Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[arseniiv]

Что занудного в пределах? Не в определении через дельту-эпсилон, а вообще. Разумеется, моя голова безнадёжно испорчена математикой, но мне определение производной через предел кажется более понятным. (Всю тему не читал.)

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879767 писал(а):

Сравнение на глаз. Вот песчинка - много меньше слона. Миллиметр - много меньше метра.

Так для этого вообще анализ не нужен, достаточно конечных разностей. Но если Вы хотите решить дифуру численно и разобраться насколько точным будет решение, не ставя эксперимента (например, предсказание траектории астероида), то анализ может и помочь.

-- 25.06.2014, 08:40 --

arseniiv в сообщении #879770 писал(а):

Что занудного в пределах? Не в определении через дельту-эпсилон, а вообще.

А что значит "вообще?" "Вообще" они никому не нужны, они нужны в основном для формулировки теории, легче понять производную и интеграл "вообще." Я говорю здесь о пределах функций в точке, а не о сходимости последовательностей.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879768 писал(а):

Нематематики -- это те, кто не собитается заниматься математикой профессионально, и они тоже заслуживают понимания и хотят понять.

Они не заслуживают только одного: чтобы их пичкали.

[arseniiv]

mishafromusa в сообщении #879773 писал(а):

А что значит "вообще?" "Вообще" они никому не нужны, они нужны в основном для формулировки теории, легче понять производную и интеграл "вообще." Я говорю здесь о пределах функций в точке, а не о сходимости последовательностей.

Будем считать, что я имел в виду предел функции $\mathbb R\to\mathbb R$ в точке независимо от определения. Что занудного в доказательстве нужных вещей про пределы при не таком неумеренно (это я про дельта-эпсилон) специализированном определении?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879733 писал(а):

mishafromusa в сообщении #879730 писал(а):

А вот я вам помогу. Наиболее простой способ интерпретировать

Но неправильный.

А чем неправильный? Это определение замечательно работает во всей гладкой механике, как минимум. Ну а то, что с физической точки зрения слишком малые приращения времени брать невозможно -- это другой вопрос. Зато можно решить дфуру и сравнить с экспериментом.

[Munin]

arseniiv в сообщении #879770 писал(а):

Что занудного в пределах? Не в определении через дельту-эпсилон, а вообще.

Имхо, ничего. Наоборот, предел мне кажется крайне интуитивно понятным: вот ведём пальцем по графику, и уткнулись в точку... Ба! Заноза.

mishafromusa в сообщении #879773 писал(а):

Так для этого вообще анализ не нужен, достаточно конечных разностей.

Ну да. Для этого - не нужен.

Нужен он, чтобы записать 2 закон Ньютона, и решить его как дифур при заданных начальных условиях.

mishafromusa в сообщении #879773 писал(а):

Но если Вы хотите решить дифуру численно

Я хочу не только численно.

Я хочу триединства: численно, графически, формульно-аналитически.

-- 25.06.2014 17:03:31 --

mishafromusa в сообщении #879798 писал(а):

А чем неправильный? Это определение замечательно работает во всей гладкой механике, как минимум.

Я не знаю, что такое за мифический единорог "гладкая механика". Я такого никогда не встречал, и подозреваю, что вы его выдумали.

А в механике, как разделе физики, он неправильный. Чем - я вам дал несколько намёков, и объяснил, что полное объяснение составляет много страниц текста.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879799 писал(а):

Я хочу триединства: численно, графически, формульно-аналитически.

Так кто же Вам отказывает? Что, у липшецевых функций графиков нет? Или с ними дифуры не решаются? Решаются, и почти все.

[Munin]

P. S. Есть ещё "механика" как раздел математики. Её изучают на мехматах. При этом слушателей не предупреждают, что это на самом деле не механика, а математический аппарат механики (как раздела физики). Впрочем, некоторые преподаватели достаточно честны, например, Арнольд, назвавший свой учебник (безусловно, хороший, ценный и содержательный) "Математические методы...". Этот раздел также в большой степени покрывается названиями "теоретическая механика" и "аналитическая механика", хотя теоретическая механика в контексте теорфизики - всё-таки не теряет связи с реальностью.

Но называть это механикой можно только в ограниченном смысле. И ни в коем случае не здесь - где речь идёт о нематематиках, которые с этой "математической механикой" никогда не столкнутся! И ни в коем случае не обсуждая фундаментальные понятия механики - которые принадлежат всё-таки миру физики.

-- 25.06.2014 17:14:08 --

mishafromusa в сообщении #879801 писал(а):

Так кто же Вам отказывает?

Никто. Но я при этом не вижу смысла отвлекаться на ерунду.

mishafromusa в сообщении #879801 писал(а):

Или с ними дифуры не решаются? Решаются, и почти все.

Можете сформулировать условия на дифур, которые гарантируют, что его решение будет липшицевым? :-)

Я думаю, Oleg Zubelevich посмеётся вдоволь.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879799 писал(а):

Я не знаю, что такое за мифический единорог "гладкая механика". Я такого никогда не встречал, и подозреваю, что вы его выдумали.

Это системы ОДУ, типа $y'=f(x,y)$, где $f$ достаточно гладкая,
например вся небесная механика без столкновений планет.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #879798 писал(а):

Это определение замечательно работает во всей гладкой механике, как минимум.

пока Вы предлагаете использовать этот метод в каком-то вводном курсе, для балбесов несопосбных понять язык $\varepsilon-\delta$ это еще можно обсуждать, но когда Вы начинаете распространять это на какие-то продвинутые разделы получается абсурд: Вы собираетесь преподавать теорию динамических систем людям, которые неспособны освоить определение предела?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879803 писал(а):

Можете сформулировать условия на дифур, которые гарантируют, что его решение будет липшицевым?

Я думаю, Oleg Zubelevich посмеётся вдоволь.

Да, могу, $f$ должно быть липшицевым по обеим переменным. И я предъявил ему доказательство соответствующей версии теоремы Пикара о существовании.

-- 25.06.2014, 09:31 --

Munin в сообщении #879803 писал(а):

Никто. Но я при этом не вижу смысла отвлекаться на ерунду.

Вам это кажется ерундой, т.к. Вы не видите связи математических понятий. Это простейший случай, от которого легко перейти к полной общности.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879806 писал(а):

Это системы ОДУ, типа $y'=f(x,y)$, где $f$ достаточно гладкая,

Это называется не "гладкой механикой", а системами ОДУ. Причём, я не знаю, что значит "достаточно гладкая", хотя подозреваю, что речь идёт о $C^n,\quad n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}.$

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879803 писал(а):

P. S. Есть ещё "механика" как раздел математики. Её изучают на мехматах. При этом слушателей не предупреждают, что это на самом деле не механика, а математический аппарат механики (как раздела физики).

Мы здесь обсуждаем математику, а не механику, замечание не по теме.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879811 писал(а):

Вам это кажется ерундой, т.к. Вы не видите связи математических понятий.

Вижу, но с классическим понятием предела.

mishafromusa в сообщении #879811 писал(а):

Это простейший случай, от которого легко перейти к полной общности.

Вам в этой теме многократно продемонстрировали, что не легко, вы проигнорировали. Не моё занятие пытаться воспроизвести эти усилия.

-- 25.06.2014 17:38:57 --

mishafromusa в сообщении #879818 писал(а):

Мы здесь обсуждаем математику, а не маханику, замечание не по теме.

Слово "механика" произнесли первый вы.

А ещё мы здесь обсуждаем нематематиков. Если вы отказываетесь их обсуждать - то вы автоматически лишаете смысла всякое своё участие в этой теме.

[Oleg Zubelevich]

кстати в теории гладких динамических систем совершенно спокойно возникают инвариантные меры с очень негладкой плотностью