2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 12:46 


02/08/12
142
mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):
...ГМТ касания двух окружностей, одна из которых проходит через $P$ и $R$, а другая -- через $Q$ и $S$...


Эти две окружности пересекают диагональ $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$. Надо рассматривать окружности, которые проходят через $Q$ и $R$ (первая), и $P$ и $S$ (вторая), т.е. слева и справа от диагонали $BD$. Ибо первые две окружности, которые рассматриваем проходят слева и справа от диагонали $AC$ искомого четырёхугольника $ABCD$.

mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):
...эта система уравнений определяет точки $K$, в которых касательные к обеим окружностям горизонтальны.


Можно ли более подробно об этом?

Иначе ту систему, которую Вы предлагаете тоже можем записать как условия, чтобы две детерминанты равнялись нулю:

$\left|
                      \begin{array}{cc}
                        \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial y}} \\
                        \frac{\partial F_{KRS}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KRS}}{\partial y}}  \\
                      \end{array}
                    \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$,

$\left|
                      \begin{array}{cc}
                        \frac{\partial F_{KQR}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KQR}}{\partial y}} \\
                        \frac{\partial F_{KSP}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KSP}}{\partial y}}  \\
                      \end{array}
                    \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$.

Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$ (после уточнения о том каковы должны быть вторые две окружности) выглядит так:

$\begin{array}{c}\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|=0,
 \end{array}$

$\begin{array}{c}\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|=0.
 \end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:05 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Можно ли более подробно об этом?

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|=0$

Означает, что горизотальная компонента нормали к окружности в точке $K$ равна нулю, т.е. нормаль к окружности вертикальна, т.е. касательная к окружности горизонтальна. То же самое для

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0$.

-- 19.07.2014, 06:08 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Иначе ту систему, которую Вы предлагаете тоже можем записать как условия, чтобы две детерминанты равнялись нулю:
Конечно, это условие касания в точке $K$.

-- 19.07.2014, 06:16 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Надо рассматривать окружности, которые проходят через $Q$ и $R$ (первая), и $P$ и $S$ (вторая),
Надо рассматривать и те, и другие.

-- 19.07.2014, 06:19 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$ (после уточнения о том каковы должны быть вторые две окружности) выглядит так:
Да, конечно, наверное наши картинки немного отличаются :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:21 


05/09/12
2587
Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$
И это получается ровно та же система, которую я получал в своем методе (что и неудивительно).

Скрипт Матлаба символьных преобразований и сравнения вариантов:

(Оффтоп)

Код:
function Main()
clear all; close all;

syms x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4

% через определители матриц

A = [2*x0, 1, 0, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X1^2+Y1^2, X1, Y1, 1;
    X2^2+Y2^2, X2, Y2, 1];
B = [2*y0, 0, 1, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X3^2+Y3^2, X3, Y3, 1;
    X4^2+Y4^2, X4, Y4, 1];
C = [2*x0, 1, 0, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X3^2+Y3^2, X3, Y3, 1;
    X4^2+Y4^2, X4, Y4, 1];
D = [2*y0, 0, 1, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X1^2+Y1^2, X1, Y1, 1;
    X2^2+Y2^2, X2, Y2, 1];

g = det(A)*det(B) - det(C)*det(D);

% напрямую через уравнения прямых

a(x) = x0 - x;
b(y) = y0 - y;
c(x, y) = (x0 - x)*x + (y0 - y)*y;

zp(x1, y1, x2, y2) = a(x1)*b(y2) - a(x2)*b(y1);
xp(x1, y1, x2, y2) = (b(y2)*c(x1, y1) - b(y1)*c(x2, y2));
yp(x1, y1, x2, y2) = (a(x1)*c(x2, y2) - a(x2)*c(x1, y1));

zp12 = zp(X1, Y1, X2, Y2);
zp34 = zp(X3, Y3, X4, Y4);
xp12 = xp(X1, Y1, X2, Y2);
xp34 = xp(X3, Y3, X4, Y4);
yp12 = yp(X1, Y1, X2, Y2);
yp34 = yp(X3, Y3, X4, Y4);

f = y0*(xp34*zp12 - xp12*zp34) - x0*(yp34*zp12 - yp12*zp34) - yp12*xp34 + xp12*yp34;

% сравнение результатов

factor(g)
factor(f)
simplify(f - g)

end


Результаты

(Оффтоп)

Код:
ans =

X1^2*X2*X3^2*Y4 - X1^2*X2*X3^2*y0 - 2*X1^2*X2*X3*Y4*x0 + 2*X1^2*X2*X3*x0*y0 - X1^2*X2*X4^2*Y3 + X1^2*X2*X4^2*y0 + 2*X1^2*X2*X4*Y3*x0 - 2*X1^2*X2*X4*x0*y0 + X1^2*X2*Y3^2*Y4 - X1^2*X2*Y3^2*y0 - X1^2*X2*Y3*Y4^2 - X1^2*X2*Y3*x0^2 + X1^2*X2*Y3*y0^2 + X1^2*X2*Y4^2*y0 + X1^2*X2*Y4*x0^2 - X1^2*X2*Y4*y0^2 - X1^2*X3^2*X4*Y2 + X1^2*X3^2*X4*y0 + X1^2*X3^2*Y2*x0 - X1^2*X3^2*Y4*x0 + X1^2*X3*X4^2*Y2 - X1^2*X3*X4^2*y0 + X1^2*X3*Y2*Y4^2 - 2*X1^2*X3*Y2*Y4*y0 - X1^2*X3*Y2*x0^2 + X1^2*X3*Y2*y0^2 - X1^2*X3*Y4^2*y0 + 2*X1^2*X3*Y4*x0^2 + 2*X1^2*X3*Y4*y0^2 - X1^2*X3*x0^2*y0 - X1^2*X3*y0^3 - X1^2*X4^2*Y2*x0 + X1^2*X4^2*Y3*x0 - X1^2*X4*Y2*Y3^2 + 2*X1^2*X4*Y2*Y3*y0 + X1^2*X4*Y2*x0^2 - X1^2*X4*Y2*y0^2 + X1^2*X4*Y3^2*y0 - 2*X1^2*X4*Y3*x0^2 - 2*X1^2*X4*Y3*y0^2 + X1^2*X4*x0^2*y0 + X1^2*X4*y0^3 + X1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1^2*Y2*Y3*x0*y0 - X1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1^2*Y2*Y4*x0*y0 - X1^2*Y3^2*Y4*x0 + X1^2*Y3*Y4^2*x0 + X1^2*Y3*x0^3 + X1^2*Y3*x0*y0^2 - X1^2*Y4*x0^3 - X1^2*Y4*x0*y0^2 - X1*X2^2*X3^2*Y4 + X1*X2^2*X3^2*y0 + 2*X1*X2^2*X3*Y4*x0 - 2*X1*X2^2*X3*x0*y0 + X1*X2^2*X4^2*Y3 - X1*X2^2*X4^2*y0 - 2*X1*X2^2*X4*Y3*x0 + 2*X1*X2^2*X4*x0*y0 - X1*X2^2*Y3^2*Y4 + X1*X2^2*Y3^2*y0 + X1*X2^2*Y3*Y4^2 + X1*X2^2*Y3*x0^2 - X1*X2^2*Y3*y0^2 - X1*X2^2*Y4^2*y0 - X1*X2^2*Y4*x0^2 + X1*X2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*X3^2*X4*Y2*x0 - 2*X1*X3^2*X4*x0*y0 - X1*X3^2*Y2^2*Y4 + X1*X3^2*Y2^2*y0 + 2*X1*X3^2*Y2*Y4*y0 - 2*X1*X3^2*Y2*x0^2 - 2*X1*X3^2*Y2*y0^2 + X1*X3^2*Y4*x0^2 - X1*X3^2*Y4*y0^2 + X1*X3^2*x0^2*y0 + X1*X3^2*y0^3 - 2*X1*X3*X4^2*Y2*x0 + 2*X1*X3*X4^2*x0*y0 + 2*X1*X3*Y2^2*Y4*x0 - 2*X1*X3*Y2^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1*X3*Y2*x0^3 + 2*X1*X3*Y2*x0*y0^2 + 2*X1*X3*Y4^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y4*x0^3 - 2*X1*X3*Y4*x0*y0^2 + X1*X4^2*Y2^2*Y3 - X1*X4^2*Y2^2*y0 - 2*X1*X4^2*Y2*Y3*y0 + 2*X1*X4^2*Y2*x0^2 + 2*X1*X4^2*Y2*y0^2 - X1*X4^2*Y3*x0^2 + X1*X4^2*Y3*y0^2 - X1*X4^2*x0^2*y0 - X1*X4^2*y0^3 - 2*X1*X4*Y2^2*Y3*x0 + 2*X1*X4*Y2^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1*X4*Y2*x0^3 - 2*X1*X4*Y2*x0*y0^2 - 2*X1*X4*Y3^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y3*x0^3 + 2*X1*X4*Y3*x0*y0^2 - X1*Y2^2*Y3^2*Y4 + X1*Y2^2*Y3^2*y0 + X1*Y2^2*Y3*Y4^2 + X1*Y2^2*Y3*x0^2 - X1*Y2^2*Y3*y0^2 - X1*Y2^2*Y4^2*y0 - X1*Y2^2*Y4*x0^2 + X1*Y2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*Y2*Y3^2*Y4*y0 - 2*X1*Y2*Y3^2*x0^2 - 2*X1*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y3*Y4^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*x0^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*y0^3 + 2*X1*Y2*Y4^2*x0^2 + 2*X1*Y2*Y4^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y4*x0^2*y0 - 2*X1*Y2*Y4*y0^3 + X1*Y3^2*Y4*x0^2 - X1*Y3^2*Y4*y0^2 + X1*Y3^2*x0^2*y0 + X1*Y3^2*y0^3 - X1*Y3*Y4^2*x0^2 + X1*Y3*Y4^2*y0^2 - X1*Y3*x0^4 - 2*X1*Y3*x0^2*y0^2 - X1*Y3*y0^4 - X1*Y4^2*x0^2*y0 - X1*Y4^2*y0^3 + X1*Y4*x0^4 + 2*X1*Y4*x0^2*y0^2 + X1*Y4*y0^4 + X2^2*X3^2*X4*Y1 - X2^2*X3^2*X4*y0 - X2^2*X3^2*Y1*x0 + X2^2*X3^2*Y4*x0 - X2^2*X3*X4^2*Y1 + X2^2*X3*X4^2*y0 - X2^2*X3*Y1*Y4^2 + 2*X2^2*X3*Y1*Y4*y0 + X2^2*X3*Y1*x0^2 - X2^2*X3*Y1*y0^2 + X2^2*X3*Y4^2*y0 - 2*X2^2*X3*Y4*x0^2 - 2*X2^2*X3*Y4*y0^2 + X2^2*X3*x0^2*y0 + X2^2*X3*y0^3 + X2^2*X4^2*Y1*x0 - X2^2*X4^2*Y3*x0 + X2^2*X4*Y1*Y3^2 - 2*X2^2*X4*Y1*Y3*y0 - X2^2*X4*Y1*x0^2 + X2^2*X4*Y1*y0^2 - X2^2*X4*Y3^2*y0 + 2*X2^2*X4*Y3*x0^2 + 2*X2^2*X4*Y3*y0^2 - X2^2*X4*x0^2*y0 - X2^2*X4*y0^3 - X2^2*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2^2*Y1*Y3*x0*y0 + X2^2*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2^2*Y1*Y4*x0*y0 + X2^2*Y3^2*Y4*x0 - X2^2*Y3*Y4^2*x0 - X2^2*Y3*x0^3 - X2^2*Y3*x0*y0^2 + X2^2*Y4*x0^3 + X2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*X2*X3^2*X4*Y1*x0 + 2*X2*X3^2*X4*x0*y0 + X2*X3^2*Y1^2*Y4 - X2*X3^2*Y1^2*y0 - 2*X2*X3^2*Y1*Y4*y0 + 2*X2*X3^2*Y1*x0^2 + 2*X2*X3^2*Y1*y0^2 - X2*X3^2*Y4*x0^2 + X2*X3^2*Y4*y0^2 - X2*X3^2*x0^2*y0 - X2*X3^2*y0^3 + 2*X2*X3*X4^2*Y1*x0 - 2*X2*X3*X4^2*x0*y0 - 2*X2*X3*Y1^2*Y4*x0 + 2*X2*X3*Y1^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2*X3*Y1*x0^3 - 2*X2*X3*Y1*x0*y0^2 - 2*X2*X3*Y4^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y4*x0^3 + 2*X2*X3*Y4*x0*y0^2 - X2*X4^2*Y1^2*Y3 + X2*X4^2*Y1^2*y0 + 2*X2*X4^2*Y1*Y3*y0 - 2*X2*X4^2*Y1*x0^2 - 2*X2*X4^2*Y1*y0^2 + X2*X4^2*Y3*x0^2 - X2*X4^2*Y3*y0^2 + X2*X4^2*x0^2*y0 + X2*X4^2*y0^3 + 2*X2*X4*Y1^2*Y3*x0 - 2*X2*X4*Y1^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2*X4*Y1*x0^3 + 2*X2*X4*Y1*x0*y0^2 + 2*X2*X4*Y3^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y3*x0^3 - 2*X2*X4*Y3*x0*y0^2 + X2*Y1^2*Y3^2*Y4 - X2*Y1^2*Y3^2*y0 - X2*Y1^2*Y3*Y4^2 - X2*Y1^2*Y3*x0^2 + X2*Y1^2*Y3*y0^2 + X2*Y1^2*Y4^2*y0 + X2*Y1^2*Y4*x0^2 - X2*Y1^2*Y4*y0^2 - 2*X2*Y1*Y3^2*Y4*y0 + 2*X2*Y1*Y3^2*x0^2 + 2*X2*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y3*Y4^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*x0^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*y0^3 - 2*X2*Y1*Y4^2*x0^2 - 2*X2*Y1*Y4^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y4*x0^2*y0 + 2*X2*Y1*Y4*y0^3 - X2*Y3^2*Y4*x0^2 + X2*Y3^2*Y4*y0^2 - X2*Y3^2*x0^2*y0 - X2*Y3^2*y0^3 + X2*Y3*Y4^2*x0^2 - X2*Y3*Y4^2*y0^2 + X2*Y3*x0^4 + 2*X2*Y3*x0^2*y0^2 + X2*Y3*y0^4 + X2*Y4^2*x0^2*y0 + X2*Y4^2*y0^3 - X2*Y4*x0^4 - 2*X2*Y4*x0^2*y0^2 - X2*Y4*y0^4 - X3^2*X4*Y1^2*Y2 + X3^2*X4*Y1^2*y0 + X3^2*X4*Y1*Y2^2 + X3^2*X4*Y1*x0^2 - X3^2*X4*Y1*y0^2 - X3^2*X4*Y2^2*y0 - X3^2*X4*Y2*x0^2 + X3^2*X4*Y2*y0^2 + X3^2*Y1^2*Y2*x0 - X3^2*Y1^2*Y4*x0 - X3^2*Y1*Y2^2*x0 + 2*X3^2*Y1*Y4*x0*y0 - X3^2*Y1*x0^3 - X3^2*Y1*x0*y0^2 + X3^2*Y2^2*Y4*x0 - 2*X3^2*Y2*Y4*x0*y0 + X3^2*Y2*x0^3 + X3^2*Y2*x0*y0^2 + X3*X4^2*Y1^2*Y2 - X3*X4^2*Y1^2*y0 - X3*X4^2*Y1*Y2^2 - X3*X4^2*Y1*x0^2 + X3*X4^2*Y1*y0^2 + X3*X4^2*Y2^2*y0 + X3*X4^2*Y2*x0^2 - X3*X4^2*Y2*y0^2 + X3*Y1^2*Y2*Y4^2 - 2*X3*Y1^2*Y2*Y4*y0 - X3*Y1^2*Y2*x0^2 + X3*Y1^2*Y2*y0^2 - X3*Y1^2*Y4^2*y0 + 2*X3*Y1^2*Y4*x0^2 + 2*X3*Y1^2*Y4*y0^2 - X3*Y1^2*x0^2*y0 - X3*Y1^2*y0^3 - X3*Y1*Y2^2*Y4^2 + 2*X3*Y1*Y2^2*Y4*y0 + X3*Y1*Y2^2*x0^2 - X3*Y1*Y2^2*y0^2 - X3*Y1*Y4^2*x0^2 + X3*Y1*Y4^2*y0^2 - 2*X3*Y1*Y4*x0^2*y0 - 2*X3*Y1*Y4*y0^3 + X3*Y1*x0^4 + 2*X3*Y1*x0^2*y0^2 + X3*Y1*y0^4 + X3*Y2^2*Y4^2*y0 - 2*X3*Y2^2*Y4*x0^2 - 2*X3*Y2^2*Y4*y0^2 + X3*Y2^2*x0^2*y0 + X3*Y2^2*y0^3 + X3*Y2*Y4^2*x0^2 - X3*Y2*Y4^2*y0^2 + 2*X3*Y2*Y4*x0^2*y0 + 2*X3*Y2*Y4*y0^3 - X3*Y2*x0^4 - 2*X3*Y2*x0^2*y0^2 - X3*Y2*y0^4 - X4^2*Y1^2*Y2*x0 + X4^2*Y1^2*Y3*x0 + X4^2*Y1*Y2^2*x0 - 2*X4^2*Y1*Y3*x0*y0 + X4^2*Y1*x0^3 + X4^2*Y1*x0*y0^2 - X4^2*Y2^2*Y3*x0 + 2*X4^2*Y2*Y3*x0*y0 - X4^2*Y2*x0^3 - X4^2*Y2*x0*y0^2 - X4*Y1^2*Y2*Y3^2 + 2*X4*Y1^2*Y2*Y3*y0 + X4*Y1^2*Y2*x0^2 - X4*Y1^2*Y2*y0^2 + X4*Y1^2*Y3^2*y0 - 2*X4*Y1^2*Y3*x0^2 - 2*X4*Y1^2*Y3*y0^2 + X4*Y1^2*x0^2*y0 + X4*Y1^2*y0^3 + X4*Y1*Y2^2*Y3^2 - 2*X4*Y1*Y2^2*Y3*y0 - X4*Y1*Y2^2*x0^2 + X4*Y1*Y2^2*y0^2 + X4*Y1*Y3^2*x0^2 - X4*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X4*Y1*Y3*x0^2*y0 + 2*X4*Y1*Y3*y0^3 - X4*Y1*x0^4 - 2*X4*Y1*x0^2*y0^2 - X4*Y1*y0^4 - X4*Y2^2*Y3^2*y0 + 2*X4*Y2^2*Y3*x0^2 + 2*X4*Y2^2*Y3*y0^2 - X4*Y2^2*x0^2*y0 - X4*Y2^2*y0^3 - X4*Y2*Y3^2*x0^2 + X4*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X4*Y2*Y3*x0^2*y0 - 2*X4*Y2*Y3*y0^3 + X4*Y2*x0^4 + 2*X4*Y2*x0^2*y0^2 + X4*Y2*y0^4 + Y1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*Y1^2*Y2*Y3*x0*y0 - Y1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*Y1^2*Y2*Y4*x0*y0 - Y1^2*Y3^2*Y4*x0 + Y1^2*Y3*Y4^2*x0 + Y1^2*Y3*x0^3 + Y1^2*Y3*x0*y0^2 - Y1^2*Y4*x0^3 - Y1^2*Y4*x0*y0^2 - Y1*Y2^2*Y3^2*x0 + 2*Y1*Y2^2*Y3*x0*y0 + Y1*Y2^2*Y4^2*x0 - 2*Y1*Y2^2*Y4*x0*y0 + 2*Y1*Y3^2*Y4*x0*y0 - Y1*Y3^2*x0^3 - Y1*Y3^2*x0*y0^2 - 2*Y1*Y3*Y4^2*x0*y0 + Y1*Y4^2*x0^3 + Y1*Y4^2*x0*y0^2 + Y2^2*Y3^2*Y4*x0 - Y2^2*Y3*Y4^2*x0 - Y2^2*Y3*x0^3 - Y2^2*Y3*x0*y0^2 + Y2^2*Y4*x0^3 + Y2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*Y2*Y3^2*Y4*x0*y0 + Y2*Y3^2*x0^3 + Y2*Y3^2*x0*y0^2 + 2*Y2*Y3*Y4^2*x0*y0 - Y2*Y4^2*x0^3 - Y2*Y4^2*x0*y0^2


ans =

X1^2*X2*X3^2*Y4 - X1^2*X2*X3^2*y0 - 2*X1^2*X2*X3*Y4*x0 + 2*X1^2*X2*X3*x0*y0 - X1^2*X2*X4^2*Y3 + X1^2*X2*X4^2*y0 + 2*X1^2*X2*X4*Y3*x0 - 2*X1^2*X2*X4*x0*y0 + X1^2*X2*Y3^2*Y4 - X1^2*X2*Y3^2*y0 - X1^2*X2*Y3*Y4^2 - X1^2*X2*Y3*x0^2 + X1^2*X2*Y3*y0^2 + X1^2*X2*Y4^2*y0 + X1^2*X2*Y4*x0^2 - X1^2*X2*Y4*y0^2 - X1^2*X3^2*X4*Y2 + X1^2*X3^2*X4*y0 + X1^2*X3^2*Y2*x0 - X1^2*X3^2*Y4*x0 + X1^2*X3*X4^2*Y2 - X1^2*X3*X4^2*y0 + X1^2*X3*Y2*Y4^2 - 2*X1^2*X3*Y2*Y4*y0 - X1^2*X3*Y2*x0^2 + X1^2*X3*Y2*y0^2 - X1^2*X3*Y4^2*y0 + 2*X1^2*X3*Y4*x0^2 + 2*X1^2*X3*Y4*y0^2 - X1^2*X3*x0^2*y0 - X1^2*X3*y0^3 - X1^2*X4^2*Y2*x0 + X1^2*X4^2*Y3*x0 - X1^2*X4*Y2*Y3^2 + 2*X1^2*X4*Y2*Y3*y0 + X1^2*X4*Y2*x0^2 - X1^2*X4*Y2*y0^2 + X1^2*X4*Y3^2*y0 - 2*X1^2*X4*Y3*x0^2 - 2*X1^2*X4*Y3*y0^2 + X1^2*X4*x0^2*y0 + X1^2*X4*y0^3 + X1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1^2*Y2*Y3*x0*y0 - X1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1^2*Y2*Y4*x0*y0 - X1^2*Y3^2*Y4*x0 + X1^2*Y3*Y4^2*x0 + X1^2*Y3*x0^3 + X1^2*Y3*x0*y0^2 - X1^2*Y4*x0^3 - X1^2*Y4*x0*y0^2 - X1*X2^2*X3^2*Y4 + X1*X2^2*X3^2*y0 + 2*X1*X2^2*X3*Y4*x0 - 2*X1*X2^2*X3*x0*y0 + X1*X2^2*X4^2*Y3 - X1*X2^2*X4^2*y0 - 2*X1*X2^2*X4*Y3*x0 + 2*X1*X2^2*X4*x0*y0 - X1*X2^2*Y3^2*Y4 + X1*X2^2*Y3^2*y0 + X1*X2^2*Y3*Y4^2 + X1*X2^2*Y3*x0^2 - X1*X2^2*Y3*y0^2 - X1*X2^2*Y4^2*y0 - X1*X2^2*Y4*x0^2 + X1*X2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*X3^2*X4*Y2*x0 - 2*X1*X3^2*X4*x0*y0 - X1*X3^2*Y2^2*Y4 + X1*X3^2*Y2^2*y0 + 2*X1*X3^2*Y2*Y4*y0 - 2*X1*X3^2*Y2*x0^2 - 2*X1*X3^2*Y2*y0^2 + X1*X3^2*Y4*x0^2 - X1*X3^2*Y4*y0^2 + X1*X3^2*x0^2*y0 + X1*X3^2*y0^3 - 2*X1*X3*X4^2*Y2*x0 + 2*X1*X3*X4^2*x0*y0 + 2*X1*X3*Y2^2*Y4*x0 - 2*X1*X3*Y2^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1*X3*Y2*x0^3 + 2*X1*X3*Y2*x0*y0^2 + 2*X1*X3*Y4^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y4*x0^3 - 2*X1*X3*Y4*x0*y0^2 + X1*X4^2*Y2^2*Y3 - X1*X4^2*Y2^2*y0 - 2*X1*X4^2*Y2*Y3*y0 + 2*X1*X4^2*Y2*x0^2 + 2*X1*X4^2*Y2*y0^2 - X1*X4^2*Y3*x0^2 + X1*X4^2*Y3*y0^2 - X1*X4^2*x0^2*y0 - X1*X4^2*y0^3 - 2*X1*X4*Y2^2*Y3*x0 + 2*X1*X4*Y2^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1*X4*Y2*x0^3 - 2*X1*X4*Y2*x0*y0^2 - 2*X1*X4*Y3^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y3*x0^3 + 2*X1*X4*Y3*x0*y0^2 - X1*Y2^2*Y3^2*Y4 + X1*Y2^2*Y3^2*y0 + X1*Y2^2*Y3*Y4^2 + X1*Y2^2*Y3*x0^2 - X1*Y2^2*Y3*y0^2 - X1*Y2^2*Y4^2*y0 - X1*Y2^2*Y4*x0^2 + X1*Y2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*Y2*Y3^2*Y4*y0 - 2*X1*Y2*Y3^2*x0^2 - 2*X1*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y3*Y4^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*x0^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*y0^3 + 2*X1*Y2*Y4^2*x0^2 + 2*X1*Y2*Y4^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y4*x0^2*y0 - 2*X1*Y2*Y4*y0^3 + X1*Y3^2*Y4*x0^2 - X1*Y3^2*Y4*y0^2 + X1*Y3^2*x0^2*y0 + X1*Y3^2*y0^3 - X1*Y3*Y4^2*x0^2 + X1*Y3*Y4^2*y0^2 - X1*Y3*x0^4 - 2*X1*Y3*x0^2*y0^2 - X1*Y3*y0^4 - X1*Y4^2*x0^2*y0 - X1*Y4^2*y0^3 + X1*Y4*x0^4 + 2*X1*Y4*x0^2*y0^2 + X1*Y4*y0^4 + X2^2*X3^2*X4*Y1 - X2^2*X3^2*X4*y0 - X2^2*X3^2*Y1*x0 + X2^2*X3^2*Y4*x0 - X2^2*X3*X4^2*Y1 + X2^2*X3*X4^2*y0 - X2^2*X3*Y1*Y4^2 + 2*X2^2*X3*Y1*Y4*y0 + X2^2*X3*Y1*x0^2 - X2^2*X3*Y1*y0^2 + X2^2*X3*Y4^2*y0 - 2*X2^2*X3*Y4*x0^2 - 2*X2^2*X3*Y4*y0^2 + X2^2*X3*x0^2*y0 + X2^2*X3*y0^3 + X2^2*X4^2*Y1*x0 - X2^2*X4^2*Y3*x0 + X2^2*X4*Y1*Y3^2 - 2*X2^2*X4*Y1*Y3*y0 - X2^2*X4*Y1*x0^2 + X2^2*X4*Y1*y0^2 - X2^2*X4*Y3^2*y0 + 2*X2^2*X4*Y3*x0^2 + 2*X2^2*X4*Y3*y0^2 - X2^2*X4*x0^2*y0 - X2^2*X4*y0^3 - X2^2*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2^2*Y1*Y3*x0*y0 + X2^2*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2^2*Y1*Y4*x0*y0 + X2^2*Y3^2*Y4*x0 - X2^2*Y3*Y4^2*x0 - X2^2*Y3*x0^3 - X2^2*Y3*x0*y0^2 + X2^2*Y4*x0^3 + X2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*X2*X3^2*X4*Y1*x0 + 2*X2*X3^2*X4*x0*y0 + X2*X3^2*Y1^2*Y4 - X2*X3^2*Y1^2*y0 - 2*X2*X3^2*Y1*Y4*y0 + 2*X2*X3^2*Y1*x0^2 + 2*X2*X3^2*Y1*y0^2 - X2*X3^2*Y4*x0^2 + X2*X3^2*Y4*y0^2 - X2*X3^2*x0^2*y0 - X2*X3^2*y0^3 + 2*X2*X3*X4^2*Y1*x0 - 2*X2*X3*X4^2*x0*y0 - 2*X2*X3*Y1^2*Y4*x0 + 2*X2*X3*Y1^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2*X3*Y1*x0^3 - 2*X2*X3*Y1*x0*y0^2 - 2*X2*X3*Y4^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y4*x0^3 + 2*X2*X3*Y4*x0*y0^2 - X2*X4^2*Y1^2*Y3 + X2*X4^2*Y1^2*y0 + 2*X2*X4^2*Y1*Y3*y0 - 2*X2*X4^2*Y1*x0^2 - 2*X2*X4^2*Y1*y0^2 + X2*X4^2*Y3*x0^2 - X2*X4^2*Y3*y0^2 + X2*X4^2*x0^2*y0 + X2*X4^2*y0^3 + 2*X2*X4*Y1^2*Y3*x0 - 2*X2*X4*Y1^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2*X4*Y1*x0^3 + 2*X2*X4*Y1*x0*y0^2 + 2*X2*X4*Y3^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y3*x0^3 - 2*X2*X4*Y3*x0*y0^2 + X2*Y1^2*Y3^2*Y4 - X2*Y1^2*Y3^2*y0 - X2*Y1^2*Y3*Y4^2 - X2*Y1^2*Y3*x0^2 + X2*Y1^2*Y3*y0^2 + X2*Y1^2*Y4^2*y0 + X2*Y1^2*Y4*x0^2 - X2*Y1^2*Y4*y0^2 - 2*X2*Y1*Y3^2*Y4*y0 + 2*X2*Y1*Y3^2*x0^2 + 2*X2*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y3*Y4^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*x0^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*y0^3 - 2*X2*Y1*Y4^2*x0^2 - 2*X2*Y1*Y4^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y4*x0^2*y0 + 2*X2*Y1*Y4*y0^3 - X2*Y3^2*Y4*x0^2 + X2*Y3^2*Y4*y0^2 - X2*Y3^2*x0^2*y0 - X2*Y3^2*y0^3 + X2*Y3*Y4^2*x0^2 - X2*Y3*Y4^2*y0^2 + X2*Y3*x0^4 + 2*X2*Y3*x0^2*y0^2 + X2*Y3*y0^4 + X2*Y4^2*x0^2*y0 + X2*Y4^2*y0^3 - X2*Y4*x0^4 - 2*X2*Y4*x0^2*y0^2 - X2*Y4*y0^4 - X3^2*X4*Y1^2*Y2 + X3^2*X4*Y1^2*y0 + X3^2*X4*Y1*Y2^2 + X3^2*X4*Y1*x0^2 - X3^2*X4*Y1*y0^2 - X3^2*X4*Y2^2*y0 - X3^2*X4*Y2*x0^2 + X3^2*X4*Y2*y0^2 + X3^2*Y1^2*Y2*x0 - X3^2*Y1^2*Y4*x0 - X3^2*Y1*Y2^2*x0 + 2*X3^2*Y1*Y4*x0*y0 - X3^2*Y1*x0^3 - X3^2*Y1*x0*y0^2 + X3^2*Y2^2*Y4*x0 - 2*X3^2*Y2*Y4*x0*y0 + X3^2*Y2*x0^3 + X3^2*Y2*x0*y0^2 + X3*X4^2*Y1^2*Y2 - X3*X4^2*Y1^2*y0 - X3*X4^2*Y1*Y2^2 - X3*X4^2*Y1*x0^2 + X3*X4^2*Y1*y0^2 + X3*X4^2*Y2^2*y0 + X3*X4^2*Y2*x0^2 - X3*X4^2*Y2*y0^2 + X3*Y1^2*Y2*Y4^2 - 2*X3*Y1^2*Y2*Y4*y0 - X3*Y1^2*Y2*x0^2 + X3*Y1^2*Y2*y0^2 - X3*Y1^2*Y4^2*y0 + 2*X3*Y1^2*Y4*x0^2 + 2*X3*Y1^2*Y4*y0^2 - X3*Y1^2*x0^2*y0 - X3*Y1^2*y0^3 - X3*Y1*Y2^2*Y4^2 + 2*X3*Y1*Y2^2*Y4*y0 + X3*Y1*Y2^2*x0^2 - X3*Y1*Y2^2*y0^2 - X3*Y1*Y4^2*x0^2 + X3*Y1*Y4^2*y0^2 - 2*X3*Y1*Y4*x0^2*y0 - 2*X3*Y1*Y4*y0^3 + X3*Y1*x0^4 + 2*X3*Y1*x0^2*y0^2 + X3*Y1*y0^4 + X3*Y2^2*Y4^2*y0 - 2*X3*Y2^2*Y4*x0^2 - 2*X3*Y2^2*Y4*y0^2 + X3*Y2^2*x0^2*y0 + X3*Y2^2*y0^3 + X3*Y2*Y4^2*x0^2 - X3*Y2*Y4^2*y0^2 + 2*X3*Y2*Y4*x0^2*y0 + 2*X3*Y2*Y4*y0^3 - X3*Y2*x0^4 - 2*X3*Y2*x0^2*y0^2 - X3*Y2*y0^4 - X4^2*Y1^2*Y2*x0 + X4^2*Y1^2*Y3*x0 + X4^2*Y1*Y2^2*x0 - 2*X4^2*Y1*Y3*x0*y0 + X4^2*Y1*x0^3 + X4^2*Y1*x0*y0^2 - X4^2*Y2^2*Y3*x0 + 2*X4^2*Y2*Y3*x0*y0 - X4^2*Y2*x0^3 - X4^2*Y2*x0*y0^2 - X4*Y1^2*Y2*Y3^2 + 2*X4*Y1^2*Y2*Y3*y0 + X4*Y1^2*Y2*x0^2 - X4*Y1^2*Y2*y0^2 + X4*Y1^2*Y3^2*y0 - 2*X4*Y1^2*Y3*x0^2 - 2*X4*Y1^2*Y3*y0^2 + X4*Y1^2*x0^2*y0 + X4*Y1^2*y0^3 + X4*Y1*Y2^2*Y3^2 - 2*X4*Y1*Y2^2*Y3*y0 - X4*Y1*Y2^2*x0^2 + X4*Y1*Y2^2*y0^2 + X4*Y1*Y3^2*x0^2 - X4*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X4*Y1*Y3*x0^2*y0 + 2*X4*Y1*Y3*y0^3 - X4*Y1*x0^4 - 2*X4*Y1*x0^2*y0^2 - X4*Y1*y0^4 - X4*Y2^2*Y3^2*y0 + 2*X4*Y2^2*Y3*x0^2 + 2*X4*Y2^2*Y3*y0^2 - X4*Y2^2*x0^2*y0 - X4*Y2^2*y0^3 - X4*Y2*Y3^2*x0^2 + X4*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X4*Y2*Y3*x0^2*y0 - 2*X4*Y2*Y3*y0^3 + X4*Y2*x0^4 + 2*X4*Y2*x0^2*y0^2 + X4*Y2*y0^4 + Y1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*Y1^2*Y2*Y3*x0*y0 - Y1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*Y1^2*Y2*Y4*x0*y0 - Y1^2*Y3^2*Y4*x0 + Y1^2*Y3*Y4^2*x0 + Y1^2*Y3*x0^3 + Y1^2*Y3*x0*y0^2 - Y1^2*Y4*x0^3 - Y1^2*Y4*x0*y0^2 - Y1*Y2^2*Y3^2*x0 + 2*Y1*Y2^2*Y3*x0*y0 + Y1*Y2^2*Y4^2*x0 - 2*Y1*Y2^2*Y4*x0*y0 + 2*Y1*Y3^2*Y4*x0*y0 - Y1*Y3^2*x0^3 - Y1*Y3^2*x0*y0^2 - 2*Y1*Y3*Y4^2*x0*y0 + Y1*Y4^2*x0^3 + Y1*Y4^2*x0*y0^2 + Y2^2*Y3^2*Y4*x0 - Y2^2*Y3*Y4^2*x0 - Y2^2*Y3*x0^3 - Y2^2*Y3*x0*y0^2 + Y2^2*Y4*x0^3 + Y2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*Y2*Y3^2*Y4*x0*y0 + Y2*Y3^2*x0^3 + Y2*Y3^2*x0*y0^2 + 2*Y2*Y3*Y4^2*x0*y0 - Y2*Y4^2*x0^3 - Y2*Y4^2*x0*y0^2


ans =

0

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:25 


02/08/12
142
Хорошо Mishafromusa и _Ivana, значит есть у нас более или менее система от двух уравнений с двумя неизвестными $x_{K}$ и $y_{K}$ (координаты точки пересекания диагоналей $AC$ и $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$). В этой системе однако встречаются 4 степени неизвестных, т.е. вид конечных выражений для решения неясен и будет по любому громоздкий. В таком случае лучшая ли Ваша система о $x_{K}$ и $y_{K}$ по сравнении с системой квадратичных форм о всех 10 неизвестных сразу, которую я предложил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:31 


12/02/14
808
Смотря для чего, мне подход с ГМТ кажется более наглядным. Вам может быть понятнее с квадратичными формами -- никто не спорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:34 


05/09/12
2587
Vitalius, если решает матпакет численно - то все равно. Skeptic тоже красивый метод предложил, хоть сначала и утверждал что задача не решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:37 


02/08/12
142
Та предложенная мною система квадратичных форм, тоже следует непосредственно из геометрических соображений - условия о ортогональности и колинеарности векторов, которые должны выполняться согласно условия задачи ТС.

_Ivana, конечно, для численных расчётов всё равно. Но мне хочется увидеть конечный точный результат. Кажется система квадратичных форм лучше подходить для этой цели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:42 


12/02/14
808
Просто решить на компьютере -- это одно, а понять геометрию задачи -- немного другое, что кому нравится... Вообщем, похоже, что мы разобрались общими усилиями :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:51 


05/09/12
2587
mishafromusa в сообщении #888718 писал(а):
что кому нравится
Имхо тут все дороги ведут в Рим одно решение, и геометрическая интерпретация пересечения ГМТ касания пар окружностей тоже очевидна из условия.
mishafromusa в сообщении #888718 писал(а):
похоже, что мы разобрались общими усилиями
Не знаю как другие, а мне еще непонятны вопросы существования и единственности решения, о чем ТС (пропавший) также завещал. Хотя насчет некоторых вариантов несуществования у меня есть мысли.

ЗЫ пробовал строить кривые вышеупомянутых ГМТ - получается пока не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:52 


12/02/14
808
_Ivana в сообщении #888713 писал(а):
Skeptic тоже красивый метод предложил, хоть сначала и утверждал что задача не решается.
То, что она решается, было понятно из общих соображений. и я на это сразу указал в первой же своей заметке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:57 


02/08/12
142
_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
...ЗЫ пробовал строить кривые вышеупомянутых ГМТ - получается пока не очень.


Легче было бы если найдётся параметрический способ задания точки $K(x_{K},y_{K})$ - $(x_{K}(\lambda),y_{K}(\lambda))$. У нас пока только неявное уравнение для этих крив.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 14:10 


12/02/14
808
Vitalius в сообщении #888725 писал(а):
Легче было бы если найдётся параметрический способ задания точки $K$
Непохоже, что простой способ есть, т.к. кривая задаётся уравнением 4-й степени. Вот если многочлен, определяющий уравнение этой кривой, раскладывается на множители (скажем, 2 квадратных), то тогда будет легче, но это маловероятно. Ясно, например, что наши ГМТ неограночены, т.к. касаюшиеся окружности могут быть сколь угодно большими.

-- 19.07.2014, 07:36 --

_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
Имхо тут все дороги ведут в Рим одно решение
Даже когда решение одно, на него можно посмотреть с разных сторон.

-- 19.07.2014, 07:47 --

_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
Не знаю как другие, а мне еще непонятны вопросы существования и единственности решения
Это объяснено в моей самой первой заметке по теме. Кроме того, когда четырёхугольник близок к прямоугольнику, ГМТ касания окружностей близки к паре перпендикулярных прямых, пресекающихся в его центре, и это даёт ещё одно объяснение существования и единственности в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:01 


02/08/12
142
Пусть запишем результат о ГМТ касания двух семейств окружностей, лежащие в плоскостью, представители первого из которых проходят через точки $T(x_{T},y_{T})$ и $U(x_{U},y_{U})$, а представители второго через точки $V(x_{V},y_{V})$ и $W(x_{W},y_{W})$. Эти 4 точки заданы со своими Декартовыми координатами. Так определённое ГМТ представляет алгебраическая кривая 4 порядка, которая в Декартовых координатах задаётся со следующим уравнением:

$G_{TUVW}(x,y)=0$.

Функция $G_{TUVW}(x,y)$ определяется так:

$\begin{array}{c}

G_{TUVW}(x,y)\equiv\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x & 1 & 0 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{T}^{2}+y_{T}^{2} & x_{T} & y_{T} & 1 \\
                        x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y & 0 & 1 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\
                        x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y & 0 & 1 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{T}^{2}+y_{T}^{2} & x_{T} & y_{T} & 1 \\
                        x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x & 1 & 0 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\
                        x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|.
 \end{array}$

В терминах этой функции вопрос о нахождения тучку пересечения $K(x_{K},y_{K})$ диагоналей $AC$ и $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$ из задачи ТС, сводится к решением относительно координаты $x_{K}$ и $y_{K}$ следующей системе уравнений:

$G_{PQRS}(x_{K},y_{K})=0$,

$G_{QRSP}(x_{K},y_{K})=0$.

Здесь $P(x_{P},y_{P})\in AB$, $Q(x_{Q},y_{Q})\in BC$, $R(x_{R},y_{R})\in CD$ и $S(x_{S},y_{S})\in AD$ это точки пересечения перпендикуляров спущенных от точку $K(x_{K},y_{K})$ к сторонам искомого четёрёхугольника $ABCD$. Согласно условия ТС координаты этих 4 точек заданы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:39 


12/02/14
808
mishafromusa в сообщении #888728 писал(а):
Ясно, например, что наши ГМТ неограничены, т.к. касаюшиеся окружности могут быть сколь угодно большими.
Это рассуждение неверно. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:47 


02/08/12
142
Интересно можем ли представить функцию $G_{TUVW}(x,y)$ как определитель достаточно простой матрицы восьмого ранга?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group