Вариационное исчисление.Функционалы высоких порядков.

[fill240]

Здравствуйте.Никак не могу понять,как получать константы,в задачах высоких порядков,если концы свободны.
Т.Е уравнение Эйлера имеет 4ый порядок=>4 константы,а дано например 2 краевых условия.

не могли бы объяснить,как находить остальные константы?-желательно с примером.

Знаю,что надо выводить через 1ую вариацию,но как?

Из всей литературы нашел только один пример в Краснове,но там дано 2 краевых условия,у меня же бывают задачи без краевых условий,с 1им краевым,с 3мя
И еще один вопрос:
Что имеется ввиду под финитными функциями,и как их находить?

[SpBTimes]

А давайте конкретнее, вашу задачу, там и посмотрим.

fill240 в сообщении #883027 писал(а):

Что имеется ввиду под финитными функциями

С компактным носителем, вестимо?

[ИСН]

Вопрос Ваш (первый) уподоблю вопросу о том, как ехать по дороге, справа от которой растёт лес, а слева - нет. Да точно так же, как по любой другой. Ну вот была бы у Вас задача обычного, невысокого порядка, в которой свободны концы. Уравнение 2 порядка, скажем, а константа только одна. Что бы Вы делали тогда? Я думаю, обозначили бы второе краевое условие какой-то буквой, да и ехали бы дальше, нет?

[fill240]

$$\int_{0}^{1} (y''-48y)dx,y(0)=1,y(1)=1$$

-- 02.07.2014, 20:16 --

Если обычная со свободными концами,есть же естественные краевые условия $\ F'_{y'}(a)=0 \ F'_{y'}(b)=0$
-- 02.07.2014, 20:21 --

Вроде как можно получить условия через 1ую вариацию,но я ее не понимаю

Где $\ F(x,y,y',y'')=y''-48ydx$

Задача:Найти экстремали функционала.

Я умею находить экстремали,для данного функционала,но не знаю,как выразить остальные 2 константы

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Сформулируйте проблему(=задачу).

2.Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

fill240 в сообщении #883251 писал(а):

Если обычная со свободными концами,есть же естественные краевые условия $\ F'_{y'}(a)=0 \ F'_{y'}(b)=0$

Вот интересное кино! Откуда они, почему? чем они естественнее других, в которых там не 0, а 1, и которые точно так же могли бы случиться в природе?
Тут надо отъехать далеко назад. Допустим, вариационного исчисления не изобрели ещё даже. Допустим, Вы часто ищете минимум функции $x^2+y^2$ при заданном $y$, и умеете делать это хорошо. И допустим, что Вам приносят задачу: найти минимум этой же функции, но $y$ не задан. Как быть?
- - - - -
Впрочем, к Вашей задаче это всё не имеет ни малейшего отношения. Её решать вообще не надо. Очевидно же, что функционал может равняться любому числу.

[fill240]

т.е можно уравнения констант вводить любые?
Нам преподаватель сказал,мол выводить через 1ую вариацию

-- 03.07.2014, 00:01 --

Цитата:

Вот интересное кино! Откуда они, почему? чем они естественнее других, в которых там не 0, а 1, и которые точно так же могли бы случиться в природе?

Это для функционалов где максимальный порядок y' в F,равен 1.
Честно говоря,я не понимаю,как они выводятся, я просто знаю,что они такие

[ИСН]

Вопроса не понял, касательно же рекомендованного направления движения имею спросить: а если бы он сказал, что выводить нужно через дефенестрацию, что тогда? По-моему, если результат получен, то какая разница, каким методом, лишь бы верно.

-- менее минуты назад --

fill240 в сообщении #883358 писал(а):

Это для функционалов где максимальный порядок y' в F,равен 1.

Это немножко дофига меняет дело. Не знаю, правда, что такое порядок, ну да неважно.

[fill240]

Цитата:

Вопроса не понял, касательно же рекомендованного направления движения имею спросить: а если бы он сказал, что выводить нужно через дефенестрацию, что тогда? По-моему, если результат получен, то какая разница, каким методом, лишь бы верно.

заставляет выводить.

Цитата:

Это немножко дофига меняет дело. Не знаю, правда, что такое порядок, ну да неважно.

Я подразумевал,что там только y' фигурирует,т.е не существует производных y'' и выше
Ну это отдельный тип функционалов,если для них не заданы граничные условия,то используются эти,именуемые естественными

-- 03.07.2014, 00:12 --

Не могли бы вывести пожалуйста,для выше-написанной задачи?
Мне бы хотя бы еще один пример((!)один есть в краснове,но там немного иной случай) увидеть,как работать с 1ой вариацией

[SpBTimes]

Вы уравнение Эйлера-то знаете?

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{dF'_{y'}}{dx} + \frac{d^2F'_{y''}}{dx^2}=0 $$

[ИСН]

Но это же абсурд. Я не знаю, чего от Вас хотят с первой вариацией. Так не делается. Вы ищете минимум, а его нет. И максимума тоже.

[fill240]

SpBTimes в сообщении #883373 писал(а):

Вы уравнение Эйлера-то знаете?

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{dF'_{y'}}{dx} + \frac{d^2F'_{y''}}{dx^2}=0 $$

Да,знаю,из него я получу функцию Y,c некоторыми константами.
Подставляя известные краевые условия,я могу выразить часть констант.
Ну а если не дана 1 константа?-как её выразить?-препод говорит,используй первую вариацию

-- 03.07.2014, 00:30 --

ИСН в сообщении #883375 писал(а):

Но это же абсурд. Я не знаю, чего от Вас хотят с первой вариацией. Так не делается. Вы ищете минимум, а его нет. И максимума тоже.

Задача просто найти экстремали,выполнение Достаточного условия не требуется(Решение Эйлера,Лагранж,уравнение Якоби)

-- 03.07.2014, 00:32 --

Когда даны все краевые условия,я все могу посчитать.Но у меня бывают задачи и без какого либо условия.

И еще,можно вопрос по построении функции Грина?(я решение предоставлю,но в нем,есть непонятные мне моменты)

[svv]

Так экстремалей тоже нет. Возьмите параболу $y=a(x^2-x)+1$, она на краях имеет нужные значения. Увидьте, что, меняя параметр $a$, Вы можете получить любое значение функционала, потому что он зависит от $a$ линейно (плюс константа).

[fill240]

svv в сообщении #883400 писал(а):

Так экстремалей тоже нет. Возьмите параболу $y=a(x^2-x)+1$, она на краях имеет нужные значения. Увидьте, что, меняя параметр $a$, Вы можете получить любое значение функционала, потому что он зависит от $a$ линейно (плюс константа).

А можно поподробнее?