2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 16  След.
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 17:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Bonaqua в сообщении #881295 писал(а):
Если без лишних операций, то да: a \neq b чисто семантически.
В том-то и дело, что если у нас есть два имени $a$ и $b$, они могут обозначать одно и то же. Например, мы обозначим ширину прямоугольника $a$, а длину $b$ — ничто не запрещает тому прямоугольнику быть квадратом, и нам иметь $a = b$. Или мы знаем ещё и площадь $S$, а ширину не знаем. Мы не имеем права предположить, что обязательно $a\ne b$, потому что мы можем найти, что $S/a$ — а это $b$ — равно $a$.

Если вы знаете об указателях в программировании, у вас в руках неплохая аналогия: значения двух разных переменных-указателей могут содержать как разные адреса памяти, так и один в общем случае, и только при каких-то дополнительных ограничениях они этого не могут. Аналогия теряется, если вспомнить, что указатели могут указывать и на адрес, в котором они сами расположены, если это значения в оперативной памяти. Имена так на другие имена не ссылаются и вообще «автоматически разыменовываются».

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 17:44 


09/01/14

178
Цитата:
В том-то и дело, что если у нас есть два имени $a$ и $b$, они могут обозначать одно и то же. Например, мы обозначим ширину прямоугольника $a$, а длину $b$ — ничто не запрещает тому прямоугольнику быть квадратом, и нам иметь $a = b$. Или мы знаем ещё и площадь $S$, а ширину не знаем. Мы не имеем права предположить, что обязательно $a\ne b$, потому что мы можем найти, что $S/a$ — а это $b$ — равно $a$.

Согласен, пример с квадратом убедителен.
А второй мне немного не понятен, хотя и звучит тоже убедительно.
С цифрами-то как быть? $2\neq3$ -- думаю, чтобы доказать обратное, без софизмов здесь не обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пример как раз был дан для того, чтобы вы увидели, что с цифрами это очевидно (и верно), а с переменными - неверно. Здесь цифры играют роль констант. Бывают константы, которые обозначаются буквами, а не цифрами, например, $\pi,e,i,\varphi$ или в физике $g.$

То есть, когда вы говорите "множество $A$ по-любому не равно множеству $B$", надо сначала задуматься, в каком смысле у вас здесь употреблены буквы: это переменные или константы? Если переменные, то обозначаемые ими объекты могут быть случайно и равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Насчёт $2\ne3$: имена могут обозначать одно и то же, но не обязаны. Иначе все имена должны обозначать одно и то же, и толку от такого ноль.

Дополнение к предыдущему (это уже больше обоснования, чем примеры):

Если бы мы всегда всё знали, то могли бы и иметь вольность обозначать разные вещи всегда по-разному, но в случае незнания, чтобы разобраться, что как обозначить, нам придётся тогда сначала решить задачу (а это не обязательно получится, а без введения обозначений шансов ещё меньше). Такой подход неудобен, как и неиспользование нуля или электрического освещения.

Если же разные имена могут называть одно и то же, мы в дополнение получаем мощную вещь — замену. Мы можем заменить какое-то имя одним и тем же выражением во всех местах, и при этом справедливость рассуждения не изменится. Например, было
«Если $\angle BAC = \angle B'A'C'$, $\angle ABC = \angle A'B'C'$ и $|AB| = |A'B'|$, то $|AC| = |A'C'|$ и $|BC| = |B'C'|$»
(это один из признаков равенства треугольников). Заменим $A'\mapsto B, B'\mapsto A, C'\mapsto C$ и станет
«Если $\angle BAC = \angle ABC$, $\angle ABC = \angle BAC$ и $|AB| = |BA|$, то $|AC| = |BC|$ и $|BC| = |AC|$».
После преобразования это превращается в
«Если $\angle BAC = \angle ABC$, то $|AC| = |BC|$»
мы забесплатно получили теорему, о том, что если два угла треугольника равны, он равнобедренный.
Если каждое имя обозначает что-то своё, мы не сможем провести замену чисто механически, нам каждый раз придётся проверять, а не получилось ли что-то, что уже названо по-другому, и такая замена, опять же, не очень полезна.

При этом гарантия, что одно обозначение обозначает только одну вещь, а не несколько, остаётся всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #881324 писал(а):
Насчёт $2\ne3$: имена могут обозначать одно и то же, но не обязаны.

Ну, в общем, да. "Петя" и "Семёнов", например. Просто в математике это обычно избыточно. Когда мы говорим "треугольник $\textit{а}$ на рис. 5", нам незачем называть тот же треугольник $\textit{б}.$

Но когда мы, не глядя на конкретный чертёж, пишем абстрактные слова, типа "Для любых двух треугольников $a,b$ верно...", то мы должны учитывать шанс, что $a=b.$ Всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Bonaqua в сообщении #881312 писал(а):
С цифрами-то как быть? $2\neq3$ -- думаю, чтобы доказать обратное, без софизмов здесь не обойтись.
$2=3$ действительно не особо полезно, а вот, например, $2=0$ иногда бывает очень приятно.
Но Вы пока не думайте об этом.

Кстати, правильный ответ на мою задачку - 1, 3, 4, 5. Попробуйте хотя бы с ответом рабобраться, что к чему. И не забывайте формальные определения конечного множества: $x\in \{a,b,\dots,k\}\Rightarrow x=a\vee x=b\vee\dots \vee x=k$(в частности, $x\in \{a\} \Leftrightarrow x = a$) и подмножества: $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$, $A\subsetneq B\Leftrightarrow A\subseteq B \mathop{\&} A\neq B$.
В начале полезно побыть тупым компьютером и поприменять эти формальные определения, имея в виду смысл понятий, но не особо это показывая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Xaositect в сообщении #881336 писал(а):
В начале полезно побыть тупым компьютером и поприменять эти формальные определения

В самом начале полезно побыть ещё более тупым компьютером, и просто прочитать эти формальные определения. Тщательно. Разбираясь хотя бы со смыслом каждой буквы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:26 


09/01/14

178
Ну, в виду того, что $\left\{ \varnothing \right\}$ - булеан пустого множества, значит, само пустое множество, как я понимаю, является его собственным подмножеством. Ввиду этого, 3 и 5 точно верны; 1 верно по определению. Но 4? :o
Зная все определения, я не могу понять, почему 4 является правильный вариантом. Ладно, потом сам разберусь.
Но 7 почему не подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:31 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):
Но 7 почему не подходит?
post881244.html#p881244

-- Сб июн 28, 2014 19:33:00 --

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):
Ну, в виду того, что $\left\{ \varnothing \right\}$ - булеан пустого множества, значит, само пустое множество, как я понимаю, является его собственным подмножеством.
Это малосвязанные события.

-- Сб июн 28, 2014 19:33:30 --

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):
1 верно по определению
Они все верны или неверны по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Bonaqua, вы имеете дело с конечными множествами и потому можете выписать все их подмножества. Имея их перед глазами, вам будет проще ответить.

Xaositect в сообщении #880694 писал(а):
7. $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$

Один список для левого и один для правого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:36 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):
Зная все определения
Как вы можете одновременно знать вот это:
Xaositect в сообщении #881336 писал(а):
$A\subsetneq B\Leftrightarrow A\subseteq B \mathop{\&} A\neq B$
, знать, что 3 выражение верно и не понимать, почему верно четвертое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

Ну вот, проснулись arseniiv и Munin и загрузили бедного ТС по самое не могу всякими интерференциями да алгебрами булевыми ;-) Потихонечку нужно, по шажочкам ;-)
Bonaqua, ЕМНИП, вы так и не ответили вот на это:
Aritaborian в сообщении #881056 писал(а):
Возьмём набор множеств $A_i=\{i\}, i\in \mathbb{N}$. Очевидно, это будет бесконечный набор множеств. Найдём теперь $\bigcap_i A_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:39 


09/01/14

178
Цитата:
знать, что 3 выражение верно и не понимать, почему верно четвертое?

Знать и применять - вещи разные :-)

4 верно, поскольку пустое множество является собственным подмножеством своего булеана.
3 верно, поскольку верно $$\varnothing \subseteq \{\varnothing\}\Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$$
1 по определению, а 5 вы, собственно, сами доказали

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #881354 писал(а):
Потихонечку нужно, по шажочкам ;-)
Через ямы надо прыгать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 18:43 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Bonaqua, посмотрите, plz, выше. Я там отредактировал ;-)

(Оффтоп)

Бывают ямы, а бывают каньоны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 239 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group