2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 12:46 
mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):
...ГМТ касания двух окружностей, одна из которых проходит через $P$ и $R$, а другая -- через $Q$ и $S$...


Эти две окружности пересекают диагональ $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$. Надо рассматривать окружности, которые проходят через $Q$ и $R$ (первая), и $P$ и $S$ (вторая), т.е. слева и справа от диагонали $BD$. Ибо первые две окружности, которые рассматриваем проходят слева и справа от диагонали $AC$ искомого четырёхугольника $ABCD$.

mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):
...эта система уравнений определяет точки $K$, в которых касательные к обеим окружностям горизонтальны.


Можно ли более подробно об этом?

Иначе ту систему, которую Вы предлагаете тоже можем записать как условия, чтобы две детерминанты равнялись нулю:

$\left|
                      \begin{array}{cc}
                        \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial y}} \\
                        \frac{\partial F_{KRS}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KRS}}{\partial y}}  \\
                      \end{array}
                    \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$,

$\left|
                      \begin{array}{cc}
                        \frac{\partial F_{KQR}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KQR}}{\partial y}} \\
                        \frac{\partial F_{KSP}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KSP}}{\partial y}}  \\
                      \end{array}
                    \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$.

Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$ (после уточнения о том каковы должны быть вторые две окружности) выглядит так:

$\begin{array}{c}\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|=0,
 \end{array}$

$\begin{array}{c}\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\
                        x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\
                        x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\
                        x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\
                        x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|=0.
 \end{array}$

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:05 
Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Можно ли более подробно об этом?

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|=0$

Означает, что горизотальная компонента нормали к окружности в точке $K$ равна нулю, т.е. нормаль к окружности вертикальна, т.е. касательная к окружности горизонтальна. То же самое для

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0$.

-- 19.07.2014, 06:08 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Иначе ту систему, которую Вы предлагаете тоже можем записать как условия, чтобы две детерминанты равнялись нулю:
Конечно, это условие касания в точке $K$.

-- 19.07.2014, 06:16 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Надо рассматривать окружности, которые проходят через $Q$ и $R$ (первая), и $P$ и $S$ (вторая),
Надо рассматривать и те, и другие.

-- 19.07.2014, 06:19 --

Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$ (после уточнения о том каковы должны быть вторые две окружности) выглядит так:
Да, конечно, наверное наши картинки немного отличаются :-)

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:21 
Vitalius в сообщении #888703 писал(а):
Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$
И это получается ровно та же система, которую я получал в своем методе (что и неудивительно).

Скрипт Матлаба символьных преобразований и сравнения вариантов:

(Оффтоп)

Код:
function Main()
clear all; close all;

syms x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4

% через определители матриц

A = [2*x0, 1, 0, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X1^2+Y1^2, X1, Y1, 1;
    X2^2+Y2^2, X2, Y2, 1];
B = [2*y0, 0, 1, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X3^2+Y3^2, X3, Y3, 1;
    X4^2+Y4^2, X4, Y4, 1];
C = [2*x0, 1, 0, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X3^2+Y3^2, X3, Y3, 1;
    X4^2+Y4^2, X4, Y4, 1];
D = [2*y0, 0, 1, 0;
    x0^2+y0^2, x0, y0, 1;
    X1^2+Y1^2, X1, Y1, 1;
    X2^2+Y2^2, X2, Y2, 1];

g = det(A)*det(B) - det(C)*det(D);

% напрямую через уравнения прямых

a(x) = x0 - x;
b(y) = y0 - y;
c(x, y) = (x0 - x)*x + (y0 - y)*y;

zp(x1, y1, x2, y2) = a(x1)*b(y2) - a(x2)*b(y1);
xp(x1, y1, x2, y2) = (b(y2)*c(x1, y1) - b(y1)*c(x2, y2));
yp(x1, y1, x2, y2) = (a(x1)*c(x2, y2) - a(x2)*c(x1, y1));

zp12 = zp(X1, Y1, X2, Y2);
zp34 = zp(X3, Y3, X4, Y4);
xp12 = xp(X1, Y1, X2, Y2);
xp34 = xp(X3, Y3, X4, Y4);
yp12 = yp(X1, Y1, X2, Y2);
yp34 = yp(X3, Y3, X4, Y4);

f = y0*(xp34*zp12 - xp12*zp34) - x0*(yp34*zp12 - yp12*zp34) - yp12*xp34 + xp12*yp34;

% сравнение результатов

factor(g)
factor(f)
simplify(f - g)

end


Результаты

(Оффтоп)

Код:
ans =

X1^2*X2*X3^2*Y4 - X1^2*X2*X3^2*y0 - 2*X1^2*X2*X3*Y4*x0 + 2*X1^2*X2*X3*x0*y0 - X1^2*X2*X4^2*Y3 + X1^2*X2*X4^2*y0 + 2*X1^2*X2*X4*Y3*x0 - 2*X1^2*X2*X4*x0*y0 + X1^2*X2*Y3^2*Y4 - X1^2*X2*Y3^2*y0 - X1^2*X2*Y3*Y4^2 - X1^2*X2*Y3*x0^2 + X1^2*X2*Y3*y0^2 + X1^2*X2*Y4^2*y0 + X1^2*X2*Y4*x0^2 - X1^2*X2*Y4*y0^2 - X1^2*X3^2*X4*Y2 + X1^2*X3^2*X4*y0 + X1^2*X3^2*Y2*x0 - X1^2*X3^2*Y4*x0 + X1^2*X3*X4^2*Y2 - X1^2*X3*X4^2*y0 + X1^2*X3*Y2*Y4^2 - 2*X1^2*X3*Y2*Y4*y0 - X1^2*X3*Y2*x0^2 + X1^2*X3*Y2*y0^2 - X1^2*X3*Y4^2*y0 + 2*X1^2*X3*Y4*x0^2 + 2*X1^2*X3*Y4*y0^2 - X1^2*X3*x0^2*y0 - X1^2*X3*y0^3 - X1^2*X4^2*Y2*x0 + X1^2*X4^2*Y3*x0 - X1^2*X4*Y2*Y3^2 + 2*X1^2*X4*Y2*Y3*y0 + X1^2*X4*Y2*x0^2 - X1^2*X4*Y2*y0^2 + X1^2*X4*Y3^2*y0 - 2*X1^2*X4*Y3*x0^2 - 2*X1^2*X4*Y3*y0^2 + X1^2*X4*x0^2*y0 + X1^2*X4*y0^3 + X1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1^2*Y2*Y3*x0*y0 - X1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1^2*Y2*Y4*x0*y0 - X1^2*Y3^2*Y4*x0 + X1^2*Y3*Y4^2*x0 + X1^2*Y3*x0^3 + X1^2*Y3*x0*y0^2 - X1^2*Y4*x0^3 - X1^2*Y4*x0*y0^2 - X1*X2^2*X3^2*Y4 + X1*X2^2*X3^2*y0 + 2*X1*X2^2*X3*Y4*x0 - 2*X1*X2^2*X3*x0*y0 + X1*X2^2*X4^2*Y3 - X1*X2^2*X4^2*y0 - 2*X1*X2^2*X4*Y3*x0 + 2*X1*X2^2*X4*x0*y0 - X1*X2^2*Y3^2*Y4 + X1*X2^2*Y3^2*y0 + X1*X2^2*Y3*Y4^2 + X1*X2^2*Y3*x0^2 - X1*X2^2*Y3*y0^2 - X1*X2^2*Y4^2*y0 - X1*X2^2*Y4*x0^2 + X1*X2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*X3^2*X4*Y2*x0 - 2*X1*X3^2*X4*x0*y0 - X1*X3^2*Y2^2*Y4 + X1*X3^2*Y2^2*y0 + 2*X1*X3^2*Y2*Y4*y0 - 2*X1*X3^2*Y2*x0^2 - 2*X1*X3^2*Y2*y0^2 + X1*X3^2*Y4*x0^2 - X1*X3^2*Y4*y0^2 + X1*X3^2*x0^2*y0 + X1*X3^2*y0^3 - 2*X1*X3*X4^2*Y2*x0 + 2*X1*X3*X4^2*x0*y0 + 2*X1*X3*Y2^2*Y4*x0 - 2*X1*X3*Y2^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1*X3*Y2*x0^3 + 2*X1*X3*Y2*x0*y0^2 + 2*X1*X3*Y4^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y4*x0^3 - 2*X1*X3*Y4*x0*y0^2 + X1*X4^2*Y2^2*Y3 - X1*X4^2*Y2^2*y0 - 2*X1*X4^2*Y2*Y3*y0 + 2*X1*X4^2*Y2*x0^2 + 2*X1*X4^2*Y2*y0^2 - X1*X4^2*Y3*x0^2 + X1*X4^2*Y3*y0^2 - X1*X4^2*x0^2*y0 - X1*X4^2*y0^3 - 2*X1*X4*Y2^2*Y3*x0 + 2*X1*X4*Y2^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1*X4*Y2*x0^3 - 2*X1*X4*Y2*x0*y0^2 - 2*X1*X4*Y3^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y3*x0^3 + 2*X1*X4*Y3*x0*y0^2 - X1*Y2^2*Y3^2*Y4 + X1*Y2^2*Y3^2*y0 + X1*Y2^2*Y3*Y4^2 + X1*Y2^2*Y3*x0^2 - X1*Y2^2*Y3*y0^2 - X1*Y2^2*Y4^2*y0 - X1*Y2^2*Y4*x0^2 + X1*Y2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*Y2*Y3^2*Y4*y0 - 2*X1*Y2*Y3^2*x0^2 - 2*X1*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y3*Y4^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*x0^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*y0^3 + 2*X1*Y2*Y4^2*x0^2 + 2*X1*Y2*Y4^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y4*x0^2*y0 - 2*X1*Y2*Y4*y0^3 + X1*Y3^2*Y4*x0^2 - X1*Y3^2*Y4*y0^2 + X1*Y3^2*x0^2*y0 + X1*Y3^2*y0^3 - X1*Y3*Y4^2*x0^2 + X1*Y3*Y4^2*y0^2 - X1*Y3*x0^4 - 2*X1*Y3*x0^2*y0^2 - X1*Y3*y0^4 - X1*Y4^2*x0^2*y0 - X1*Y4^2*y0^3 + X1*Y4*x0^4 + 2*X1*Y4*x0^2*y0^2 + X1*Y4*y0^4 + X2^2*X3^2*X4*Y1 - X2^2*X3^2*X4*y0 - X2^2*X3^2*Y1*x0 + X2^2*X3^2*Y4*x0 - X2^2*X3*X4^2*Y1 + X2^2*X3*X4^2*y0 - X2^2*X3*Y1*Y4^2 + 2*X2^2*X3*Y1*Y4*y0 + X2^2*X3*Y1*x0^2 - X2^2*X3*Y1*y0^2 + X2^2*X3*Y4^2*y0 - 2*X2^2*X3*Y4*x0^2 - 2*X2^2*X3*Y4*y0^2 + X2^2*X3*x0^2*y0 + X2^2*X3*y0^3 + X2^2*X4^2*Y1*x0 - X2^2*X4^2*Y3*x0 + X2^2*X4*Y1*Y3^2 - 2*X2^2*X4*Y1*Y3*y0 - X2^2*X4*Y1*x0^2 + X2^2*X4*Y1*y0^2 - X2^2*X4*Y3^2*y0 + 2*X2^2*X4*Y3*x0^2 + 2*X2^2*X4*Y3*y0^2 - X2^2*X4*x0^2*y0 - X2^2*X4*y0^3 - X2^2*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2^2*Y1*Y3*x0*y0 + X2^2*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2^2*Y1*Y4*x0*y0 + X2^2*Y3^2*Y4*x0 - X2^2*Y3*Y4^2*x0 - X2^2*Y3*x0^3 - X2^2*Y3*x0*y0^2 + X2^2*Y4*x0^3 + X2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*X2*X3^2*X4*Y1*x0 + 2*X2*X3^2*X4*x0*y0 + X2*X3^2*Y1^2*Y4 - X2*X3^2*Y1^2*y0 - 2*X2*X3^2*Y1*Y4*y0 + 2*X2*X3^2*Y1*x0^2 + 2*X2*X3^2*Y1*y0^2 - X2*X3^2*Y4*x0^2 + X2*X3^2*Y4*y0^2 - X2*X3^2*x0^2*y0 - X2*X3^2*y0^3 + 2*X2*X3*X4^2*Y1*x0 - 2*X2*X3*X4^2*x0*y0 - 2*X2*X3*Y1^2*Y4*x0 + 2*X2*X3*Y1^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2*X3*Y1*x0^3 - 2*X2*X3*Y1*x0*y0^2 - 2*X2*X3*Y4^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y4*x0^3 + 2*X2*X3*Y4*x0*y0^2 - X2*X4^2*Y1^2*Y3 + X2*X4^2*Y1^2*y0 + 2*X2*X4^2*Y1*Y3*y0 - 2*X2*X4^2*Y1*x0^2 - 2*X2*X4^2*Y1*y0^2 + X2*X4^2*Y3*x0^2 - X2*X4^2*Y3*y0^2 + X2*X4^2*x0^2*y0 + X2*X4^2*y0^3 + 2*X2*X4*Y1^2*Y3*x0 - 2*X2*X4*Y1^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2*X4*Y1*x0^3 + 2*X2*X4*Y1*x0*y0^2 + 2*X2*X4*Y3^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y3*x0^3 - 2*X2*X4*Y3*x0*y0^2 + X2*Y1^2*Y3^2*Y4 - X2*Y1^2*Y3^2*y0 - X2*Y1^2*Y3*Y4^2 - X2*Y1^2*Y3*x0^2 + X2*Y1^2*Y3*y0^2 + X2*Y1^2*Y4^2*y0 + X2*Y1^2*Y4*x0^2 - X2*Y1^2*Y4*y0^2 - 2*X2*Y1*Y3^2*Y4*y0 + 2*X2*Y1*Y3^2*x0^2 + 2*X2*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y3*Y4^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*x0^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*y0^3 - 2*X2*Y1*Y4^2*x0^2 - 2*X2*Y1*Y4^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y4*x0^2*y0 + 2*X2*Y1*Y4*y0^3 - X2*Y3^2*Y4*x0^2 + X2*Y3^2*Y4*y0^2 - X2*Y3^2*x0^2*y0 - X2*Y3^2*y0^3 + X2*Y3*Y4^2*x0^2 - X2*Y3*Y4^2*y0^2 + X2*Y3*x0^4 + 2*X2*Y3*x0^2*y0^2 + X2*Y3*y0^4 + X2*Y4^2*x0^2*y0 + X2*Y4^2*y0^3 - X2*Y4*x0^4 - 2*X2*Y4*x0^2*y0^2 - X2*Y4*y0^4 - X3^2*X4*Y1^2*Y2 + X3^2*X4*Y1^2*y0 + X3^2*X4*Y1*Y2^2 + X3^2*X4*Y1*x0^2 - X3^2*X4*Y1*y0^2 - X3^2*X4*Y2^2*y0 - X3^2*X4*Y2*x0^2 + X3^2*X4*Y2*y0^2 + X3^2*Y1^2*Y2*x0 - X3^2*Y1^2*Y4*x0 - X3^2*Y1*Y2^2*x0 + 2*X3^2*Y1*Y4*x0*y0 - X3^2*Y1*x0^3 - X3^2*Y1*x0*y0^2 + X3^2*Y2^2*Y4*x0 - 2*X3^2*Y2*Y4*x0*y0 + X3^2*Y2*x0^3 + X3^2*Y2*x0*y0^2 + X3*X4^2*Y1^2*Y2 - X3*X4^2*Y1^2*y0 - X3*X4^2*Y1*Y2^2 - X3*X4^2*Y1*x0^2 + X3*X4^2*Y1*y0^2 + X3*X4^2*Y2^2*y0 + X3*X4^2*Y2*x0^2 - X3*X4^2*Y2*y0^2 + X3*Y1^2*Y2*Y4^2 - 2*X3*Y1^2*Y2*Y4*y0 - X3*Y1^2*Y2*x0^2 + X3*Y1^2*Y2*y0^2 - X3*Y1^2*Y4^2*y0 + 2*X3*Y1^2*Y4*x0^2 + 2*X3*Y1^2*Y4*y0^2 - X3*Y1^2*x0^2*y0 - X3*Y1^2*y0^3 - X3*Y1*Y2^2*Y4^2 + 2*X3*Y1*Y2^2*Y4*y0 + X3*Y1*Y2^2*x0^2 - X3*Y1*Y2^2*y0^2 - X3*Y1*Y4^2*x0^2 + X3*Y1*Y4^2*y0^2 - 2*X3*Y1*Y4*x0^2*y0 - 2*X3*Y1*Y4*y0^3 + X3*Y1*x0^4 + 2*X3*Y1*x0^2*y0^2 + X3*Y1*y0^4 + X3*Y2^2*Y4^2*y0 - 2*X3*Y2^2*Y4*x0^2 - 2*X3*Y2^2*Y4*y0^2 + X3*Y2^2*x0^2*y0 + X3*Y2^2*y0^3 + X3*Y2*Y4^2*x0^2 - X3*Y2*Y4^2*y0^2 + 2*X3*Y2*Y4*x0^2*y0 + 2*X3*Y2*Y4*y0^3 - X3*Y2*x0^4 - 2*X3*Y2*x0^2*y0^2 - X3*Y2*y0^4 - X4^2*Y1^2*Y2*x0 + X4^2*Y1^2*Y3*x0 + X4^2*Y1*Y2^2*x0 - 2*X4^2*Y1*Y3*x0*y0 + X4^2*Y1*x0^3 + X4^2*Y1*x0*y0^2 - X4^2*Y2^2*Y3*x0 + 2*X4^2*Y2*Y3*x0*y0 - X4^2*Y2*x0^3 - X4^2*Y2*x0*y0^2 - X4*Y1^2*Y2*Y3^2 + 2*X4*Y1^2*Y2*Y3*y0 + X4*Y1^2*Y2*x0^2 - X4*Y1^2*Y2*y0^2 + X4*Y1^2*Y3^2*y0 - 2*X4*Y1^2*Y3*x0^2 - 2*X4*Y1^2*Y3*y0^2 + X4*Y1^2*x0^2*y0 + X4*Y1^2*y0^3 + X4*Y1*Y2^2*Y3^2 - 2*X4*Y1*Y2^2*Y3*y0 - X4*Y1*Y2^2*x0^2 + X4*Y1*Y2^2*y0^2 + X4*Y1*Y3^2*x0^2 - X4*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X4*Y1*Y3*x0^2*y0 + 2*X4*Y1*Y3*y0^3 - X4*Y1*x0^4 - 2*X4*Y1*x0^2*y0^2 - X4*Y1*y0^4 - X4*Y2^2*Y3^2*y0 + 2*X4*Y2^2*Y3*x0^2 + 2*X4*Y2^2*Y3*y0^2 - X4*Y2^2*x0^2*y0 - X4*Y2^2*y0^3 - X4*Y2*Y3^2*x0^2 + X4*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X4*Y2*Y3*x0^2*y0 - 2*X4*Y2*Y3*y0^3 + X4*Y2*x0^4 + 2*X4*Y2*x0^2*y0^2 + X4*Y2*y0^4 + Y1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*Y1^2*Y2*Y3*x0*y0 - Y1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*Y1^2*Y2*Y4*x0*y0 - Y1^2*Y3^2*Y4*x0 + Y1^2*Y3*Y4^2*x0 + Y1^2*Y3*x0^3 + Y1^2*Y3*x0*y0^2 - Y1^2*Y4*x0^3 - Y1^2*Y4*x0*y0^2 - Y1*Y2^2*Y3^2*x0 + 2*Y1*Y2^2*Y3*x0*y0 + Y1*Y2^2*Y4^2*x0 - 2*Y1*Y2^2*Y4*x0*y0 + 2*Y1*Y3^2*Y4*x0*y0 - Y1*Y3^2*x0^3 - Y1*Y3^2*x0*y0^2 - 2*Y1*Y3*Y4^2*x0*y0 + Y1*Y4^2*x0^3 + Y1*Y4^2*x0*y0^2 + Y2^2*Y3^2*Y4*x0 - Y2^2*Y3*Y4^2*x0 - Y2^2*Y3*x0^3 - Y2^2*Y3*x0*y0^2 + Y2^2*Y4*x0^3 + Y2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*Y2*Y3^2*Y4*x0*y0 + Y2*Y3^2*x0^3 + Y2*Y3^2*x0*y0^2 + 2*Y2*Y3*Y4^2*x0*y0 - Y2*Y4^2*x0^3 - Y2*Y4^2*x0*y0^2


ans =

X1^2*X2*X3^2*Y4 - X1^2*X2*X3^2*y0 - 2*X1^2*X2*X3*Y4*x0 + 2*X1^2*X2*X3*x0*y0 - X1^2*X2*X4^2*Y3 + X1^2*X2*X4^2*y0 + 2*X1^2*X2*X4*Y3*x0 - 2*X1^2*X2*X4*x0*y0 + X1^2*X2*Y3^2*Y4 - X1^2*X2*Y3^2*y0 - X1^2*X2*Y3*Y4^2 - X1^2*X2*Y3*x0^2 + X1^2*X2*Y3*y0^2 + X1^2*X2*Y4^2*y0 + X1^2*X2*Y4*x0^2 - X1^2*X2*Y4*y0^2 - X1^2*X3^2*X4*Y2 + X1^2*X3^2*X4*y0 + X1^2*X3^2*Y2*x0 - X1^2*X3^2*Y4*x0 + X1^2*X3*X4^2*Y2 - X1^2*X3*X4^2*y0 + X1^2*X3*Y2*Y4^2 - 2*X1^2*X3*Y2*Y4*y0 - X1^2*X3*Y2*x0^2 + X1^2*X3*Y2*y0^2 - X1^2*X3*Y4^2*y0 + 2*X1^2*X3*Y4*x0^2 + 2*X1^2*X3*Y4*y0^2 - X1^2*X3*x0^2*y0 - X1^2*X3*y0^3 - X1^2*X4^2*Y2*x0 + X1^2*X4^2*Y3*x0 - X1^2*X4*Y2*Y3^2 + 2*X1^2*X4*Y2*Y3*y0 + X1^2*X4*Y2*x0^2 - X1^2*X4*Y2*y0^2 + X1^2*X4*Y3^2*y0 - 2*X1^2*X4*Y3*x0^2 - 2*X1^2*X4*Y3*y0^2 + X1^2*X4*x0^2*y0 + X1^2*X4*y0^3 + X1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1^2*Y2*Y3*x0*y0 - X1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1^2*Y2*Y4*x0*y0 - X1^2*Y3^2*Y4*x0 + X1^2*Y3*Y4^2*x0 + X1^2*Y3*x0^3 + X1^2*Y3*x0*y0^2 - X1^2*Y4*x0^3 - X1^2*Y4*x0*y0^2 - X1*X2^2*X3^2*Y4 + X1*X2^2*X3^2*y0 + 2*X1*X2^2*X3*Y4*x0 - 2*X1*X2^2*X3*x0*y0 + X1*X2^2*X4^2*Y3 - X1*X2^2*X4^2*y0 - 2*X1*X2^2*X4*Y3*x0 + 2*X1*X2^2*X4*x0*y0 - X1*X2^2*Y3^2*Y4 + X1*X2^2*Y3^2*y0 + X1*X2^2*Y3*Y4^2 + X1*X2^2*Y3*x0^2 - X1*X2^2*Y3*y0^2 - X1*X2^2*Y4^2*y0 - X1*X2^2*Y4*x0^2 + X1*X2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*X3^2*X4*Y2*x0 - 2*X1*X3^2*X4*x0*y0 - X1*X3^2*Y2^2*Y4 + X1*X3^2*Y2^2*y0 + 2*X1*X3^2*Y2*Y4*y0 - 2*X1*X3^2*Y2*x0^2 - 2*X1*X3^2*Y2*y0^2 + X1*X3^2*Y4*x0^2 - X1*X3^2*Y4*y0^2 + X1*X3^2*x0^2*y0 + X1*X3^2*y0^3 - 2*X1*X3*X4^2*Y2*x0 + 2*X1*X3*X4^2*x0*y0 + 2*X1*X3*Y2^2*Y4*x0 - 2*X1*X3*Y2^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y2*Y4^2*x0 + 2*X1*X3*Y2*x0^3 + 2*X1*X3*Y2*x0*y0^2 + 2*X1*X3*Y4^2*x0*y0 - 2*X1*X3*Y4*x0^3 - 2*X1*X3*Y4*x0*y0^2 + X1*X4^2*Y2^2*Y3 - X1*X4^2*Y2^2*y0 - 2*X1*X4^2*Y2*Y3*y0 + 2*X1*X4^2*Y2*x0^2 + 2*X1*X4^2*Y2*y0^2 - X1*X4^2*Y3*x0^2 + X1*X4^2*Y3*y0^2 - X1*X4^2*x0^2*y0 - X1*X4^2*y0^3 - 2*X1*X4*Y2^2*Y3*x0 + 2*X1*X4*Y2^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y2*Y3^2*x0 - 2*X1*X4*Y2*x0^3 - 2*X1*X4*Y2*x0*y0^2 - 2*X1*X4*Y3^2*x0*y0 + 2*X1*X4*Y3*x0^3 + 2*X1*X4*Y3*x0*y0^2 - X1*Y2^2*Y3^2*Y4 + X1*Y2^2*Y3^2*y0 + X1*Y2^2*Y3*Y4^2 + X1*Y2^2*Y3*x0^2 - X1*Y2^2*Y3*y0^2 - X1*Y2^2*Y4^2*y0 - X1*Y2^2*Y4*x0^2 + X1*Y2^2*Y4*y0^2 + 2*X1*Y2*Y3^2*Y4*y0 - 2*X1*Y2*Y3^2*x0^2 - 2*X1*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y3*Y4^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*x0^2*y0 + 2*X1*Y2*Y3*y0^3 + 2*X1*Y2*Y4^2*x0^2 + 2*X1*Y2*Y4^2*y0^2 - 2*X1*Y2*Y4*x0^2*y0 - 2*X1*Y2*Y4*y0^3 + X1*Y3^2*Y4*x0^2 - X1*Y3^2*Y4*y0^2 + X1*Y3^2*x0^2*y0 + X1*Y3^2*y0^3 - X1*Y3*Y4^2*x0^2 + X1*Y3*Y4^2*y0^2 - X1*Y3*x0^4 - 2*X1*Y3*x0^2*y0^2 - X1*Y3*y0^4 - X1*Y4^2*x0^2*y0 - X1*Y4^2*y0^3 + X1*Y4*x0^4 + 2*X1*Y4*x0^2*y0^2 + X1*Y4*y0^4 + X2^2*X3^2*X4*Y1 - X2^2*X3^2*X4*y0 - X2^2*X3^2*Y1*x0 + X2^2*X3^2*Y4*x0 - X2^2*X3*X4^2*Y1 + X2^2*X3*X4^2*y0 - X2^2*X3*Y1*Y4^2 + 2*X2^2*X3*Y1*Y4*y0 + X2^2*X3*Y1*x0^2 - X2^2*X3*Y1*y0^2 + X2^2*X3*Y4^2*y0 - 2*X2^2*X3*Y4*x0^2 - 2*X2^2*X3*Y4*y0^2 + X2^2*X3*x0^2*y0 + X2^2*X3*y0^3 + X2^2*X4^2*Y1*x0 - X2^2*X4^2*Y3*x0 + X2^2*X4*Y1*Y3^2 - 2*X2^2*X4*Y1*Y3*y0 - X2^2*X4*Y1*x0^2 + X2^2*X4*Y1*y0^2 - X2^2*X4*Y3^2*y0 + 2*X2^2*X4*Y3*x0^2 + 2*X2^2*X4*Y3*y0^2 - X2^2*X4*x0^2*y0 - X2^2*X4*y0^3 - X2^2*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2^2*Y1*Y3*x0*y0 + X2^2*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2^2*Y1*Y4*x0*y0 + X2^2*Y3^2*Y4*x0 - X2^2*Y3*Y4^2*x0 - X2^2*Y3*x0^3 - X2^2*Y3*x0*y0^2 + X2^2*Y4*x0^3 + X2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*X2*X3^2*X4*Y1*x0 + 2*X2*X3^2*X4*x0*y0 + X2*X3^2*Y1^2*Y4 - X2*X3^2*Y1^2*y0 - 2*X2*X3^2*Y1*Y4*y0 + 2*X2*X3^2*Y1*x0^2 + 2*X2*X3^2*Y1*y0^2 - X2*X3^2*Y4*x0^2 + X2*X3^2*Y4*y0^2 - X2*X3^2*x0^2*y0 - X2*X3^2*y0^3 + 2*X2*X3*X4^2*Y1*x0 - 2*X2*X3*X4^2*x0*y0 - 2*X2*X3*Y1^2*Y4*x0 + 2*X2*X3*Y1^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y1*Y4^2*x0 - 2*X2*X3*Y1*x0^3 - 2*X2*X3*Y1*x0*y0^2 - 2*X2*X3*Y4^2*x0*y0 + 2*X2*X3*Y4*x0^3 + 2*X2*X3*Y4*x0*y0^2 - X2*X4^2*Y1^2*Y3 + X2*X4^2*Y1^2*y0 + 2*X2*X4^2*Y1*Y3*y0 - 2*X2*X4^2*Y1*x0^2 - 2*X2*X4^2*Y1*y0^2 + X2*X4^2*Y3*x0^2 - X2*X4^2*Y3*y0^2 + X2*X4^2*x0^2*y0 + X2*X4^2*y0^3 + 2*X2*X4*Y1^2*Y3*x0 - 2*X2*X4*Y1^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y1*Y3^2*x0 + 2*X2*X4*Y1*x0^3 + 2*X2*X4*Y1*x0*y0^2 + 2*X2*X4*Y3^2*x0*y0 - 2*X2*X4*Y3*x0^3 - 2*X2*X4*Y3*x0*y0^2 + X2*Y1^2*Y3^2*Y4 - X2*Y1^2*Y3^2*y0 - X2*Y1^2*Y3*Y4^2 - X2*Y1^2*Y3*x0^2 + X2*Y1^2*Y3*y0^2 + X2*Y1^2*Y4^2*y0 + X2*Y1^2*Y4*x0^2 - X2*Y1^2*Y4*y0^2 - 2*X2*Y1*Y3^2*Y4*y0 + 2*X2*Y1*Y3^2*x0^2 + 2*X2*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y3*Y4^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*x0^2*y0 - 2*X2*Y1*Y3*y0^3 - 2*X2*Y1*Y4^2*x0^2 - 2*X2*Y1*Y4^2*y0^2 + 2*X2*Y1*Y4*x0^2*y0 + 2*X2*Y1*Y4*y0^3 - X2*Y3^2*Y4*x0^2 + X2*Y3^2*Y4*y0^2 - X2*Y3^2*x0^2*y0 - X2*Y3^2*y0^3 + X2*Y3*Y4^2*x0^2 - X2*Y3*Y4^2*y0^2 + X2*Y3*x0^4 + 2*X2*Y3*x0^2*y0^2 + X2*Y3*y0^4 + X2*Y4^2*x0^2*y0 + X2*Y4^2*y0^3 - X2*Y4*x0^4 - 2*X2*Y4*x0^2*y0^2 - X2*Y4*y0^4 - X3^2*X4*Y1^2*Y2 + X3^2*X4*Y1^2*y0 + X3^2*X4*Y1*Y2^2 + X3^2*X4*Y1*x0^2 - X3^2*X4*Y1*y0^2 - X3^2*X4*Y2^2*y0 - X3^2*X4*Y2*x0^2 + X3^2*X4*Y2*y0^2 + X3^2*Y1^2*Y2*x0 - X3^2*Y1^2*Y4*x0 - X3^2*Y1*Y2^2*x0 + 2*X3^2*Y1*Y4*x0*y0 - X3^2*Y1*x0^3 - X3^2*Y1*x0*y0^2 + X3^2*Y2^2*Y4*x0 - 2*X3^2*Y2*Y4*x0*y0 + X3^2*Y2*x0^3 + X3^2*Y2*x0*y0^2 + X3*X4^2*Y1^2*Y2 - X3*X4^2*Y1^2*y0 - X3*X4^2*Y1*Y2^2 - X3*X4^2*Y1*x0^2 + X3*X4^2*Y1*y0^2 + X3*X4^2*Y2^2*y0 + X3*X4^2*Y2*x0^2 - X3*X4^2*Y2*y0^2 + X3*Y1^2*Y2*Y4^2 - 2*X3*Y1^2*Y2*Y4*y0 - X3*Y1^2*Y2*x0^2 + X3*Y1^2*Y2*y0^2 - X3*Y1^2*Y4^2*y0 + 2*X3*Y1^2*Y4*x0^2 + 2*X3*Y1^2*Y4*y0^2 - X3*Y1^2*x0^2*y0 - X3*Y1^2*y0^3 - X3*Y1*Y2^2*Y4^2 + 2*X3*Y1*Y2^2*Y4*y0 + X3*Y1*Y2^2*x0^2 - X3*Y1*Y2^2*y0^2 - X3*Y1*Y4^2*x0^2 + X3*Y1*Y4^2*y0^2 - 2*X3*Y1*Y4*x0^2*y0 - 2*X3*Y1*Y4*y0^3 + X3*Y1*x0^4 + 2*X3*Y1*x0^2*y0^2 + X3*Y1*y0^4 + X3*Y2^2*Y4^2*y0 - 2*X3*Y2^2*Y4*x0^2 - 2*X3*Y2^2*Y4*y0^2 + X3*Y2^2*x0^2*y0 + X3*Y2^2*y0^3 + X3*Y2*Y4^2*x0^2 - X3*Y2*Y4^2*y0^2 + 2*X3*Y2*Y4*x0^2*y0 + 2*X3*Y2*Y4*y0^3 - X3*Y2*x0^4 - 2*X3*Y2*x0^2*y0^2 - X3*Y2*y0^4 - X4^2*Y1^2*Y2*x0 + X4^2*Y1^2*Y3*x0 + X4^2*Y1*Y2^2*x0 - 2*X4^2*Y1*Y3*x0*y0 + X4^2*Y1*x0^3 + X4^2*Y1*x0*y0^2 - X4^2*Y2^2*Y3*x0 + 2*X4^2*Y2*Y3*x0*y0 - X4^2*Y2*x0^3 - X4^2*Y2*x0*y0^2 - X4*Y1^2*Y2*Y3^2 + 2*X4*Y1^2*Y2*Y3*y0 + X4*Y1^2*Y2*x0^2 - X4*Y1^2*Y2*y0^2 + X4*Y1^2*Y3^2*y0 - 2*X4*Y1^2*Y3*x0^2 - 2*X4*Y1^2*Y3*y0^2 + X4*Y1^2*x0^2*y0 + X4*Y1^2*y0^3 + X4*Y1*Y2^2*Y3^2 - 2*X4*Y1*Y2^2*Y3*y0 - X4*Y1*Y2^2*x0^2 + X4*Y1*Y2^2*y0^2 + X4*Y1*Y3^2*x0^2 - X4*Y1*Y3^2*y0^2 + 2*X4*Y1*Y3*x0^2*y0 + 2*X4*Y1*Y3*y0^3 - X4*Y1*x0^4 - 2*X4*Y1*x0^2*y0^2 - X4*Y1*y0^4 - X4*Y2^2*Y3^2*y0 + 2*X4*Y2^2*Y3*x0^2 + 2*X4*Y2^2*Y3*y0^2 - X4*Y2^2*x0^2*y0 - X4*Y2^2*y0^3 - X4*Y2*Y3^2*x0^2 + X4*Y2*Y3^2*y0^2 - 2*X4*Y2*Y3*x0^2*y0 - 2*X4*Y2*Y3*y0^3 + X4*Y2*x0^4 + 2*X4*Y2*x0^2*y0^2 + X4*Y2*y0^4 + Y1^2*Y2*Y3^2*x0 - 2*Y1^2*Y2*Y3*x0*y0 - Y1^2*Y2*Y4^2*x0 + 2*Y1^2*Y2*Y4*x0*y0 - Y1^2*Y3^2*Y4*x0 + Y1^2*Y3*Y4^2*x0 + Y1^2*Y3*x0^3 + Y1^2*Y3*x0*y0^2 - Y1^2*Y4*x0^3 - Y1^2*Y4*x0*y0^2 - Y1*Y2^2*Y3^2*x0 + 2*Y1*Y2^2*Y3*x0*y0 + Y1*Y2^2*Y4^2*x0 - 2*Y1*Y2^2*Y4*x0*y0 + 2*Y1*Y3^2*Y4*x0*y0 - Y1*Y3^2*x0^3 - Y1*Y3^2*x0*y0^2 - 2*Y1*Y3*Y4^2*x0*y0 + Y1*Y4^2*x0^3 + Y1*Y4^2*x0*y0^2 + Y2^2*Y3^2*Y4*x0 - Y2^2*Y3*Y4^2*x0 - Y2^2*Y3*x0^3 - Y2^2*Y3*x0*y0^2 + Y2^2*Y4*x0^3 + Y2^2*Y4*x0*y0^2 - 2*Y2*Y3^2*Y4*x0*y0 + Y2*Y3^2*x0^3 + Y2*Y3^2*x0*y0^2 + 2*Y2*Y3*Y4^2*x0*y0 - Y2*Y4^2*x0^3 - Y2*Y4^2*x0*y0^2


ans =

0

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:25 
Хорошо Mishafromusa и _Ivana, значит есть у нас более или менее система от двух уравнений с двумя неизвестными $x_{K}$ и $y_{K}$ (координаты точки пересекания диагоналей $AC$ и $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$). В этой системе однако встречаются 4 степени неизвестных, т.е. вид конечных выражений для решения неясен и будет по любому громоздкий. В таком случае лучшая ли Ваша система о $x_{K}$ и $y_{K}$ по сравнении с системой квадратичных форм о всех 10 неизвестных сразу, которую я предложил?

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:31 
Смотря для чего, мне подход с ГМТ кажется более наглядным. Вам может быть понятнее с квадратичными формами -- никто не спорит.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:34 
Vitalius, если решает матпакет численно - то все равно. Skeptic тоже красивый метод предложил, хоть сначала и утверждал что задача не решается.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:37 
Та предложенная мною система квадратичных форм, тоже следует непосредственно из геометрических соображений - условия о ортогональности и колинеарности векторов, которые должны выполняться согласно условия задачи ТС.

_Ivana, конечно, для численных расчётов всё равно. Но мне хочется увидеть конечный точный результат. Кажется система квадратичных форм лучше подходить для этой цели.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:42 
Просто решить на компьютере -- это одно, а понять геометрию задачи -- немного другое, что кому нравится... Вообщем, похоже, что мы разобрались общими усилиями :-)

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:51 
mishafromusa в сообщении #888718 писал(а):
что кому нравится
Имхо тут все дороги ведут в Рим одно решение, и геометрическая интерпретация пересечения ГМТ касания пар окружностей тоже очевидна из условия.
mishafromusa в сообщении #888718 писал(а):
похоже, что мы разобрались общими усилиями
Не знаю как другие, а мне еще непонятны вопросы существования и единственности решения, о чем ТС (пропавший) также завещал. Хотя насчет некоторых вариантов несуществования у меня есть мысли.

ЗЫ пробовал строить кривые вышеупомянутых ГМТ - получается пока не очень.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:52 
_Ivana в сообщении #888713 писал(а):
Skeptic тоже красивый метод предложил, хоть сначала и утверждал что задача не решается.
То, что она решается, было понятно из общих соображений. и я на это сразу указал в первой же своей заметке.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 13:57 
_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
...ЗЫ пробовал строить кривые вышеупомянутых ГМТ - получается пока не очень.


Легче было бы если найдётся параметрический способ задания точки $K(x_{K},y_{K})$ - $(x_{K}(\lambda),y_{K}(\lambda))$. У нас пока только неявное уравнение для этих крив.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 14:10 
Vitalius в сообщении #888725 писал(а):
Легче было бы если найдётся параметрический способ задания точки $K$
Непохоже, что простой способ есть, т.к. кривая задаётся уравнением 4-й степени. Вот если многочлен, определяющий уравнение этой кривой, раскладывается на множители (скажем, 2 квадратных), то тогда будет легче, но это маловероятно. Ясно, например, что наши ГМТ неограночены, т.к. касаюшиеся окружности могут быть сколь угодно большими.

-- 19.07.2014, 07:36 --

_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
Имхо тут все дороги ведут в Рим одно решение
Даже когда решение одно, на него можно посмотреть с разных сторон.

-- 19.07.2014, 07:47 --

_Ivana в сообщении #888721 писал(а):
Не знаю как другие, а мне еще непонятны вопросы существования и единственности решения
Это объяснено в моей самой первой заметке по теме. Кроме того, когда четырёхугольник близок к прямоугольнику, ГМТ касания окружностей близки к паре перпендикулярных прямых, пресекающихся в его центре, и это даёт ещё одно объяснение существования и единственности в этом случае.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:01 
Пусть запишем результат о ГМТ касания двух семейств окружностей, лежащие в плоскостью, представители первого из которых проходят через точки $T(x_{T},y_{T})$ и $U(x_{U},y_{U})$, а представители второго через точки $V(x_{V},y_{V})$ и $W(x_{W},y_{W})$. Эти 4 точки заданы со своими Декартовыми координатами. Так определённое ГМТ представляет алгебраическая кривая 4 порядка, которая в Декартовых координатах задаётся со следующим уравнением:

$G_{TUVW}(x,y)=0$.

Функция $G_{TUVW}(x,y)$ определяется так:

$\begin{array}{c}

G_{TUVW}(x,y)\equiv\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x & 1 & 0 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{T}^{2}+y_{T}^{2} & x_{T} & y_{T} & 1 \\
                        x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y & 0 & 1 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\
                        x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|-\\
\\
                   \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2y & 0 & 1 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{T}^{2}+y_{T}^{2} & x_{T} & y_{T} & 1 \\
                        x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|\left|
                      \begin{array}{cccc}
                        2x & 1 & 0 & 0 \\
                        x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\
                        x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\
                        x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\
                      \end{array}
                    \right|.
 \end{array}$

В терминах этой функции вопрос о нахождения тучку пересечения $K(x_{K},y_{K})$ диагоналей $AC$ и $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$ из задачи ТС, сводится к решением относительно координаты $x_{K}$ и $y_{K}$ следующей системе уравнений:

$G_{PQRS}(x_{K},y_{K})=0$,

$G_{QRSP}(x_{K},y_{K})=0$.

Здесь $P(x_{P},y_{P})\in AB$, $Q(x_{Q},y_{Q})\in BC$, $R(x_{R},y_{R})\in CD$ и $S(x_{S},y_{S})\in AD$ это точки пересечения перпендикуляров спущенных от точку $K(x_{K},y_{K})$ к сторонам искомого четёрёхугольника $ABCD$. Согласно условия ТС координаты этих 4 точек заданы.

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:39 
mishafromusa в сообщении #888728 писал(а):
Ясно, например, что наши ГМТ неограничены, т.к. касаюшиеся окружности могут быть сколь угодно большими.
Это рассуждение неверно. :-(

 
 
 
 Re: Задача о четырехугольнике
Сообщение19.07.2014, 15:47 
Интересно можем ли представить функцию $G_{TUVW}(x,y)$ как определитель достаточно простой матрицы восьмого ранга?

 
 
 [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group