ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3

[Феликс Шмидель]

В этой теме мы приведём результаты из предыдущих тем поиска доказательства для $n=5$ и попробуем их развить.

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

из которого мы пытаемся получить противоречие.

Здесь $g=\sqrt[5]{2}$, $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа, $x, y, z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, которые удовлетворяют уравнению Ферма: $x^5+y^5+z^5=0$.
Для доказательства (1), мы предположили, что $x$ - нечётное число, а число $y^5-z^5$ не делится на 5. Этого можно добиться, поменяв $x$, $y$ и $z$ местами. При этих предположениях, $x^2-y z g^2$ и $x^8+x^6 y z g^2+x^4 (y z)^2 g^4+x^2 (y z)^3 g^6+(y z)^4 g^8$ - взаимно-простые числа, то есть единственными общими делителями этих чисел являются делители единицы.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (1) следует система равенств:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Первые два равенства можно рассматривать как линейные уравнения с неизвестными $a_0$ и $a_1$.
Решая эти уравнения по правилу Крамера, получим:

(3)
$a_0=(2 a_3 a_4^2-a_2^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$
$a_1=(a_3 a_2^2-2 a_4^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$

Можно показать, что знаменатель $2 (a_4 a_2-a_3^2)$ не равен нулю.

Подставляя выражения в (3) в последнее равенство системы (2) вместо $a_0$ и $a_1$, получим

(4) $(2 a_3 a_4^2-a_2^3) (a_3 a_2^2-2 a_4^3)+4 (a_4 a_2-a_3^2)^2 (2 a_2 a_4+a_3^2)=0$.

Это новый результат, который я получил недавно.

Продолжение следует.

[lasta]

Феликс Шмидель в сообщении #883051 писал(а):

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

Уважаемый Феликс Шмидель !
Правая часть - квадрат. Тройка решения - взаимно простые числа. $x,g$ также взаимно просты. Но, как раз это не является ли только частным случаем?

[Феликс Шмидель]

lasta в сообщении #883078 писал(а):

Но, как раз это не является ли только частным случаем?

.

Частным случаем чего? Что Вы имеете ввиду?

[lasta]

Феликс Шмидель в сообщении #883088 писал(а):

Что Вы имеете ввиду?

Исходное равенство, где $g=\sqrt[5]{2}$. Является ли оно исчерпывающим все возможные случаи УФ с показателем $5$?

[Феликс Шмидель]

lasta в сообщении #883120 писал(а):

Исходное равенство, где $g=\sqrt[5]{2}$. Является ли оно исчерпывающим все возможные случаи УФ с показателем $5$?

Да, является, потому что оно следует из УФ, и УФ следует из него.

[Феликс Шмидель]

Упростим (4) в алгебраической программе "Reduce":

1: (2*a3*a4^2-a2^3)*(a3*a2^2-2*a4^3)+4*(a4*a2-a3^2)^2*(2*a2*a4+a3^2);

Получим: $-a_2^5 a_3+10 a_2^3 a_4^3-10 a_2^2 a_3^2 a_4^2+4 a_3^6-4 a_3 a_4^5$

Значит, из (4) следует:

(5) $10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6=a_3 (a_2^5+4 a_4^5)$

Из (5) следует:

(6) $(10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6)^2-16 a_3^2 (a_2 a_4)^5=a_3^2 (a_2^5-4 a_4^5)^2$

Упростим левую часть равенства (6) в "Reduce":

1: (10*(a2*a4)^3-10*(a2*a4)^2*a3^2+4*a3^6)^2-16*a3^2*(a2*a4)^5;

Получим: $4 (25 a_2^6 a_4^6-54 a_2^5 a_3^2 a_4^5+25 a_2^4 a_3^4 a_4^4+20 a_2^3 a_3^6 a_4^3-20 a_2^2 a_3^8 a_4^2+4 a_3^{12})$

Пусть $v=a_2 a_4/a_3^2-1$.
Тогда полученное выражение равно: $4 a_3^{12} (25 (v+1)^6-54 (v+1)^5+25 (v+1)^4+20 (v+1)^3-20 (v+1)^2+4)$.

Упростим это выражение в "Reduce":

1: 25*(v+1)^6-54*(v+1)^5+25*(v+1)^4+20*(v+1)^3-20*(v+1)^2+4;

Получим: $v^2 (25 v^4+96 v^3+130 v^2+80 v+25)$

Значит, из (6) следует:

(7) $25 v^4+96 v^3+130 v^2+80 v+25=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} v^2)$,

где $v=a_2 a_4/a_3^2-1$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Можно уменьшить коэффициенты в левой части равенства (7) если вернуться от $v$ к $a_2 a_4/a_3^2$.
Пусть $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Подставляя $v=u-1$ в (7) получим:

$25 (u-1)^4+96 (u-1)^3+130 (u-1)^2+80 (u-1)+25=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} (u-1)^2)$.

Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

25*(u-1)^4+96*(u-1)^3+130*(u-1)^2+80*(u-1)+25;

Получим: $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4$.

Значит из (7) следует:

(8) $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} (u-1)^2)$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2$.

Умножив равенство (8) на $25^3$, получим:

(9) $u_2^4-4 u_2^3-200 u_2^2+5000 u_2+62500=A^2$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2, u_2=25 u, A=125 (a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$.

Преобразуем равенство (9), используя приём, описанный в Cassels, "Lectures on elliptic curves".

Пусть $T=A+(u_2^2-2 u_2-102), S=u_2 (A+(u_2^2-2 u_2-102))$.
Покажем, что $2 S^2-4 T S+4592 S=T^3+204 T^2-52096 T$.
Выразим $(2 S^2-4 T S+4592 S-T^3-204 T^2+52096 T)/T$ через $A$ и $u_2$ в "Reduce":

T:=A+(u2^2-2*u2-102);
S:=u2*(A+(u2^2-2*u2-102));
(2*S^2-4*T*S+4592*S-T^3-204*T^2+52096*T)/T;

С учётом равенства (9), получим $0$.

Значит из (9) следует:

(10) $2 S^2-4 T S+4592 S=T^3+204 T^2-52096 T$, где

$u=a_2 a_4/a_3^2, u_2=25 u, A=125 (a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$,
$T=A+(u_2^2-2 u_2-102), S=u_2 (A+(u_2^2-2 u_2-102))$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Помножим равенство (10) на 8.
Получим: $(4 S)^2-4 (2 T)(4 S)+9184 (4 S)=(2 T)^3+408 (2 T)^2-208384 (2 T)$

Вычислим ранг этой эллиптической кривой и подгруппу точек конечного порядка в математической программе "Sage":

E = EllipticCurve([-4, 408, 9184, -208384, 0])
E.rank()
E.torsion_subgroup()

Получим:

1 
Torsion Subgroup isomorphic to Z/2 associated to the Elliptic Curve defined by y^2 - 4*x*y + 9184*y = x^3 + 408*x^2 - 208384*x over Rational Field 

Вопрос: можно ли использовать эту информацию в доказательстве?

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #883951 писал(а):

Вопрос: можно ли использовать эту информацию в доказательстве?

По-моему, сам этот факт (ранг равен двум) гораздо сложнее, чем ВТФ при $n=5$. Для сравнения: при $n=3$ утверждение ВТФ сводится к тому, что ранг эллиптической кривой $x^3+y^3=1$ равен нулю.

[Феликс Шмидель]

Прошу прощения, я исправил ошибку. Теперь ранг равен $1$.
Понятно, спасибо.

[Феликс Шмидель]

Не исключено, что мне удастся найти простое доказательство, что ранг конкретной эллиптической кривой равен 1.
Поэтому я продолжу преобразования c целью упрощения равенства (8).

Следующее преобразование ведёт к упрощение равенства (9).
Я собираюсь изучать равенства с полиномом 3-ей степени, а не 4-ой, но привожу это преобразование на всякий случай.

Запишем (8) в виде $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4=B^2$, где $B=(a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$, $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Пусть $B=5 u^2+b u+2$, где $b$ - рациональное число.
Тогда $(5 u^2+b u+2)^2-(25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4)=0$.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

(5*u^2+b*u+2)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);

Получим: $u (u^2 (10 b+4)+u (b^2+28)+(4 b-8))=0$ или $u^2 (10 b+4)+u (b^2+28)+(4 b-8)=0$,
поскольку можно показать, что $u \ne 0$.
Следовательно, $(b^2+28)^2-4 (10 b+4)(4 b-8)=((b^2+28)+2 (10 b+4) u)^2$.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

(b^2+28)^2-4*(10*b+4)*(4*b-8);

Получим:

(11) $b^4-104 b^2+256 b+912=A_1^2$, где

$u=a_2 a_4/a_3^2$, $b=((a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))-(5 u^2+2))/u$, $A_1=(b^2+28)+2 (10 b+4) u$.

Левая часть равенства (11) имеет меньшие коэффициенты, чем равенство (9).


Теперь займёмся преобразованием равенства (8) к равенству с полиномом 3-ей степени.

Пусть $B=5 u^2-(2/5) u+b_1$, где $b_1$ - рациональное число, и по-прежнему $B=(a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$, $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Тогда из равенства (8) следует: $(5 u^2-(2/5) u+b_1)^2-(25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4)=0$
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

(5*u^2-(2/5)*u+b1)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);

Получим: $(250 b_1+204) u^2-(20 b_1+200) u+(25 b_1^2-100)=0$.
Следовательно, $(10 b_1+100)^2-(250 b_1+204)(25 b_1^2-100)=(-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

(10*b1+100)^2-(250*b1+204)*(25*b1^2-100);

Получим: $50 (-125 b_1^3-100 b_1^2+540 b_1+608)=(-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$.
Или $8 (-125 b_1^3-100 b_1^2+540 b_1+608)=4/25 (-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$.
Пусть $b_2=-10 b_1$.
Тогда $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864=4/25 ((b_2-100)-(25 b_2-204) u)^2$.

Значит:

(12) $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864=A_2^2$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2$, $b_2=-10 ((a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))-(5 u^2-(2/5) u))$, $A_2=2/5 ((b_2-100)-(25 b_2-204) u)$.

Полином 3-ей степени в равенстве (12) имеет меньшие коэффициенты, чем полином, который можно получить из равенства (10) стандартным способом.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Феликс Шмидель в сообщении #884438 писал(а):

Полином 3-ей степени в равенстве (12) имеет меньшие коэффициенты, чем полином, который можно получить из равенства (10) стандартным способом.

Я, правда, в этом не совсем уверен.
Дело в том, что я получил равенство (12) стандартным способом, описанным в книге Ian Connell, "Elliptic Curve Handbook" из равенства (7).
С другой стороны, это увеличивает вероятность того, что при выводе равенства (12) не было допушено ошибок, и оно верно .

[Феликс Шмидель]

Вычислим ранг эллиптической кривой (12) и подгруппу точек конечного порядка в математической программе "Sage":

E=EllipticCurve([0, -8, 0, -432, 4864])
E.rank()
E.torsion_subgroup()

Получим:

1
Torsion Subgroup isomorphic to Z/2 associated to the Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 8*x^2 - 432*x + 4864 over Rational Field

Вместо $\mathbb{Z}/2$ должно быть $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$, это недоработка в программе.
Информация о наличии рациональной точки второго порядка говорит о том, что некоторое целое число является корнем полинома в левой части равенства (12).

Перепробовав все делители числа $4864$ найдём, что корень равен $16$.

Остальные два корня кубического полинома легко находятся из квадратного уравнения.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Найдём квадратный полином, получающийся от деления $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864$ на $b_2-16$ в программе "Reduce":

(b2^3-8*b2^2-432*b2+4864)/(b2-16)

Получим: $b_2^2-8 b_2-304$.

Корнями этого полинома являются числа: $4+8 \sqrt{5}$ и $4-8 \sqrt{5}$.

Поскольку $b_2$ является рациональнам числом, то $b_2=s/t$, где $s$ и $t$ - целые, $t>0$.
взаимно-простые числа.

Рациональное число $(b_2-16)(b_2^2-8 b_2-304)$ является квадратом рационального числа.
Значит $(s-16 t) (s^2-8 s t-304 t^2)/t^3$ является квадратом рационального числа.
Поскольку знаменатель $t^3$ взаимно-прост с числителем и $t>0$, то $t$ является квадратом целого числа, и:

(13) $(s-16 t) (s^2-8 s t-304 t^2)$ является квадратом целого числа, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Если сомножители $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ имеют наибольший общий делитель $h$, то $16^2-8 \cdot 16-304=-176$ делится на $h$.

Число $s$ не может делиться на $2$ и не делиться на $4$, или делиться на $8$ и не делиться на $16$, в силу (13).
Следовательно $h$ является одним из чисел: $1, 4, 16, 11, 44, 176$, поскольку $176$ делится на $h$.

Значит:

(14) либо оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, либо оба сомножителя делятся на $11$, и числа $(s-16 t)/11$ и $(s^2-8 s t-304 t^2)/11$ являются квадратами целых чисел, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Продолжение следует.