Вопросы о моде и медиане случайных величин

[Shtorm]

Дадим определение:
Модой $Mo(X)$ дискретной случайной величины называется её значение , принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Если все значения дискретной случайной величины расположены в порядке возрастания, то для вероятности модального значения выполняются неравенства:
$p_{i-1}<p_i$ и $p_{i+1}<p_i$

Модой $Mo(X)$ непрерывной случайной величины называют точку локального максимума плотности распределения.

Если вероятность (для дискретной случайной величины) или плотность (для непрерывных случайных величин) достигает максимума только в одной точке, то распределение называется унимодальным (одномодальным). Если в двух разных точках – то бимодальным (двухмодальным), и вообще, если в нескольких точках, то распределение называется полимодальным (мультимодальным).

Вопрос к уважаемым участникам форума, корректно ли сформулированы вышеприведённые определения? Я бы не стал задавать такого вопроса, удовлетворившись некоторыми учебниками, но некоторые уважаемые коллеги по кафедре не согласны с вышеприведёнными определениями.
Вопрос: Правильно ли я понял, что обозначение моды символом $Mo(X)$ произошло от самого слова "мода", и если где-то в книгах используется обозначение $M_0(X)$ - то есть вместо буковки "o" ставят нулик - то это просто опечатка (ошибка от непонимания)?

На рис.1 изображён полигон распределения дискретной случайной величины


В соответствии, с вышеприведённым определением - данное распределение полимодальное и его моды равны: $x_1, x_3, x_5, x_7$
Всё правильно? А то сомнение вызывает $x_1$ и $x_7$ так как расположены по краям и дальше них нет значений случайных величин. Моя аргументация: они тоже являются модами, так как $P(x>x_7)=0$ и $P(x<x_1)=0$ а значит легко применяем вышеприведённое определение.
В книге Вентцель Е.С. "Теория вероятности" (4 издание) приводится также термин: "антимодальное распределение" (см. рис. 2 и рис.3)


То есть, как пишет Вентцель - антимодальные распределения - это распределения, обадающие по середине не максимумом, а минимумом.
У меня возникает вопрос, пусть эти два вышеприведённых распределения антимодальны, но при этом, они же являются бимодальными?. На рис. 2 моды равны $x_1$ и $x_6$, а на рис.3 моды будут как раз в точках разрыва функции плотности вероятностей. Всё верно?

Если функция плотности вероятности непрерывных случайных величин является кусочно-непрерывной, то для определения локального максимума мы применяем те же самые подходы, что и для неперывной функции, исключая только требование непрерывности. То есть, локальный максимум кусочно-заданной функции может достигаться в точке разрыва, как например, получается для показательного закона распределения. Для него мода равна нулю - то есть локальный максимум достигается в точке разрыва функции плотности вероятностей. Всё верно рассуждаю?

Если функция плотности вероятностей имеет где-то разрыв 2-го рода, то есть уходит на бесконечность - то в этой точке нет никакой моды? Моё мнение - моды нет, так как это не локальный максимум.


В ряде книг я встретил высказывание, что понятие "медиана" для дискретных случайных величин как правило не используется (не имеет смысла использовать). Но на нашем форуме в некоторых темах я видел, что такое понятие использовалось для ДСВ (дискретных случайных величин). Правильно ли я понял, что это уже зависит от конкретного преподавателя: кто хочет вводит это определение, кто не хочет - не вводит? И если так, то подскажите в каких книгах можно встретить применение (определение) медианы ДСВ?

[AV_77]

Очередной спор ни о чем? Определение - это просто договоренность называть что-то более кратко. Как можно быть с этим не согласным? А уж спорить об обозначениях и вовсе бесполезно, как нравится, так и обозначайте, хоть $Mo$, хоть $M_0$, или даже ${}_0^0oMo_0^0$, все обозначения будут "правильные".

[Shtorm]

AV_77, касательно обозначения я с Вами соглашусь. Этот вопрос был расчитан на настоящих педантов в области терминологии и обозначений.
Но касательно всего остального - от правильности или неправильности зависит решение задач по теории вероятностей, связанных с модой и медианой. Как можно тут проявлять безразличие?

[AV_77]

Shtorm в сообщении #888273 писал(а):

Но касательно всего остального - от правильности или неправильности зависит решение задач по теории вероятностей, связанных с модой и медианой.

Обычно определения вводятся исходя из потребностей курса и, естественно, могут несколько варьироваться. Если вы беспокоитесь о правильности решения задач, то просто посмотрите какими определениями пользуются в используемом в вашем курсе задачнике.

[Shtorm]

AV_77, а если я сейчас составляю собственное учебно-методическое пособие (задачник) по которому и будут решать мои студенты (хм.. а может и не только мои) - то я что хочу - то и пишу? Какое определение дам, такое и будет истинное? Всё было бы хорошо, если бы все коллеги по кафедре были согласны с этими определениями, а то ведь нет! И получится, например, что лекции читают они по своим определениям, а приходят ко мне потом на практику их студенты и видят совершенно иное определение - и соответственно ответы в задачках другие! Так что вот, надеюсь на авторитетное мнение математиков всех славянских республик (и не только славянских, короче республик бывшего СССР, хм...короче, математиков всего мира)

[Алексей К.]

AV_77 в сообщении #888275 писал(а):

Обычно определения вводятся исходя из потребностей курса

Нет!!!

Это, может, так, когда, допустим, институт и "курс" --- средство избежать армии.

А когда речь идёт о математике безотносительно к армии и прочей ерунде --- там мотивация для введения определений какая-то другая. Естественно, другая. Причём тут какие-то "курсы"?

[Александрович]

Для ДСВ я предпочитаю вместо полигона использовать многоугольник распределения, а полигон частот использую для выборочного распределения.

[Shtorm]

Александрович, Полигон (от др.-греч. poly — много и gonia — угол, буквально «многоугольник» — polygonos)
То есть в русском математическом языке термины "полигон" и "многоугольник" стали синонимами.
По определению:
Полигон (многоугольник) распределения - это ломаная, соединяющая между собой точки с координатами $(x_i,p_i)$, где $x_i$ - случайные величины, а $p_i$ соответствующие им вероятности.
Полигон (многоугольник) частот - это ломаная, соединяющая между собой точки с координатами $(x_i,n_i)$, где $x_i$ - варианты, а $n_i$ соответствующие им частоты или относительные частоты.

[Henrylee]

Открываем правильный источник, каковым является
Энциклопедия. Вероятность и математическая статистика. под редакцией Ю.В. Прохорова, например, издание 1999 (а можно 2003). Читаем статьи "Мода" и "Медиана", потом тыкаем в них коллег по кафедре и приходим к всеобщему согласию.

[Shtorm]

Henrylee, спасибо, а не подскажете, где можно скачать эту книгу?

[Александрович]

Мода по определению это наиболее вероятное значение случайной величины, в дискретном случае это значение всегда можно найти. Медиана в дискретном случае может делить совокупность не пополам, а на 0,9 и 0,1. Кому она такая нужна?

[Shtorm]

Александрович в сообщении #888442 писал(а):

Мода по определению это наиболее вероятное значение случайной величины

Вот Вы даёте определение точно такое же, как и мои уважаемые коллеги по кафедре. Только тогда вопрос к Вам, а что такое полимодальное распределение?

[Александрович]

Shtorm в сообщении #888450 писал(а):

Вот Вы даёте определение точно такое же, как и мои уважаемые коллеги по кафедре.

Значит я с ними солидарен. Вот вероятности дискретного распределения - 0,9;0,02;0,05;0,03. Это распределение бимодальное?
Извините что отвечаю вопросом на вопрос, но может быть после этого отпадёт ваш вопрос о полимодальности.

[Henrylee]

Shtorm в сообщении #888434 писал(а):

Henrylee, спасибо, а не подскажете, где можно скачать эту книгу?

К сожалению, в электронном виде не встречал.

Кстати, определение моды там дано для абс-непр-х распределений (как набор всех локальных максимумов плотности) и для решетчатых (аналогично, т.е. как у Вас), а вот для дискретных в общем виде - молчок.

[Shtorm]

Александрович в сообщении #888455 писал(а):

Вот вероятности дискретного распределения - 0,9;0,02;0,07;0,1

Не прокатит! Нужно, чтобы сумма всех вероятностей в распределении равнялась $1$. В Вашем примере это не так. И потом, случайные величины в ряде распределения необходимо расположить в порядке возрастания и только тогда, согласно выше данному мной определению, можно будет говорить о полимодальности. То есть, приведите тогда и значения случайных величин для примера.