ошибки у Фихтенгольца

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #874979 писал(а):

Зорич дает определение дифференциала, как и следовало ожидать, по Лагранжу.
В точности то же самое делает и Фихтенгольц на стр. 211 - 212 том первый издание 1962 года.
Зачем же Вы здесь мне неправду написали?

ну если Вы не понимаете разницы между тем, что пишет Фихтенгольц и тем, что пишет Зорич:



то тут уж ничего не поделаешь.

V_I_Sushkov в сообщении #874979 писал(а):

В чём именно он устарел?

Ну это тоже самое. Вы просто почитайте учебники, кроме Фихтенгольца: Рудина, Лорана Шварца "Анализ", Дьедонне "Основы современного анализа" англоязычные тексты почитайте по анализу авторов Folland, Bruce Driver

-- Пт июн 13, 2014 17:46:39 --

Munin в сообщении #874980 писал(а):

А в ней дано определение, согласно которому дифференциал $n$-го порядка (он же $n$-я производная) $f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$ - то есть, как я понимаю, всё-таки тензор

это инвариантный объект, но не тензор, линейный оператор $A:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ не тензор, просто по определению. (в области определения и в области значений координаты меняются независимо)
"$f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$" -- я кстати ровно это и имел в виду:

Oleg Zubelevich в сообщении #874901 писал(а):

Однако, старшим производным тоже можно придать инвариантный смысл и это хорошо известно, см. Колмогоров-Фомин

Munin в сообщении #874980 писал(а):

P. S. Определения производной одной переменной, дифференциала одной переменной, дифференциала многих переменных в Фихтенгольце и Зориче совпадают (с точностью до смысла), и проблема только в более сумбурных формулировках, как я понимаю: в Зориче ясно сказано, что $A\cdot(x-a)$ - это функция (очевидно, двух переменных), а в Фихтенгольце говорится про "выражение, которое представляет линейную функцию".

Ещё, в Фихтенгольце явно и отдельно формулируется понятие дифференциала независимой переменной, а в Зориче - нет. Видимо, $dx^\imath$ следует понимать как $d(x^\imath(x)).$

у Зорича в отличие от Фихтенгольца последовательно проводится терминология многообразий касательных пространств, далее дифференциальных форм , Зорич вводит поняти "предел по базе" и т.д. и т.д.

Munin в сообщении #874980 писал(а):

где в Зориче сформулировано утверждение, о котором вы говорите?

которое?

[Munin]

(Оффтоп)

Дьедонне 1964 год, Фихтенгольц - 2003, и кто из них современнее? :lol1:

Oleg Zubelevich в сообщении #874982 писал(а):

это инвариантный объект, но не тензор, линейный оператор $A:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ не тензор, просто по определению.

Хорошо, а в частном случае $X=\mathbb{R}^d,\quad Y=\mathbb{R}$?

Oleg Zubelevich в сообщении #874982 писал(а):

у Зорича в отличие от Фихтенгольца последовательно проводится терминология многообразий касательных пространств, далее дифференциальных форм , Зорич вводит поняти "предел по базе" и т.д. и т.д.

Да, но это всё в пресловутой 10 главе, а до неё ещё, как говорится, дожить надо. А перед ней, в первом томе, - терминология более традиционная. Даже слова "многообразие" нет, а есть "график функции".

Oleg Zubelevich в сообщении #874982 писал(а):

Munin в сообщении #874980 писал(а):

где в Зориче сформулировано утверждение, о котором вы говорите?

которое?

Которое вот это вот:

Oleg Zubelevich в сообщении #874925 писал(а):

Дифференциалы второго порядка и далее тензором не являются, что тоже хорошо известно.

Впрочем, можно считать, что вы ответили.

-- 13.06.2014 19:02:30 --

(Оффтоп)

Кстати, где скачать этих Фолланда и Драйвера? Хотел написать в ЛС, но у вас отключены ЛС.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #874987 писал(а):

Фихтенгольц - 2003, и кто из них современнее?

не беспокойтесь, Фихтенгольц-2030 тоже будет, это вместо того, чтоб Фоланда перевести, или Шварца переиздать

Munin в сообщении #874987 писал(а):

Хорошо, а в частном случае $X=\mathbb{R}^d,\quad Y=\mathbb{R}$?

а давайте общий случай
$A:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n,\quad y=Ax,\quad A=(a^i_j)$ -- линейный оператор.

точка зрения №1

меняем координаты в образе: $y=Cy'$ ;меняем координаты в области определения $x=Px'$ результат: матрица оператора поменялась так: $A'=C^{-1}AP$ -- нет , не тензор

точка зрения №2: менять координаты в образе запрещается. Остается:

$$A'=AP\qquad (*)$$

. Спрашивается, что это за объект задается матрицей с таким законом преобразования? Ответ: Это просто набор линейных функций $f^j(x)=a^j_kx^k$. При фиксирванном $j$ компоненты $a^j_i$ преобразуются в соответствие с формулой (*) как ковектор.

Munin в сообщении #874987 писал(а):

Впрочем, можно считать, что вы ответили.

под неинвариантностью дифференциала второго порядка понимается, что $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ -- не тензор

Munin в сообщении #874987 писал(а):

Кстати, где скачать этих Фолланда и Драйвера? Хотел написать в ЛС, но у вас отключены ЛС.

ловите http://files.mail.ru/90B52CA0286144A8A33C5CE11A833DB4

[V_I_Sushkov]

Munin в сообщении #874980 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #874925 писал(а):

Дифференциалы второго порядка и далее тензором не являются, что тоже хорошо известно.

Дифференциалы высших порядков (функций многих переменных) в Зориче вообще не вводятся до главы "Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения". А в ней дано определение, согласно которому дифференциал $n$-го порядка (он же $n$-я производная) $f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$ - то есть, как я понимаю, всё-таки тензор. Не поясните ли этот момент? <...>

Мой оппонент уводит обсуждение в сторону, а я хотел бы побыстрее исчерпать очередное ответвление.
Поэтому, извините за вмешательство, ответ дам я.

Объясняю на примере вещественной функции нескольких вещественных аргументов.
Пусть $y = f(\overrightarrow{x})$
Первый дифференциал по Лагранжу - главная линейная (по приращению аргумента) часть функции
$dy = \operatorname{grad}(f(\overrightarrow{x}))\overrightarrow{\Delta x}$
Разумеется, здесь я старался изобразить скалярное произведение градиента и приращения.
Второе производное отображение получится, если заняться линеаризацией первого.
По второму аргументу $\overrightarrow{\Delta x}$ первое уже линейно.
Поэтому линеаризация по $\overrightarrow{\Delta x}$ ничего нового не даст (линейное приближение к линейной функции - она сама).
А вот линеаризацию по первому аргументу $\overrightarrow{x}$ проделаем (в точности так, как вычисляют первый дифференциал). Вот что мы получим:
$ddy = (\overrightarrow{\delta x})^TM\overrightarrow{\Delta x}$
Здесь M - матрица вторых частных производных от функции по каждому отдельному аргументу (по координате вектора икс).
Всё как в теории билинейных и квадратичных форм: вектор справа от матрицы - вектор столбец,
вектор слева от матрицы - тоже, но транспонированный в строку.
Обратите внимание: это билинейная форма. У неё три векторных аргумента. По двум (по приращениям) она линейна, т.е. билинейна. От вектора $\overrightarrow{x}$ зависят коэффициенты этой билинейной формы. Её можно рассматривать как тензорное поле (второго ранга).
Теперь делаем следующую операцию: симметризацией превращаем билинейную форму в квадратичную, это и есть второй дифференциал в старинном смысле этого слова:
$d^2y = (\overrightarrow{\Delta x})^TG\overrightarrow{\Delta x}$
Здесь уже матрица Гессе - симметричная часть матрицы M.
Антисимметричная часть бесследно теряется.
Разумеется, это квадратичная функция, не полилинейная, не тензорное поле.
Если мы захотим ее линеаризовать с целью получения следующего дифференциала - ничего хорошего не получится. Квадрат приращения мешает.
Надо сначала (поляризацией) восстановить второе производное отображение (билинейную функцию), затем её линеаризовать, полученное третье производное отображение симметризовать и тогда получится третий дифференциал в старинном смысле этого слова.
Здесь становится понятной необходимость равенства смешанных производных (симметрия матрицы Гессе): без неё было бы невозможным восстановить второе производное отображение и следовательно у нас не получилось бы, что третий дифференциал есть дифференциал второго.
Наиболее ясное описание всего этого я видел в учебнике Колмогорова и Фомина.
Описание у Лорана Шварца (кажется, 1974 года) читать очень сложно из-за пестроты обозначений - рябит в глазах, суть тонет в множестве второстепенных мелочей.

Но всё это, повторяю, не имеет отношения к поставленному мной вопросу об ошибке Фихтенгольца. Мой оппонент топит вопрос в посторонних словах и поучениях в мой адрес, которых я у него не просил.
Если он хочет знать, читал ли я "Анализ" Лорана Шварца - да, у меня в трех метрах от стула на полке стоит издание 1972 года, которое я купил в магазине в момент его появления на прилавке. Сначала очень обрадовался, а потом понял, что нового из него мало что можно узнать.
Все цитаты, которые приводит мой оппонент, - вне поставленного мной вопроса.
Речь идет о конкретной ошибке Фихтенгольца в теме дифференциалов функции.
Эта ошибка породила в прошлом и до сих пор порождает тяжёлые повреждения математического мышления студентов СССР и теперь - России.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #874992 писал(а):

ловите

Спасибо!

Фолланд, я гляжу, начинается уже после Рудина. Драйвер даёт определение производной, но тоже похож на продвинутый текст.

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

А вот линеаризацию по первому аргументу $\overrightarrow{x}$ проделаем (в точности так, как вычисляют первый дифференциал). Вот что мы получим:
$ddy = (\overrightarrow{\delta x})^TM\overrightarrow{\Delta x}$
Здесь M - матрица вторых частных производных от функции по каждому отдельному аргументу (по координате вектора икс).
Всё как в теории билинейных и квадратичных форм: вектор справа от матрицы - вектор столбец,
вектор слева от матрицы - тоже, но транспонированный в строку.
Обратите внимание: это билинейная форма.

нет, это не билинейная форма, это вообще не тензор
как раз под неинвариантностью дифференциала второго порядка понимается, что $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ -- не тензор, а $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ -- тензор -- это и есть инвариантность первого дифференциала, что по-сути, и написано у Фихтенгольца

[Munin]

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

симметризацией превращаем билинейную форму в квадратичную

Мило.

Я не знаю, язык ли это 19 века, но я не знаю языка, на котором вы говорите. Симметризация - это одно действие, насколько я до сих пор знал, а превращение билинейной формы в квадратичную - другое. И я не знаю, что за обозначения вы используете, не вводя, как сами собой разумеющиеся ($\overrightarrow{\delta x}$).

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

Антисимметричная часть бесследно теряется.

Оказывается, она там была.

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

Если мы захотим ее линеаризовать с целью получения следующего дифференциала

Странный рецепт.

Наверное, я избегу вступать с вами в разговор, и даже уточнять что-либо. Пускай этим Oleg Zubelevich занимается. Его язык я хоть иногда понимаю, а в остальных случаях он иногда снисходит до ссылки на словарь.

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

Наиболее ясное описание всего этого я видел в учебнике Колмогорова и Фомина.

С вашим рассказом оно не совпадает чуть более чем полностью.

[V_I_Sushkov]

Oleg Zubelevich в сообщении #875026 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

А вот линеаризацию по первому аргументу $\overrightarrow{x}$ проделаем (в точности так, как вычисляют первый дифференциал). Вот что мы получим:
$ddy = (\overrightarrow{\delta x})^TM\overrightarrow{\Delta x}$
Здесь M - матрица вторых частных производных от функции по каждому отдельному аргументу (по координате вектора икс).
Всё как в теории билинейных и квадратичных форм: вектор справа от матрицы - вектор столбец,
вектор слева от матрицы - тоже, но транспонированный в строку.
Обратите внимание: это билинейная форма.

нет, это не билинейная форма, это вообще не тензор
как раз под неинвариантностью дифференциала второго порядка понимается, что $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ -- не тензор

Это не билинейная форма?
УУУУУУУУ - ХАААААА - ХАААААА - ХАААААА!!!!!
Это поле билинейных форм, т.е. тензорное поле.
Всё, голубчик, с Вами всё ясно.
Тут где-то была кнопочка "игнор", сейчас я её найду для Вас...

[Oleg Zubelevich]

V_I_Sushkov в сообщении #875037 писал(а):

Это поле билинейных форм, т.е. тензорное поле.

твердая двойка. Сочувствую Вашим студентам. За 41 год стажа простые вещи можно было и освоить

[Lia]

V_I_Sushkov
Устное замечание за злоупотребление средствами форматирования (крупный шрифт).

[Munin]

Кстати, V_I_Sushkov, я правильно понимаю вашу позицию: Фихтенгольц плох, но вузы, которые его не используют - плохие?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #875026 писал(а):

это не билинейная форма, это вообще не тензор

Билинейная форма -- не есть тензор, она есть форма.

Oleg Zubelevich в сообщении #875026 писал(а):

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ -- не тензор

Любая производная есть тензор, и вторая -- не исключение.

[V_I_Sushkov]

V_I_Sushkov в сообщении #874979 писал(а):

Вот сейчас смотрю на экране Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. 1997 год.
Страница 176 и 177.
Зорич дает определение дифференциала, как и следовало ожидать, по Лагранжу.
В точности то же самое делает и Фихтенгольц на стр. 211 - 212 том первый издание 1962 года.
Зачем же Вы здесь мне неправду написали?

Oleg Zubelevich, Вы занимаетесь неполным цитированием.
Из этих моих слов при цитировании Вы вырезали две первые строки.
И опять уводите обсуждение от ошибки Фихтенгольца в другую сторону.

-- 13.06.2014, 20:23 --

Munin в сообщении #875054 писал(а):

Кстати, V_I_Sushkov, я правильно понимаю вашу позицию: Фихтенгольц плох, но вузы, которые его не используют - плохие?

А где Вы видели мою общую оценку учебнику Фихтенгольца?
Я таких оценок нигде не давал.
Эта тема - только про конкретные ошибки у Фихтенгольца и я описал одну из них, на мой взгляд, наиболее вредоносную.
Просто её надо исправить.
В целом этот учебник принес очень много пользы стране.
И сейчас приносит.
Любители излишне высокопарной математической речи, как правило, проигрывают в практическом решении задач тем, кто учился с использованием книг уровня Г.М. Фихтенгольца.

-- 13.06.2014, 20:27 --

Munin в сообщении #875034 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #875019 писал(а):

Наиболее ясное описание всего этого я видел в учебнике Колмогорова и Фомина.

С вашим рассказом оно не совпадает чуть более чем полностью.

Показать на конкретном примере?

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Тут уже несколько раз был обруган Зорич (не знаю, подразумевался ли Зорич в сообщении о высокопарной математической речи выше) за излишнюю строгость и пуризм. А между тем в Зориче-I очень много примеров задач естествознания, как в упражнениях так и в параграфах (эллиптичность планетарных орбит, принцип Ферма и закон Снеллиуса, задача Гюйгенса, условный экстремум как вопрос о положении материальной точки в потенциальном поле сил и стесненной идеальными связями, уравнение Эйлера и закон Бернулли, задача об эллиптическом и параболическом зеркале, метод Размерности и П-теорема, ...), изложение геометрично где только возможно и сопровождается наглядными схемами и иллюстрациями, каждая глава начинается с мотивации к определениям и задачам, которые в ней будут далее даваться (например в начале главы «Дифференциальное исчисление» ставится задача математического описания мгновенной скорости движущегося тела, которая потом приводит к понятию производной). На учебник повлияли и высоко оценили Арнольд и Колмогоров, Арнольд был противником бурбакизма и пуризма, так что его высокая оценка может говорить много об этом аспекте. Учебник современен, логично строен, полон разнообразных примеров из естествознания и, как по мне, в отличии от Фихтенгольца не столь зануден. Чего ещё можно желать от учебника по матану-I? :3

[corvus42]

(Оффтоп)

Я, как живой студент, тоже отдаю предпочтение Зоричу перед Фихтенгольцем. Читать его просто интереснее. Пределы по фильтру, топология, многообразия, диф. исчисление на произвольных нормированных пространствах, диф. формы. Это лучше, чем 100500 способов взять интеграл.

Кстати, вообще кто-нибудь из живых математиков ещё считают интегралы нечисленно или не с помощью компьютерной алгебры (вроде бы я где-то слышал, что задача выражения интеграла в элементарных функциях (если он выражается) уже алгоритмически разрешена)?