #903207 писал(а):

б) При подстановке $j = 2$ в уравнение (1) получаем
$x^2 + y^2 = z^2$, (7)

получаете уравнение, но Вы еще не доказали,что числа x,y,z, решения уравнения Ферма-3, решают ЭТО уравнение.
Так что подставлять 7 или что-то из 7 выведенное, для доказательства 7 нельзя.

-- Ср сен 03, 2014 21:25:31 --

Цитата:

Тогда левую часть (2.1) всегда можно представить произведением
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = s_{j-1}s_1$, (2.4)
и систему (2.2) и (2.3) – рассматривать как эквивалентную произведению (2.4) и уравнению (2.1), соответственно, поскольку почленное умножение равенств (2.2) и (2.3) при указанных выше условиях является эквивалентным преобразованием. Таким образом, (2) и (3)-(4) эквивалентны (равносильны).
Тогда (1) и (2) и (3)-(4) эквивалентны (равносильны) попарно.
Если не ошибаюсь.

здесь и ошибаетесь.
2.1 Вам не дано, а Вам нужно вывести 2.1 из 2.2,2.3.
Еще раз,левуючасть 2.1 Вы преобразовали к 2.4, но доказательства того,что эта левая часть 2.1 равна правой части 2.1 у Вас нет.

[naanov]

Уважаемый vasili!
Вы спрашиваете:

vasili в сообщении #903404 писал(а):

Почему все равенства, а именно: (1), (3) и (4) Вы называете уравнениями?

Выражения или соотношения (1), (3) и (4) я называю уравнениями потому, что они уравнения.

naanov в сообщении #902809 писал(а):

...на тему нахождения решений уравнения вида
$x^j + y^j = z^j$, (1)...

naanov в сообщении #902809 писал(а):

а) установлена равносильность уравнения (1) и уравнения
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
б) по уравнению (2) выписана равносильная ей и, следовательно, уравнению (1) система
$z = x + y - s_1$, (3)
$z^{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1} - s_{j-1}$, – (4)
где все уравнения (1), ..., (4), включая вырожденное (3), ...

Как и следует быть уравнению, все эти соотношения содержат функции с неизвестным аргументом $j$, значение которого мы и желаем найти по ходу доказательства основного утверждения.

vasili в сообщении #903404 писал(а):

Из допущения равенства (1), благодаря формулам Абеля (для n = 3) следует равенство
$X+Y-Z=E_1=UU_1U_2$,
где $U, U_1, U_2$ делители чисел $Z, X, Y$ соответственно...

Согласен! Знаю. Но в обсуждаемом доказательстве тема делимостей параметров уравнения из утверждения Ферма не рассматривается.

vasili в сообщении #903404 писал(а):

Для лучшего восприятия Ваших рассуждений в том числе для использования зрительной памяти желательно постоянные и переменные величины обозначать как рекомендует наш форум.

Ссылку на рекомендации форума, пожалуйста, дайте.
Спасибо

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Вы абсолютно правы!

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

совет, который дается начинающим: прежде, чем писать, что что-то очевидно, убедитесь, что оно верно.

И был за то нещадно бит! Очевидно - не воробей...

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

получился сбой при редактировании. пардон.

Всё, забыли: сам бы мог догадаться!

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

Вы еще не доказали,что числа x,y,z, решения уравнения Ферма-3, решают ЭТО уравнение.

Простите: из откуда следует, что необходимо доказывать, что "числа x,y,z, решения уравнения Ферма-3, решают ЭТО уравнение" (в переводе на нормальный язык - числа x,y,z являются решением...? Я правильно понимаю?) Разве не достаточно того, что в пункте 2 доказательства делается исходное допущение (традиционное для доказательств от противного):

naanov в сообщении #902381 писал(а):

… Допустим для (1) при $n=3$ и данной тройки $(x, y, z)$ справедливо
$x^3 + y^3 = z^3$, (3)

где (1): $x^n + y^n = z^n$.
У меня возникают смутные предчувствия, что мне не удалось донести смысл доказательства, состоящий в том, что ищется опровергающее решение $j=2=n$, как значение неизвестного аргумента $j$, уравнения $x^j+y^j=z^j$ с одним неизвестным $j$, в котором иные параметры $x, y, z$ являются постоянными и удовлетворяющими единственному решению, если оно существует для этих постоянных параметров! Вот здесь я пытался схематично отразить идею и структуру доказательства:

naanov в сообщении #902335 писал(а):

представленное доказательство … состоит из трех частей:
I. Фрагмент класса К-1.
Анализ свойств возможного решения уравнения (1) относительно $n$ при допущении вида 3.г.
В результате устанавливаем существование системы равенств, эквивалентных равенству вида (1):
$x+y - z = s_1$, (2)
$x^{n-1}+y^{n-1}-z^{n-1}=s_{n-1}$. (3)
Здесь используется ПЧС.
II. Фрагмент класса К-2.
Ищем единственное решение уравнения (1) относительно переменного параметра $n$, обозначенного теперь, во избежание путаницы, как $j$ при допущениях вида 4.в и 4.г.
В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, полученной из системы равенств (2) и (3):
$x+y - z = s_1$, (4)
$x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1}=s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)
III. Следствие.
Следствие из (6), подтверждающее справедливость УФ.

Почему возникают такие предчувствия? Вот почему:

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

2.1 Вам не дано, а Вам нужно вывести 2.1 из 2.2,2.3.
Еще раз,левуючасть 2.1 Вы преобразовали к 2.4, но доказательства того,что эта левая часть 2.1 равна правой части 2.1 у Вас нет.

Вы, действительно, полагаете, что внутри обсуждаемого доказательства требуется, в свою очередь, доказывать, что "левая часть 2.1 равна правой части 2.1":
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2.1)...???
Увольте - я этого не понимаю! Объясните, пожалуйста! Зачем в уравнении доказывать равенство левой части и правой части до начала процедуры его "решания"??? Разве суть решения уравнения не состоит в том, чтобы найти то, неизвестное, которое и позволит уравнять в уравнении левую и правые части? По-моему, здесь имеет место путаница.
Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #903621 писал(а):

Допустим для (1) при $n=3$ и данной тройки $(x, y, z)$ справедливо
$x^3 + y^3 = z^3$, где (1): $x^n + y^n = z^n$.
У меня возникают смутные предчувствия, что мне не удалось донести смысл доказательства, состоящий в том, что ищется опровергающее решение $j=2=n$, как значение неизвестного аргумента $j$, уравнения $x^j+y^j=z^j$ с одним неизвестным $j$, в котором иные параметры $x, y, z$ являются постоянными и удовлетворяющими единственному решению,

так все же, значит, это ИНЫЕ параметры x,y,z?
To есть
x,y,z, удовлетворяющие уравнению $x^n + y^n = z^n$, этоуже не те же самые x,y,z, для которых $x^j+y^j=z^j$??

naanov в сообщении #903621 писал(а):

В результате устанавливаем существование системы равенств, эквивалентных равенству вида (1):
$x+y - z = s_1$, (2)
$x^{n-1}+y^{n-1}-z^{n-1}=s_{n-1}$. (3)

эту эквивалентность Вы так и не доказали.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
На Ваш вопрос:

shwedka в сообщении #903630 писал(а):

To есть $(x, y, z)$ удовлетворяющие уравнению $x^n+y^n=z^n$, это уже не те же самые $(x, y, z)$ для которых $x^j+y^j=z^j$??

отвечаю: Нет.
Читаем ещё раз то, что я написал, а Вы частично процитировали: … ищется опровергающее решение $j=2=n$, как значение неизвестного аргумента $j$, уравнения $x^j+y^j=z^j$ с одним неизвестным $j$, в котором иные параметры $x, y, z$ являются постоянными и удовлетворяющими единственному решению, если оно существует для этих постоянных параметров!
Теперь поясняю, что здесь сказано?
Имеется уравнение $x^j+y^j=z^j$.
В этом уравнении имеются параметры: $x, y, z$ и $j$.
Параметр $j$ является неизвестным (искомым аргументом функций $f_{x,y}(j) = x^j+y^j$ и $f_z(j) = z^j$, составляющих уравнение $x^j+y^j=z^j$).
ИНЫЕ параметры $x, y, z$ этого (в котором $x, y, z$ иные параметры) уравнения $x^j+y^j=z^j$ являются постоянными и удовлетворяющими единственному решению, если оно существует для этих постоянных параметров!
Здесь никоим образом не отменяется допущение пункта 2 доказательства, указывающего, что тройка $(x, y, z)$ дана, то есть зафиксирована:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

… Допустим для (1) при $n=3$ и данной тройки $(x, y, z)$ справедливо $x^3 + y^3 = z^3$, (3)

где (1): $x^n + y^n = z^n$. Такого изменения «статуса постоянных параметров» для $(x, y, z)$ в доказательстве нет и быть не может! В доказательстве исследуется переменная $j$, которая, именно, в целях доказательства «временно» замещает параметр $n$ уравнения $x^n + y^n = z^n$, "обращая" это уравнение "временно" в части II доказательства в уравнение $x^j+y^j=z^j$. А параметры $x, y, z$ не изменяются.
Далее, Вы утверждаете:

shwedka в сообщении #903630 писал(а):

naanov в сообщении #903621 писал(а):

В результате устанавливаем существование системы равенств, эквивалентных равенству вида (1):
$x + y - z = s_1$, (2)
$x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1} = s_{n-1}$. (3)

эту эквивалентность Вы так и не доказали.

Обратите, пожалуйста, внимание на то, что упоминаемое равенство вида (1) это есть равенство $x^n + y^n = z^n$, рассматриваемое, согласно допущению пункта 2 доказательства, о чём мы уже говорили выше, при $n=3$. И, далее, в пункте 4 доказательства сказано:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

Тогда всегда выполняется:
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (6)
… что проверяется непосредственно, и откуда следует эквивалентность равенств (6) и (…)

где равенство (...) в пункте 2 доказательства имеет вид $x^3 + y^3 = z^3$, или $x^n + y^n = z^n$ при $n=3$, о чём также сказано в этом пункте 2. Это означает, что при $n=3$ равенство (1) $x^n + y^n = z^n$ принимает вид равенства (3) $x^3 + y^3 = z^3$, которое эквивалентно равенству $(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$,
которое эквивалентно системе равенств
$x + y - z = s_1$,
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$,
рассматриваемых в пункте 4 доказательства, как видно, при том же условии $n=3$ пункта 2 доказательства.
Все (последние указанные выше) равенства и система равенств эквивалентны последовательно друг другу и, следовательно, по свойству эквивалентностей, эквивалентны друг другу попарно. Или я ошибаюсь?
Вас интересует: эквивалентны ли
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$ и
$x^3 + y^3 = z^3$?
Сейчас проверим.
$x^3+y^3 =x^3+(xy^2-xy^2)+(xz^2-xz^2)+y^3+(yx^2-yx^2)+(yz^2-yz^2)$, (1.1)
$z^3= z^3 + (zy^2- zy^2) - z^3 + (zx^2- zx^2) + z^3$; (1.2)
$x^3+y^3=(xz^2- xy^2)+(x^3+xy^2-xz^2)+(yx^2+y^3- yz^2)+(yz^2-yx^2)$, (1.3)
$z^3= (z^3 - zy^2) + (zx^2+ zy^2 - z^3) + (z^3 - zx^2)$; (1.4)
$x^3+y^3=(z^2-y^2)x+(x^2+y^2-z^2)x+(x^2+y^2-z^2)y+(z^2-x^2)y$, (1.5)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2-x^2)z$; (1.6)
$x^3+y^3=(z^2-y^2)x + (x^2 + y^2- z^2)(x + y) + (z^2- x^2)y$, (1.7)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2- x^2)z$. (1.8)
Вычтем почленно (1.8) из (1.7) и получим
$x^3 + y^3 - z^3=(z^2-y^2)(x-z)+(x^2 + y^2- z^2)(x + y- z) + (z^2-x^2)(y-z)$. (1.9)
По-моему, эквивалентны.
Уважаемая shwedka, может быть мы ходим по «минному полю», которое возникло в результате не очень естественного представления общего доказательства, в котором параметр степени $n$ полагается переменным неизвестным, в форму доказательства, адаптированного к случаю фиксированного $n=3$. Это всего лишь предположение без покушения, чур меня, на Правила. Ваше мнение?
Спасибо

[lasta]

naanov в сообщении #901538 писал(а):

$s^{i-1}$ по $x+y$ единиц.

Уважаемый naanov, извините, обстоятельства препятствовали быстрому ответу.
По Вашему может существовать только следующая симметрия: содержимое четырех банок по пять литров равно содержимому пяти банок по четыре литра. Но, пусть ячейки являются шарами с натуральным радиусом. $x_1,y_1$ - натуральные , а $z_1$ - вещественное. Тогда в силу симметрии $x_1+y_1$ - количество шаров, объем каждого - иррациональное число $s^2$. Как же в этом случае понимать симметрию?
Предположив, что существует натуральное решение, мы не можем забывать, что в вещественных числах решение существует всегда. И, делая подстановку $x^3+y^3=z^3$ (1) при алгебраических преобразованиях, должны помнить, что подстановка в первую очередь справедлива для вещественных чисел.
И если мы доказали путем чистых алгебраических преобразований, что не существует (1) значит мы доказали, что не существует вещественного решения. И это уже точно означает, что в алгебраических преобразованиях вкралась ошибка. Параллельно преобразованиям должна следовать проверка делимости на целые числа, чисел составляющих различные равенства. Поэтому в своих доводах я подвергал сомнению основу Вашего доказательства о существовании только целочисленной системы.

naanov в сообщении #902579 писал(а):

не "пропечатались" эти самые переменные и фиксированные значения.

для любого $s$ существует уравнение - $(x^j-s^j)+2s^j+(y^j-s^j)=z^j$
для любого $j$ существуют равенства-$(x_1^j-s^j)+2s^j+(y_1^j-s^j)=z_1^j+s_j$

[shwedka]

naanov в сообщении #903796 писал(а):

в котором $x, y, z$ иные параметры

Tak, все-таки это разные числа для 2 и для тртех. Тогда, во избежание злоупотреблений, обозначайте их различными буквами.

naanov в сообщении #903796 писал(а):

$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$,
которое эквивалентно системе равенств
$x + y - z = s_1$,
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$,
рассматриваемых в пункте 4 доказательства,

Вот эту эквивалентность, системы одному уравнению, я уже, кажется, шестой раз прошу доказать.
Вы же уклоняетесь.

Не можете,так и скажите.

-- Чт сен 04, 2014 19:22:52 --

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Вас интересует: эквивалентны ли
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$ и
$x^3 + y^3 = z^3$?

нет,ни капли не интересует.
Интересует, еще раз повторяю, доказательство

naanov в сообщении #903796 писал(а):

при $n=3$ равенство (1) $x^n + y^n = z^n$ принимает вид равенства (3) $x^3 + y^3 = z^3$, которое эквивалентно равенству $(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$,
которое эквивалентно ??????????? системе равенств
$x + y - z = s_1$,
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$,
рассматриваемых в пункте 4 доказательства,

так что, доказывайте отмеченную цветом эквивалентность.без этого все остальное бессмысленно.

[naanov]

Глубокоуважаемый lasta!
Обстоятельства - сие суть сущего.
Вернёмся к нашим обстоятельствам.
Вы отмечаете:

lasta в сообщении #903919 писал(а):

По Вашему может существовать только следующая симметрия: содержимое четырех банок по пять литров равно содержимому пяти банок по четыре литра.

Это точно: 4 по 5 равно 5 по 4. И по сути (применительно к обсуждаемому доказательству) также справедливо. А вот содержание этой "симметрии", выраженной натуральными показателями (числами), можно расширить:
10 банок по 2 литра, 5 банок по 4 литра, 4 банки по 5 литров, 2 банки по 10 литров. Определение частной суммы исключает возможности: 20 по 1 и 1 по 20.
Главное здесь то, что все ячейки (ящики, банки, числа частных сумм) являются целыми положительными (натуральными) числами. Мы же не сопоставляем ячейке (ящику в «принципе ящиков») часть банки. «Целостность» или «натуральность», извините за термины, является прямым следствием условия УФ.

lasta в сообщении #903919 писал(а):

Но, пусть ячейки являются шарами с натуральным радиусом. $x_1, y_1$ - натуральные , а $z_1$ - вещественное. Тогда в силу симметрии $x_1 + y_1$ - количество шаров, объем каждого - иррациональное число $s^2$. Как же в этом случае понимать симметрию?

Извините, пожалуйста, не понял, какую «в этом случае понимать симметрию»?
Догадка: может быть суть вопроса в следующем.
Как понимать то, что число шаров (ячеек, ящиков) является натуральным числом, а сумма объемов шаров (содержимого ячеек, ящиков) является ненатуральным числом?
Если моя догадка справедлива, то понимать это следует так, что Ваш пример не вписывается в условия УФ и в обсуждаемое доказательство. Почему?
По следующей, математической, причине.
Числа суммы $x^3 + y^3$ приводятся к суммам частных сумм:
$x^2 + y^2$, в том числе $x^2$ частных сумм по $x$ единиц и $y^2$ частных сумм по $y$ единиц;
$x + y$, в том числе $x$ частных сумм по $x^2$ единиц и $y$ частных сумм по $y^2$ единиц.
В любом случае, соотношения $x^3=x^2x и $x^3=xx^2$, а также $y^3=y^2y$ и $y^3=yy^2$ не позволяют содержимому ячеек (ящиков) выражаться ненатуральными числами, если общие суммы $x^3$ и $y^3$, как следствие условия УФ, являются натуральными и частные суммы $x^2$ или $x$ и $y^2$ или $y$ являются натуральными по их определению.
То есть, пример соотношения объёмов шаров и их натуральных радиусов (или, проще, числа шаров) здесь «не проходит».
В следующем положении Вы, бесспорно, правы!

lasta в сообщении #903919 писал(а):

Предположив, что существует натуральное решение, мы не можем забывать, что в вещественных числах решение существует всегда.

Согласен. Для того, чтобы исключить расширение доказательства на случай ненатуральных чисел в тройке $(x, y, z)$, в доказательстве и реализуется «принцип ящиков» в форме «приёма частных сумм». Но это мы неоднократно уже обсуждали. Например, здесь:

naanov в сообщении #902335 писал(а):

… приём (скажем – приём частных сумм, ПЧС) формально не может быть применён в решении предложенной Вами задачи, исходящей из некоторого обобщённого условия: $x<y<z$ – вещественные (?), сохраняя – натуральное $n$.

Поэтому я всегда помню, о чём Вы предупреждаете:

lasta в сообщении #903919 писал(а):

И, делая подстановку $x^3 + y^3 = z^3$ (1) при алгебраических преобразованиях, должны помнить, что подстановка в первую очередь справедлива для вещественных чисел.

Вы имеете ввиду подстановку $n=3$(?).
Далее:

lasta в сообщении #903919 писал(а):

И если мы доказали путем чистых алгебраических преобразований, что не существует (1) значит мы доказали, что не существует вещественного решения. И это уже точно означает, что в алгебраических преобразованиях вкралась ошибка.

Ну почему же так прямолинейно? В любой задаче имеются условия, которые необходимо учитывать в её решении. Решение не сводится, исключительно, к «чистым алгебраическим преобразованиям». Например, в доказательстве 1-й теоремы Больцано-Коши мы не можем игнорировать непрерывность функции. Мы же не говорим, что в доказательство этой теоремы вкралась ошибка на том основании, что на дискретные (например, целочисленные функции) действие указанной теоремы не распространяется. Хотя можно примести многие примеры обращения в $0$ целочисленных функций. Например, все возрастающие или убывающие на интервале целочисленные функции, имеющие значение $0$. В нашем случае таким ограничительным условием является реализация известного «принципа ящиков» в форме приёма частных сумм:

naanov в сообщении #902381 писал(а):

В элементарной Теории чисел известен т.н. «принцип ящиков». В доказательстве с ПЧС (приём частных сумм) этим "ящикам" соответствуют «ячейки». Указанный принцип формулируется в виде одной из фундаментальных теорем Теории чисел.

И так далее. Мы это уже обсуждали. В доказательстве мы имеем дело с числами частных сумм – с натуральными числами, с «ящиками». Объясните, пожалуйста, чем свойство «дискретности» хуже свойства «непрерывности»?

lasta в сообщении #903919 писал(а):

Параллельно преобразованиям должна следовать проверка делимости на целые числа, чисел составляющих различные равенства.

Почему «должна»? Поясните, пожалуйста. Если в доказательстве появляется посылка к «ненатуральности» параметров $x, y, z$, то немедленно срабатывает «фильтр» ПЧС (приёма частных сумм), и соответствующий посылке вариант исключается из доказательства. Большего условия УФ не требуют. Однако Вы заключаете:

lasta в сообщении #903919 писал(а):

Поэтому в своих доводах я подвергал сомнению основу Вашего доказательства о существовании только целочисленной системы.

Я нигде не утверждал, что «существует только целочисленная система». В доказательстве используется целочисленная система $(x, y, s)^i$ и ряд чисел частных сумм числа $z^j$, что не противоречит условиям УФ, и что в полной мере опирается на условия УФ. Я с Вами соглашусь в порочности моего доказательства и посыплю голову пеплом, если Вы мне скажете, сколько частных сумм по $\pi$ «единиц» содержит число $\pi^2$ или сколько частных сумм по $2^{\frac 1 2}$ «единиц» содержит число $2$?
С уважением

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Вы приводите цитату из моего поста (naanov в сообщении #903796 ): … в котором $(x, y, z)$ иные параметры. И делаете вывод:

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Tak, все-таки это разные числа для 2 и для тртех.

В предыдущем посте я Вам уже отвечал, и объяснял, и приводил исходный текст, из которого видно, что параметры $x, y, z$ неизменны. Повторяю этот текст:

naanov в сообщении #903796 писал(а):

… ищется опровергающее решение $j=2=n$, как значение неизвестного аргумента $j$, уравнения $x^j+y^j=z^j$ с одним неизвестным $j$, в котором иные параметры $x, y, z$ являются постоянными и удовлетворяющими единственному решению, если оно существует для этих постоянных параметров!

Ясно, что, иные параметры $x, y, z$ являются иными по отношению к параметру $j$ в уравнении $x^j+y^j=z^j$ и не более того.
Вы же требуете:

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Тогда, во избежание злоупотреблений, обозначайте их различными буквами.

Объясните, пожалуйста, зачем обозначать параметры $(x, y, z)$ различными буквами, если они остаются постоянными, одними и теми же на всех этапах доказательства?
Далее.

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Интересует, еще раз повторяю, доказательство

naanov в сообщении #903796 писал(а):

… при $n=3$ равенство (1) $x^n + y^n = z^n$ принимает вид равенства (3) $x^3 + y^3 = 3^n$, которое эквивалентно равенству
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$,
которое эквивалентно ????????? системе равенств
$x + y - z = s_1$,
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$,
рассматриваемых в пункте 4 доказательства

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Вот эту эквивалентность, системы одному уравнению, я уже, кажется, шестой раз прошу доказать.

Здесь нет уравнений, имеются только и только равенства.
Вариант 1.
1. Равенства
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
$x^3 + y^3 = z^3$ (1.1.2)
эквивалентны.
2. Равенство (1.1.2) истинно по допущению доказательства.
3. Равенство (1.1.1) истинно по п.1.
4. Обозначим (построение)
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (1.4.2)
5. Если равенство (1.1.1) истинно, то равенства (1.4.1) и (1.4.2) истинны одновременно (являются системой).
6. Определим систему равенств (1.4.1) и (1.4.2).
7. Система равенств (1.4.1) и (1.4.2) истинна по п.5.
8. Перемножим, соответственно, равенства (1.4.1) и (1.4.2), что выполнимо, поскольку $x + y - z > 0$ и $x^2 + y^2 - z^2>0$
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = s_1s_2$, (1.8.1)
и является эквивалентным преобразованием.
9. Для левой части равенства (1.8.1) по п.2 справедливо в силу истинности равенства (1.1.2)
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$. (1.9.1)
10. Если (1.4.1) и (1.4.2) являются системой (истинны одновременно), то истинно (1.9.1) или (1.1.1).
11. Равенства (1.1.1), (1.1.2), (1.4.1) и (1.4.2) по условию основного утверждения и по свойствам арифметических операций принадлежат одному классу эквивалентности натуральных чисел.
12. Равенство (1.1.1) и система равенств (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны по п.5, п.10 и п.11.
Вариант 2.
1. Равенства
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (2.1.1)
$x^3 + y^3 = z^3$ (2.1.2)
эквивалентны.
2. Равенство (2.1.2) истинно по допущению доказательства.
3. Равенство (2.1.2) всегда влечет истинные одновременно неравенства
$x + y - z > 0$, (2.3.1)
$x^2 + y^2 - z^2 > 0$. (2.3.2)
4. Истинные одновременно неравенства (2.3.1) и (2.3.2) являются истинной системой неравенств
5. Обозначим (построение)
$x + y - z = s_1$, (2.5.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (2.5.2)
6. Истинная система неравенств (2.3.1) и (2.3.2) влечет истинную систему равенств (2.5.1) и (2.5.2).
7. Перемножим, соответственно, равенства (2.5.1) и (2.5.2), что выполнимо, поскольку $x + y - z > 0$ и $x^2 + y^2 - z^2>0$
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = s_1s_2$, (2.7.1)
и является эквивалентным преобразованием.
8. Истинная система равенств (2.5.1) и (2.5.2) влечёт истинное равенство (2.7.1).
9. Левая часть равенства (2.7.1) равна правой части равенства (2.1.1) в силу истинности (2.1.1).
10. Истинная система равенств (2.5.1) и (2.5.2) влечёт истинное равенство (2.1.1).
11. Истинное равенство (2.1.1) по п.3, п.4 и п.5 варианта 1 влечет истинную систему равенств (2.5.1) и (2.5.2).
12. Равенства (2.1.1), (2.1.2), (2.5.1) и (2.5.2) по условию основного утверждения и по свойствам арифметических операций принадлежат одному классу эквивалентности натуральных чисел.
13. Равенство (2.1.1) и система равенств (2.5.1) и (2.5.2) эквивалентны по п.8, п.11 и п.12.
Вариант 3.
1. Равенства
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (3.1.1)
$x^3 + y^3 = z^3$ (3.1.2)
эквивалентны.
2. Равенство (3.1.2) истинно по допущению доказательства.
3. Равенство (3.1.1) истинно, как эквивалентное истинному равенству (3.1.2).
4. Обозначим (построение)
$x + y - z = s_1$, (3.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (3.4.2)
5. Истинность равенства (3.1.1) влечет истинность равенств (3.4.1) и (3.4.2) одновременно.
6. Истинность системы (3.4.1) и (3.4.2) по п.8, п.9 и п.10 варианта 1 влечёт истинность равенства (3.1.1).
7. Равенства (3.1.1), (3.1.2), (3.4.1) и (3.4.2) истинны одновременно и являются истинной системой равенств.
8. Равенства (3.1.1), (3.1.2), (3.4.1) и (3.4.2) по условию основного утверждения и по свойствам арифметических операций принадлежат одному классу эквивалентности натуральных чисел.
9. Все равенства (3.1.1), (3.1.2), (3.4.1) и (3.4.2) истинной системы эквивалентны по п.1, п.5, п.6 и п.8.
Ранее Вы уже прокомментировали рассуждение об эквивалентности, аналогичное приведённым вариантам

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

…ошибаетесь.
2.1 Вам не дано, а Вам нужно вывести 2.1 из 2.2, 2.3. Еще раз, левую часть 2.1 Вы преобразовали к 2.4, но доказательства того, что эта левая часть 2.1 равна правой части 2.1 у Вас нет.

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

… Вы еще не доказали, что числа $x, y, z$ решения уравнения Ферма-3, решают ЭТО уравнение. Так что подставлять 7 или что-то из 7 выведенное, для доказательства 7 нельзя.

Применительно, например, к варианту 1 Ваш комментарий состоит в следующем.
Равенство (1.1.1) не дано. Его нужно вывести из равенств (1.4.1) и (1.4.2). Левая часть равенства (1.1.1) получена как равенство (1.8.1). Но доказательство того, что левая часть (1.1.1) равна правой части (1.1.1) отсутствует.
Кроме того, не доказано, что числа $x, y, z$ являются решениями «уравнения» (1.1.2) $x^3 + y^3 = z^3$. Поэтому в ходе установления равенства левой и правой частей (1.1.1) использовать подстановку равенства $x^2 + y^2 = z^2$ (имеется ввиду установленное решение) нельзя.
Каких-либо новых возражений с Вашей стороны нет. Поэтому позвольте остановиться на этих.
1. Нам не требуется доказывать, что числа $x, y, z$ являются решениями «уравнения» (1.1.2) $x^3 + y^3 = z^3$. Это является допущением доказательства. Поэтому «уравнение» (1.1.2) является в доказательстве не уравнением, а равенством. Поэтому мы можем использовать, именно, равенство (не уравнение!) $x^3 + y^3 = z^3$ в установлении любых фактов, следующих из этого допущения.
2. Доказательство того, что (1.1.2) $x^3 + y^3 = z^3$ влечет (1.1.1) имеется:

naanov в сообщении #903796 писал(а):

$x^3+y^3 =$
$= x^3+(xy^2-xy^2)+(xz^2-xz^2)+y^3+(yx^2-yx^2)+(yz^2-yz^2)$, (1.1)
$z^3= z^3 + (zy^2- zy^2) - z^3 + (zx^2- zx^2) + z^3$; (1.2)
$x^3+y^3=$
$= (xz^2- xy^2)+(x^3+xy^2-xz^2)+(yx^2+y^3- yz^2)+(yz^2-yx^2)$, (1.3)
$z^3= (z^3 - zy^2) + (zx^2+ zy^2 - z^3) + (z^3 - zx^2)$; (1.4)
$x^3+y^3=$
$= (z^2-y^2)x+(x^2+y^2-z^2)x+(x^2+y^2-z^2)y+(z^2-x^2)y$, (1.5)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2-x^2)z$; (1.6)
$x^3+y^3=(z^2-y^2)x + (x^2 + y^2- z^2)(x + y) + (z^2- x^2)y$, (1.7)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2- x^2)z$. (1.8)
Вычтем почленно (1.8) из (1.7) и получим
$x^3 + y^3 - z^3=$
$= (z^2-y^2)(x-z)+(x^2 + y^2- z^2)(x + y- z) + (z^2-x^2)(y-z)$. (1.9)
С учетом равенства (1.1) имеем соотношение уравнения (2):
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (1.11)

3. Доказательство существования и, следовательно, истинности (1.1.1) означает истинность левой и правой частей равенства (1.1.1).
Иных вопросов с Вашей стороны, на сей день, пока нет.
Таким образом, имеем следующую схему эквивалентностей в доказательстве основного утверждения для случая $n = 3$. Равенство (1.1.2) является допущением. Равенство (1.1.2) влечет равенство (1.1.1) и наоборот. То есть равенства (1.1.2) и (1.1.1) эквивалентны. Равенство (1.1.2) влечет систему (1.4.1) и (1.4.2). Равенство (1.1.1) влечет систему (1.4.1) и (1.4.2). Система (1.4.1) и (1.4.2) влечет равенство (1.1.1). Равенство (1.1.1) и система (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны. В силу транзитивности эквивалентности равенства (1.1.1), (1.1.2) и система равенств (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны попарно.
Спасибо.

[lasta]

naanov в сообщении #904027 писал(а):

частных сумм по $\pi$ «единиц» содержит число $\pi^2$ или сколько частных сумм по $2^{\frac 1 2}$ «единиц» содержит число $2$?

Уважаемый naanov, хороший вопрос. И я говорил об этом. Как же в этом случае понимать симметрию. Шары как раз расставляют все по местам.
Натуральное число $x+y$ шаров с иррациональным объемом $s^2$ и с натуральным радиусом, согласно принципа симметрии то же самое, что иррациональное количество $s^2$ шаров с объемом $x+y$. Что плохо воспринимается. Однако, если произвести некоторые преобразования c $x+y$ и с $s$,- связать радиус шаров с $s$ и сделать его иррациональным, то количество шаров снова будет натуральным числом, но с иррациональным объемом каждого шара.

[shwedka]

.Вы здесь все пишете обобсуждаемой эквивалентности при j=n=3.
Если зафиксированы решения Уравнения Ферма-3, то,да, для них
это числовые равенства, и понятие эквивалентности для них малосодержательно.
Затем же Вы рассматриваете случай другого j, $j=2.$

Вы равенства $x^2+y^2=z^2$ еще не знаете, только хотите его доказать.

naanov в сообщении #903621 писал(а):

В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, полученной из системы равенств (2) и (3):
$x+y - z = s_1$, (4)
$x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1}=s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)

В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, 4,5,$j=2$

Как Вы это решение находите? Эквивалентность уравнения 1 и системы ( 4,5) для $j=2$ не доказана! Ваше 'доказательство'уже не действует.
Вот распишите. Пусть есть решение системы
$x+y - z = s_1$, (4)
$x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1}=s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)

Докажите, что тогда
$x^2+y^2=z^2$

Вы это не имеете право предполагать, Вам это доказать надо!

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Простите: не Ваше дело разбираться в моих каракулях:

naanov в сообщении #904046 писал(а):

... имеем следующую схему эквивалентностей в доказательстве основного утверждения для $n = 3$. Равенство (1.1.2) является допущением. Равенство (1.1.2) влечет равенство (1.1.1) и наоборот. То есть равенства (1.1.2) и (1.1.1) эквивалентны. Равенство (1.1.2) влечет систему (1.4.1) и (1.4.2). Равенство (1.1.1) влечет систему (1.4.1) и (1.4.2). Система (1.4.1) и (1.4.2) влечет равенство (1.1.1). Равенство (1.1.1) и система (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны. В силу транзитивности эквивалентности равенства (1.1.1), (1.1.2) и система равенств (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны попарно.

Позвольте выписать указанную схему в явном виде.
1. Равенство
$x^3 + y^3 = z^3$ (1.1.2)
является допущением доказательства для фиксированной тройки $x, y, z$ и $n=3$.
2. Тогда равенство (1.1.2) влечёт равенство (1.1.1) и наоборот.
Действительно:
выполним ряд эквивалентных преобразований над левой и правой частями равенства (1.1.2)
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
а именно
$x^3+y^3= x^3+(xy^2-xy^2)+(xz^2-xz^2)+y^3+(yx^2-yx^2)+(yz^2-yz^2)$, (1.1)
$z^3= z^3 + (zy^2- zy^2) - z^3 + (zx^2- zx^2) + z^3$; (1.2)
далее
$x^3+y^3=(xz^2- xy^2)+(x^3+xy^2-xz^2)+(yx^2+y^3- yz^2)+(yz^2-yx^2)$, (1.3)
$z^3= (z^3 - zy^2) + (zx^2+ zy^2 - z^3) + (z^3 - zx^2)$; (1.4)
далее
$x^3+y^3=(z^2-y^2)x+(x^2+y^2-z^2)x+(x^2+y^2-z^2)y+(z^2-x^2)y$, (1.5)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2-x^2)z$; (1.6)
далее
$x^3+y^3=(z^2-y^2)x + (x^2 + y^2- z^2)(x + y) + (z^2- x^2)y$, (1.7)
$z^3= (z^2-y^2)z + (x^2+ y^2- z^2)z + (z^2- x^2)z$. (1.8)
Вычтем почленно (1.8) из (1.7) и получим
$x^3 + y^3 - z^3=(z^2-y^2)(x-z)+(x^2 + y^2- z^2)(x + y- z) + (z^2-x^2)(y-z)$. (1.9)
Последнее равенство (1.9) при условии основного допущения по п.1
$x^3 + y^3 = z^3$ (1.1.2)
преобразуется в равенство (1.1.1):
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$. (1.1.1)
Обратное преобразование равенства (1.9) в равенство (1.1.1) так же выполнимо в силу обратимости всех применённых эквивалентных преобразований.
Таким образом, равенства
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$ (1.1.1)
эквивалентны.
3. В силу доказанной истинности равенства (1.1.1), истинность его левой части влечёт истинность его правой части и наоборот.
Обозначим:
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (1.4.2)
Тогда справедливо
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = s_1s_2$ (1.8.1)
$ s_1s_2 = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$. (1.8.2 – новое равенство)
Таким образом, равенства (1.8.1) и (1.8.2) эквивалентны.
4. Равенство (1.8.1) влечет одновременную истинность равенств (1.4.1) и (1.4.2).
5. Таким образом, равенства (1.4.1) и (1.4.2) образуют истинную систему:
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (1.4.2)
6. Таким образом, истинность равенства (1.1.1)
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$ (1.1.1)
влечёт истинность системы равенств (1.4.1) и (1.4.2)
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (1.4.2)
7. Перемножим соответственно левые и правые части равенств (1.4.1) и (1.4.2) и получим равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = s_1s_2$, (1.8.1)
являющееся эквивалентным системе
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$. (1.4.2)
8. Равенство (1.8.1) влечёт равенство (1.8.2)
$ s_1s_2 = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.8.2)
равно ему и эквивалентно по п.3, и их равенство определяет (1.1.1):
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$. (1.1.1)
9. Таким образом, система равенств (1.4.1) и (1.4.2) влечет равенство (1.1.1).
10. Тогда по п.6 и п.9 равенство (1.1.1) и система (1.4.1), (1.4.2) – эквивалентны.
11. Таким образом, в силу п.2 и п.10, согласно закону транзитивности эквивалентности, равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
и система равенств
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (1.4.2)
– все являются попарно эквивалентными.
Извините за доставленные неудобства.
С уважением

[shwedka]

naanov в сообщении #904131 писал(а):

3. В силу доказанной истинности равенства (1.1.1), истинность его левой части влечёт истинность его правой части и наоборот.

это уже неверно! слева и справачисла. они не могут быть истинными.

-- Пт сен 05, 2014 13:25:23 --

naanov в сообщении #904131 писал(а):

11. Таким образом, в силу п.2 и п.10, согласно закону транзитивности эквивалентности, равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
и система равенств
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (1.4.2)
– все являются попарно эквивалентными.

неверно.
Ваша формулировка.
При условии
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)

равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
и система равенств
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (1.4.2)
– все являются попарно эквивалентными.

хотя это мало осмысленно.

[naanov]

Глубокоуважаемая shwedka!
Как же Вы правы!!! На 105%!

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

.Вы здесь все пишете (об) обобсуждаемой эквивалентности при $j=n=3$. Если зафиксированы решения Уравнения Ферма-3, то, да, для них это числовые равенства, и понятие эквивалентности для них малосодержательно.

Извините - за мою неуклюжесть и слабое владение русским языком. Не дано... Ведь с первого Вашего поста и по настоящий пост я Вам ответно педантично постил:
что нет в моём доказательстве никаких переменных $x, y, z$, а есть только постоянные параметры $x, y, z$,
что не находил я никакого решения при $n=3$, а это есть лишь допущение, при том вызванное необходимостью исхитриться и изложить общее доказательство для неизвестного аргумента $j>1$ в форме некоторого утверждения для постоянного параметра $n=3$ (о чем Вы осведомлены более меня),
что последнее вызывает у меня сомнения, поскольку в общее доказательство с $j>1$ не естественным путём вписывается целый блок непонятных (к чему это?) и перегружающих общее доказательство утверждений о решении при $n=3$ - "минное поле".
Кстати, никогда не обсуждал эквивалентности при $j=n=3$, на что указываете Вы выше.
В целом, согласен, что

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

если зафиксированы решения Уравнения Ферма-3, то ... понятие эквивалентности для них малосодержательно.

Тем не менее, чуть ранее я направил для Вас подробное исследование эквивалентности ... равенств:

naanov в сообщении #904131 писал(а):

Позвольте выписать указанную схему в явном виде.

И так далее. Простите - лукавый попутал. Не смог устоять перед соблазном "изощриться в доказательстве эквивалентности равенств постоянных параметров".
А соблазн велик:

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

...прежде, чем писать, что что-то очевидно, убедитесь, что оно верно. Ваши два уравнения, 1,2, очевидно эквивалентны.

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

Вы еще не доказали,что числа x,y,z, решения уравнения Ферма-3, решают ЭТО уравнение. Так что подставлять 7 или что-то из 7 выведенное, для доказательства 7 нельзя.

shwedka в сообщении #903572 писал(а):

...ошибаетесь. 2.1 Вам не дано, а Вам нужно вывести 2.1 из 2.2, 2.3. Еще раз, левую часть 2.1 Вы преобразовали к 2.4, но доказательства того, что эта левая часть 2.1 равна правой части 2.1 у Вас нет.

shwedka в сообщении #903630 писал(а):

...эту эквивалентность Вы так и не доказали.

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Tak, все-таки это разные числа для 2 и для тртех. Тогда, во избежание злоупотреблений, обозначайте их различными буквами.

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Вот эту эквивалентность, системы одному уравнению, я уже, кажется, шестой раз прошу доказать. Вы же уклоняетесь. Не можете,так и скажите.

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

Интересует, еще раз повторяю, доказательство

...

shwedka в сообщении #903957 писал(а):

так что, доказывайте отмеченную цветом эквивалентность. без этого все остальное бессмысленно.

На собственном опыте знаю - невыполнение указаний-советов Заслуженных участников грозит санкциями.

shwedka в сообщении #904142 писал(а):

naanov в сообщении #904131 писал(а):

3. В силу доказанной истинности равенства (1.1.1), истинность его левой части влечёт истинность его правой части и наоборот.

... это уже неверно! слева и справа числа. они не могут быть истинными.

Ваша истина! Но равенство может быть как истинным, так и ложным. Например, школьники младших классов годами занимаются преобразованиями истинных числовых равенств в истинные (иногда в ложные, получая неуд.).

shwedka в сообщении #904142 писал(а):

naanov в сообщении #904131 писал(а):

11. Таким образом, в силу п.2 и п.10, согласно закону транзитивности эквивалентности, равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
и система равенств
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (1.4.2)
– все являются попарно эквивалентными.

неверно.
Ваша формулировка.
При условии
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (1.1.1)
и система равенств
$x + y - z = s_1$, (1.4.1)
$x^2 + y^2 - z^2 = s_2$, (1.4.2)
– все являются попарно эквивалентными.
хотя это мало осмысленно.

В указании на условие правда Ваша. Действительно, допущение этого условия сделано в п.1 рассуждения, а вывод в п.11 - могло и забыться. Осмысленность - категория субъективная. Эквивалентность - категория объектиная. Вы меня убедили в том, что в моём доказательстве это архиважно!
Далее.

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

Затем же Вы рассматриваете случай другого $j, j=2$.
Вы равенства $x^2 + y^2 = z^2$ еще не знаете, только хотите его доказать.

naanov в сообщении #903621 писал(а):
В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, полученной из системы равенств (2) и (3):
$x+y-z=s_1$, (4)
$x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1}=s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)

В результате находим решение уравнения (1), как решение системы уравнений, 4,5,
Как Вы это решение находите? Эквивалентность уравнения 1 и системы ( 4,5) для $j=2$. не доказана! Ваше 'доказательство' уже не действует.
Вот распишите. Пусть есть решение системы
$x+y-z=s_1$, (4)
$x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1}=s_{j-1}$; – (5)
$j=2$. (6)
Докажите, что тогда
$x^2 + y^2 = z^2$.
Вы это не имеете право предполагать, Вам это доказать надо!

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

Эквивалентность уравнения 1 и системы ( 4, 5) для $j=2$. не доказана! Ваше 'доказательство'уже не действует.

А это? Я же Вам уже постил:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Здесь полагается, что равносильными являются:
уравнения
$x^j+y^j=z^j$, (1)
$(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})(x+y-z)=(z^{j-1}-y^{j-1})(z-x)+(z^{j-1}-x^{j-1})(z-y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

и так далее...

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

Как Вы это решение находите?

Я это решение нахожу перебором всех возможных значений $j$. Повезло: перебор оборвался на первом шаге $j=2$.

shwedka в сообщении #904055 писал(а):

Докажите, что тогда
$x^2 + y^2 = z^2$.
Вы это не имеете право предполагать, Вам это доказать надо!

Почему не имею права? Почему надо?
А я ничего не предполагаю - я нашёл решение. Решение системы:
$x^j+y^j=z^j$, (1)
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
в которой (1) в силу избыточности явно не прописано.
Спасибо
С уважением

-- 05.09.2014, 17:29 --

Уважаемый lasta!
Полагаю, что настоящее обсуждение направлено на исследование возможностей поиска нового универсального доказательства УФ, но не опровергает обсуждаемого доказательства с ПЧС.
Согласен, что

lasta в сообщении #904048 писал(а):

если произвести некоторые преобразования c $x+y$ и с $s$,- связать радиус шаров с $s$ и сделать его иррациональным, то количество шаров снова будет натуральным числом, но с иррациональным объемом каждого шара.

Двигаясь в этом направлении, мы столкнёмся с необходимостью изобретения универсальной меры всех вещественных чисел - чуть-чуть решить задачу меры в задаче квадратуры круга. Есть идеи попробовать "разогнать" $i$ в целочисленной системе $(x, y, s)^i$ до бесконечности, туда, где всё возможно.
Это нормально. Я подумаю.
С уважением

[shwedka]

naanov в сообщении #904175 писал(а):

naanov в сообщении #903563
писал(а):
Здесь полагается, что равносильными являются:
уравнения
$x^j+y^j=z^j$, (1)
$(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})(x+y-z)=(z^{j-1}-y^{j-1})(z-x)+(z^{j-1}-x^{j-1})(z-y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

И здесь 'полагается'- неправильная лексика. Нужно писать доказано
Но у ВАс не доказано. Если доказательство где-тобыло,процитируйте.
Когда докажете, разговор продолжится.

Вы только что признали необходимость слов

naanov в сообщении #904175 писал(а):

В указании на условие правда Ваша.

это условие никуда не делось. Оно сделано в начале рассуждения.

Так что докажите, что при условии

naanov в сообщении #904175 писал(а):

$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)

Цитата:

равносильными являются:
уравнения
$x^j+y^j=z^j$, (1)
$(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})(x+y-z)=(z^{j-1}-y^{j-1})(z-x)+(z^{j-1}-x^{j-1})(z-y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

при $j\ne 3$