Корни из единицы

[stiv]

Уравнение: $x^n=1$
Проверить что корни n-ой степени образуют группу по умножению.
Верно ли, что каждый корень 35 степени из единицы является кубом некоторого корня 35 степени из единицы?
Вопрос: проверить, что образуется группа получилось, а вот второй пункт не понятно, в каком направлении решать?
Еще вопрос: $x^1^2=e$ найти число решение в группе $C360$
Здесь представим группу $С360$ как группу вычетов по модулю $360$
$C360=[e=0,1,2,....,359]$, операция - сложение по модулю $360$.
Тогда $x^1^2=12x\Rightarrowуравнение равносильно x=360n/12$ Перебирая различные значения $n={1,...,11}$ находим подходящие нам $x \in C360$.Можно ли так рассуждать?

[ИСН]

stiv в сообщении #889854 писал(а):

Верно ли, что каждый корень 35 степени из единицы является кубом некоторого

Сделаем тупо: возьмите их всех и возведите в кубы. Если все кубы получатся разными (т.е. среди них будут все числа), то вот и ответ. После этого Вы поймёте, как надо было делать по-быстрому.

stiv в сообщении #889854 писал(а):

Перебирая различные значения $n={1,...,11}$ находим подходящие нам $x \in C360$.Можно ли так рассуждать?

Можно. (Обозначения у Вас какие-то непривычные, ну да ладно.)

[stiv]

Цитата:

Сделаем тупо: возьмите их всех и возведите в кубы. Если все кубы получатся разными (т.е. среди них будут все числа), то вот и ответ. После этого Вы поймёте, как надо было делать по-быстрому.

То есть представить корни в виде $\exp(2\pi k i /35), k=[0,1,2,...34]$ и возведем в кубы? И что нам это даст, даже если все числа разными получатся?

[bot]

stiv в сообщении #889857 писал(а):

И что нам это даст, даже если все числа разными получатся?

А этих разных сколько будет?

[stiv]

$\exp(2 \pi k i/n )^3, k=[0,1,2,...,34] = \exp(6 \pi k i /n) k=[0,1,2,...,34]$
Теперь какие то из чисел перестали быть корнями единицы?
Мы ведь если возведем в 35 степень, получим $\exp(t \pi k i) k=[0,1,2,...,34]$, где t - какая-то константа, все числа равны единицы, нет?
или вы имеете в виду, что если мы имеем $37/35$, то это $2/35$, то есть умножать надо по модулю 35?

[ИСН]

stiv в сообщении #889893 писал(а):

Теперь какие то из чисел перестали быть корнями единицы?

Ответить на этот вопрос Вам поможет определение понятия группы, а также проверка того, образуют ли эти Ваши корни группу по умножению. Погодите, да ведь Вы уже знаете ответ.

[stiv]

А умножать надо по модулю 35? Тогда получается та же группа, а корни n-ой степени образуют группу.

[ИСН]

А на этот вопрос Вам поможет ответить подробное исследование того, откуда вообще взялось слово "умножать". Вот Вы умножаете показатели. Когда и почему?

[stiv]

Ну корни из единицы образуют группу по умножению, если мы представляем их через экспоненту, то это умножение - суммирование показателей, но для того, чтобы оно не выводило нас из группы, мы делаем это по модулю 35 для числителя(знаменатель всегда 35). Тогда при возведение в куб число различных корней останется так же 35 => каждый корень 35 степени является кубом некоторого корня 35 степени. Где-то я ошибаюсь?

[ИСН]

Всё так. Я бы хотел, чтобы Вы не перескакивали логических ступенек, по которым сюда спустились. Типа "...то есть перемножение корней - это сложение их показателей по модулю 35. Тогда, очевидно, возведение в степень - это умножение показателей, тоже по модулю 35. Значит..."
Ну и главное: почему они (кубы) все получатся разными? Вы все 35 проверили руками?

[stiv]

пишу числовой коэффициент показателя и результат после возведения в куб
$0 => 0$
$1 \Rightarrow 3$
...........
$11 \Rightarrow 33$
$12 \Rightarrow 36(mod35)=1$
$13\Rightarrow 39(mod35)=4$
................................
$23 \Rightarrow 69(mod35)=34$
$24 \Rightarrow 72(mod35)=2$
.................................
$34 \Rightarrow 102(mod35)=32$
Вроде бы получается что все корни есть?
Но тогда для корней, например, 36 степени получается
$12 \Rightarrow 36(mod36)=0$
То есть зацикливание => не каждый корень является кубом некоторого, так?
И по поводу уравнения $x^1^2=e$ получается, что оно имеет 12 решений в группе С360?

[ewert]

stiv в сообщении #889915 писал(а):

Но тогда для корней, например, 36 степени получается
12 => 36(mod36)=0
То есть зацикливание => не каждый корень является кубом некоторого, так?

3 и 35 -- взаимно просты, а 3 и 36 -- немного не совсем

[stiv]

Ну если так, то более менее понятно, только по поводу уравнения - есть небольшие сомнения.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

stiv
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.