Кольца с единицей.

[nosochego]

Добрый день.

Пусть $B$ - подкольцо кольца $A$. Верно ли, что если $B$ - кольцо с единицей то и $A$ - кольцо с единицей?

Пока что в голову только пришли примеры того, что это утверждение верно($Z[i]$ и $Z$, например). Или, все-таки, есть какие-то контрпримеры?

[lena7]

Что такое подкольцо?

[nosochego]

Это подмножество кольца, замкнутое относительно операций сложения и умножения их основного кольца.

[lena7]

Поищите контрпример в прямых произведениях колец.

[bot]

Это, если требовать неодноэлементности $B$. А если не требовать, то и искать не надо - одноэлементное подкольцо есть в любом кольце.

[nosochego]

bot в сообщении #872675 писал(а):

Это, если требовать неодноэлементности $B$. А если не требовать, то и искать не надо - одноэлементное подкольцо есть в любом кольце.

Совершенно дурацкий вопрос, но множество $\{0\}$ будет являться подкольцом?

UPD:
Вроде бы является, но явно не кольцом с единицей.

[lena7]

nosochego в сообщении #872762 писал(а):

Совершенно дурацкий вопрос, но множество $\{0\}$ будет являться подкольцом?

Выше вы привели определение.

nosochego в сообщении #872762 писал(а):

Вроде бы является, но явно не кольцом с единицей.

Что такое единица?

Всё же я советую ещё и нетривиальные контрпримеры к вашей задаче поискать.

[VAL]

lena7 в сообщении #872804 писал(а):

Всё же я советую ещё и нетривиальные контрпримеры к вашей задаче поискать.

nosochego, если Вы знакомы с кольцами классов вычетов по модулю, можно поискать нетривиальные контрпримеры там.
Разумеется, в качестве исходного кольца нужно брать не само $\mathbb Z_m$ (там есть единица), а некое подкольцо $\mathbb Z_m$

[bot]

(А и Бэ сидели на трубэ)

VAL, Вы не перепутали A и B?

[VAL]

(А и Бэ сидели на трубэ)

bot в сообщении #873532 писал(а):

VAL, Вы не перепутали A и B?

Еще раз перечитал условие. Ничего не перепутал.

[bot]

(Оффтоп)

Посыпаю голову пеплом.

[nosochego]

Попробовал решить в общем виде.

Допустим, что кольцо $A$ не имеет единицы, а элемент $b$ - единичный элемент кольца $B$.
Т.к. этот элемент является единичным, то $b \cdot b = b$.
Для кольца A такое произведение невозможно, т.к. оно не имеет единичного, а следовательно, если утверждение о единице верно.

Сильно сомневаюсь в том, что в кольце не может быть такого: $b \cdot b = b$

[lena7]

nosochego в сообщении #875362 писал(а):

Сильно сомневаюсь в том, что в кольце не может быть такого: $b \cdot b = b$

Может, но из этого не следует, что $b$ -- единица.

Я не понимаю, чего вы там пытаетесь в общем виде решить, если утверждение неверно. Тривиальный контрпример очевиден. Нетривиальные -- не менее очевидны.

[nosochego]

Цитата:

Тривиальный контрпример очевиден

К сожалению, для меня этот контрпример не очевиден.
Вы мне посоветовали попробовать поискать его в прямых произведениях колец, т.е. получается, что подкольцом является одно из колец, образующее произведение?
Не могли бы Вы дать более точную наводку?

[lena7]

nosochego в сообщении #875381 писал(а):

К сожалению, для меня этот контрпример не очевиден.

$\{0\}$ в любом кольце без единицы.

nosochego в сообщении #875381 писал(а):

что подкольцом является одно из колец, образующее произведение?

Да.