2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Кольца с единицей.
Сообщение06.06.2014, 06:31 
Добрый день.

Пусть $B$ - подкольцо кольца $A$. Верно ли, что если $B$ - кольцо с единицей то и $A$ - кольцо с единицей?

Пока что в голову только пришли примеры того, что это утверждение верно($Z[i]$ и $Z$, например). Или, все-таки, есть какие-то контрпримеры?

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение06.06.2014, 06:54 
Что такое подкольцо?

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение06.06.2014, 06:58 
Это подмножество кольца, замкнутое относительно операций сложения и умножения их основного кольца.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение06.06.2014, 09:35 
Поищите контрпример в прямых произведениях колец.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение07.06.2014, 05:14 
Аватара пользователя
Это, если требовать неодноэлементности $B$. А если не требовать, то и искать не надо - одноэлементное подкольцо есть в любом кольце.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение07.06.2014, 15:20 
bot в сообщении #872675 писал(а):
Это, если требовать неодноэлементности $B$. А если не требовать, то и искать не надо - одноэлементное подкольцо есть в любом кольце.

Совершенно дурацкий вопрос, но множество $\{0\}$ будет являться подкольцом?

UPD:
Вроде бы является, но явно не кольцом с единицей.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение07.06.2014, 16:30 
nosochego в сообщении #872762 писал(а):
Совершенно дурацкий вопрос, но множество $\{0\}$ будет являться подкольцом?

Выше вы привели определение.

nosochego в сообщении #872762 писал(а):
Вроде бы является, но явно не кольцом с единицей.

Что такое единица?

Всё же я советую ещё и нетривиальные контрпримеры к вашей задаче поискать.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение08.06.2014, 14:30 
lena7 в сообщении #872804 писал(а):
Всё же я советую ещё и нетривиальные контрпримеры к вашей задаче поискать.
nosochego, если Вы знакомы с кольцами классов вычетов по модулю, можно поискать нетривиальные контрпримеры там.
Разумеется, в качестве исходного кольца нужно брать не само $\mathbb Z_m$ (там есть единица), а некое подкольцо $\mathbb Z_m$

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение09.06.2014, 06:02 
Аватара пользователя

(А и Бэ сидели на трубэ)

VAL, Вы не перепутали A и B?

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение09.06.2014, 09:16 

(А и Бэ сидели на трубэ)

bot в сообщении #873532 писал(а):
VAL, Вы не перепутали A и B?
Еще раз перечитал условие. Ничего не перепутал.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение10.06.2014, 06:21 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Посыпаю голову пеплом.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение14.06.2014, 16:06 
Попробовал решить в общем виде.

Допустим, что кольцо $A$ не имеет единицы, а элемент $b$ - единичный элемент кольца $B$.
Т.к. этот элемент является единичным, то $b \cdot b = b$.
Для кольца A такое произведение невозможно, т.к. оно не имеет единичного, а следовательно, если утверждение о единице верно.

Сильно сомневаюсь в том, что в кольце не может быть такого: $b \cdot b = b$

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение14.06.2014, 17:10 
nosochego в сообщении #875362 писал(а):
Сильно сомневаюсь в том, что в кольце не может быть такого: $b \cdot b = b$

Может, но из этого не следует, что $b$ -- единица.

Я не понимаю, чего вы там пытаетесь в общем виде решить, если утверждение неверно. Тривиальный контрпример очевиден. Нетривиальные -- не менее очевидны.

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение14.06.2014, 17:19 
Цитата:
Тривиальный контрпример очевиден

К сожалению, для меня этот контрпример не очевиден.
Вы мне посоветовали попробовать поискать его в прямых произведениях колец, т.е. получается, что подкольцом является одно из колец, образующее произведение?
Не могли бы Вы дать более точную наводку?

 
 
 
 Re: Кольца с единицей.
Сообщение14.06.2014, 17:34 
nosochego в сообщении #875381 писал(а):
К сожалению, для меня этот контрпример не очевиден.

$\{0\}$ в любом кольце без единицы.

nosochego в сообщении #875381 писал(а):
что подкольцом является одно из колец, образующее произведение?

Да.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group