Поворот 4-мерного пространства вокруг плоскости

[ewert]

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

Матрица R то такая?
$\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Такая, но с точностью до наоборот.

[Munin]

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

при попытке ортогонализовать их, получаются они же, значит я сразу выбрал базис ортонормированный.

Нет, не нормированный, а пока ортогональный. Ортонормированный = ортогональный + нормированный.

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

а нормирую, везде элемент на корень делённый получаю. это так должно быть?

Да. И что получается?

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

Матрица R то такая?
$\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Да.

[StahisT]

ewert в сообщении #864984 писал(а):

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

Матрица R то такая?
$\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Такая, но с точностью до наоборот.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0 & 0 & -\sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}$

Yes?

[Munin]

Да, я ошибся, забыл задание, и перепутал "вращение в плоскости" и "вращение вокруг плоскости".

[ewert]

Да.

Кстати: соответственно, первые два вектора можно бы и не нормировать и даже не ортогонализовывать (между собой). А вот два последних -- нужно.

И ещё кстати:

Munin в сообщении #864923 писал(а):

Причём, что смешно, он уже от вашего самодельного базиса будет не зависеть.

Что ещё смешнее: ну не буквально же не будет.

[StahisT]

Munin в сообщении #864988 писал(а):

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

при попытке ортогонализовать их, получаются они же, значит я сразу выбрал базис ортонормированный.

Нет, не нормированный, а пока ортогональный. Ортонормированный = ортогональный + нормированный.

StahisT в сообщении #864982 писал(а):

а нормирую, везде элемент на корень делённый получаю. это так должно быть?

Да. И что получается?

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{ 1 }{\sqrt{2}} & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \\ \frac{ -1 }{\sqrt{2}} & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{ -2 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

[Munin]

Теперь вот это то, что получается, называете матрицей перевода из стандартного базиса в новый (ортонормированный) базис - матрицей $T.$ И составляете, как я уже говорил, произведение $T^{-1}RT.$

(Оффтоп)

ewert в сообщении #864998 писал(а):

Кстати: соответственно, первые два вектора можно бы и не нормировать и даже не ортогонализовывать (между собой).

В принципе, да, но $T^{-1}=T^{\mathrm{T}}$ - приятная оптимизация вычислений.

[ewert]

Munin в сообщении #865007 писал(а):

$T^{-1}=T^{\mathrm{T}}$ - приятная оптимизация вычислений.

Это ещё как сказать. Обратить матрицу два на два -- плёвое дело, а вот выписывать корни -- немножко противно.

[StahisT]

Munin в сообщении #865007 писал(а):

Теперь вот это то, что получается, называете матрицей перевода из стандартного базиса в новый (ортонормированный) базис - матрицей $T.$ И составляете, как я уже говорил, произведение $T^{-1}RT.$

(Оффтоп)

ewert в сообщении #864998 писал(а):

Кстати: соответственно, первые два вектора можно бы и не нормировать и даже не ортогонализовывать (между собой).

В принципе, да, но $T^{-1}=T^{\mathrm{T}}$ - приятная оптимизация вычислений.

таак?
$\begin{pmatrix} 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{2}} & \frac{ -1 }{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & \frac{ -2 }{\sqrt{6}}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \pi/3 & \sin \pi/3 \\ 0 & 0 & -\sin \pi/3 & \cos \pi/3 \end{pmatrix}$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{ 1 }{\sqrt{2}} & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \\ \frac{ -1 }{\sqrt{2}} & \frac{ 1 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{ -2 }{\sqrt{6}} & 0 & \frac{ 1 }{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

-- 18.05.2014, 22:42 --

я нигде не наврал?

[Munin]

ewert в сообщении #865010 писал(а):

Обратить матрицу два на два -- плёвое дело, а вот выписывать корни -- немножко противно.

Четыре на четыре.

Ну, а что делать, корни есть корни.

StahisT в сообщении #865024 писал(а):

я нигде не наврал?

Да.

[svv]

А перемножать Вы не собираетесь? Хочется же увидеть конечный результат.

[StahisT]

svv в сообщении #865134 писал(а):

А перемножать Вы не собираетесь? Хочется же увидеть конечный результат.

в процессе вот

-- 19.05.2014, 13:20 --

умножил, домножил на 12 и вот что-то такое получилось, если не накосячил...


$\begin{pmatrix} 9 & 2\sqrt{6}+3 & 0 & 6-2\sqrt{3} \\ \sqrt{3}-6 & 7 & 0 & 3\sqrt{6}+\sqrt{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 6+3\sqrt{2} & 2-3\sqrt{6} & 0 & 8 \end{pmatrix}$

Это окончательный ответ?

[arseniiv]

Можете сделать парочку тестов. Применить эту матрицу к вектору, который ортогонален плоскости вращения. Он не должен измениться. Раз тут четырёхмерие, лучше ещё взять и другой вектор, ортогональный плоскости вращения, но не коллинеарный первому, и сделать проверку и для него. Для порядка ещё надо проверить сколько-то (то ли два, то ли двух не хватит) неколлинеарных векторов в плоскости вращения и убедиться, что они вращаются, и все в одну сторону и на один и тот же угол (можно не вычислять угол, а обойтись скалярным произведением, только векторы стоит нормировать).

[svv]

Точно неправильно, ведь матрица поворота должна быть ортогональной.