2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение14.11.2007, 00:14 
Заслуженный участник


31/12/05
1407
Lion писал(а):
Может, и в исходном уравнении можно что-то такое сделать? :wink:
Нет, у него полная группа Галуа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Алексей К. писал(а):
(сделанное в связи с очередным манифестом от PSP)


У меня был только один манифест! Откуда очередной взялся??!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2008, 18:02 


17/06/08
2
Все олимпиадные задачи подразумевают нестандартное и негромоздкое решение. Замечу, что данное уравнение заменой $$ x = \frac{1}{t} $$ сводится к $$ t^4 + t - 1 = 0 $$ которое на форуме уже обсужделось.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение02.06.2010, 19:01 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Primat55 в сообщении #128637 писал(а):
Замечу, что данное уравнение заменой $$ x = \frac{1}{t} $$ сводится к $$ t^4 + t - 1 = 0 $$ которое на форуме уже обсужделось.

Можно ссылку? Поиск не ищет.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 18:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
нг в сообщении #86136 писал(а):
Iliya
Банить Вас никто не будет. Просто подобные длинные формулы следует разбивать (например, на +, -, и т.п.). И ещё — упрощать надо.


Упрощать --- это понижать порядок вложенных вещественных радикалов (в приведённой выше формуле он равен 4)? Но такое упрощение здесь может оказаться просто невозможным. (Maple и другие системы компьютерной алгебры отказываются упрощать это выражение, но вряд ли это стоит считать строгим доказательством отсутствия упрощения такого рода.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение26.04.2011, 00:14 


02/05/10
49
Найдем вещественные корни.
$x^4-x^3-1=0$
$x^3(x-1)=1$
Как уже было сказано выше заменяем:
$x=\frac{1}{t}$
Очевидно, что:
$t^4+t-1=0$
Пусть некоторое число $u$ — неопределенный коэффициент.
$(t^2+u)^2-u^2-2ut^2+t-1=0$
$(t^2+u)^2-((\sqrt{2u}t-\frac{1}{(2\sqrt{2u})})^2-\frac{1}{8u}+1+u^2)=0$
Чтобы получить разность квадратов нам нужно найти такое $u$ при котором "ненужный" кусок уравнения обратится в ноль, для этого найдем корни уравнения:
$-\frac{1}{8u}+1+u^2=0$
Далее мы получаем разность квадратов, и легко решаемое уравнение:
$t^2+u+\sqrt{2u}t-\frac{1}{2\sqrt{2u}}=0$

Приближенно вычислив корни получим, что они приближенно равны: -0,82 и 1,42

Извиняюсь, если что-то не по правилам форума сделал, первый раз формулы верстаю, если что напишите, я исправлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение27.08.2011, 21:15 


25/08/11

1074
На самом деле вы изложили стандартный способ решения уравнения 4 степени через 3 (резольвенту). Беда в одном-как уравнение третьей степени для u планируете решить?
Формула Кардано-это определённый миф. На самом деле нет способа извлечь в ней корни третьей степени. В том смысле, что нельзя извлечь корень из комплексного числа, записав его как комплексное число в алгебраической форме. Не умеем. Точно также, как не умеем по данному $\sin 3x$ найти $\sin x$ по формуле тройного угла-это одна и та же задача.
И вообще решение алг. уравнений-это область мифологическая. Уравнения $2^x=5$ или $\sin x=1/5$ тоже не решаются в радикалах, но их решают в школе и никто не плачет. Уравнение пятой степени были решено явно через гипергеометрическую функцию $ {}_4F_3$ ещё в 19 веке, решение следует в несколько строк из формулы обращения Лагранжа. Алгебраисты запугали всех своими маразматическими построениями, а аналитики им по инерции верят. Например, существует простая явная формула для решения любого уравнения произвольной степени через его коэффициенты, которая выписывается в две строки в виде явного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение27.08.2011, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
sergei1961 в сообщении #478143 писал(а):
Например, существует простая явная формула для решения любого уравнения произвольной степени через его коэффициенты, которая выписывается в две строки в виде явного ряда.


в тэта-функциях без рядов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение28.08.2011, 08:38 


25/08/11

1074
А тета-функция-это не ряд? А модулярное уравнение для выписывания этой тета-функции как решать будете-в учебниках просто пишется, что оно разрешимо, там нужно найти обратную к сложной трансцендентной функции? Хоть где нибудь видели кроме теории решение этим способом конкретного уравнения $x^5\pm x \pm1=0$ (при некоторых расстановках знаков явно решается, знаю). На мой взгляд это опять мифология.
И это только для 5 порядка. А выше-это не совсем те тета-функции, которые мы с Вами знаем. Это тета-функции Мамфорда-эллиптические интегралы на сложнейших многообразиях. Наверное, это замечательная теория, но не имеет НИКАКОГО отношения к решению уравнений реальному.
А реальные формулы-это через гипергеометрию. И как венец-общая формула, выведенная Меллиным в начале 20-века. Самое сложное в ней- это гамма-функции от коэффициентов или их сумм, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение07.09.2011, 19:52 


02/05/10
49
sergei1961 в сообщении #478143 писал(а):
Например, существует простая явная формула для решения любого уравнения произвольной степени через его коэффициенты, которая выписывается в две строки в виде явного ряда.
А что это за формула? Только через коэффициенты? А как же тогда теорема Абеля?
sergei1961 в сообщении #478143 писал(а):
Формула Кардано-это определённый миф. На самом деле нет способа извлечь в ней корни третьей степени. В том смысле, что нельзя извлечь корень из комплексного числа, записав его как комплексное число в алгебраической форме. Не умеем. Точно также, как не умеем по данному $\sin3x$ найти $\sin{x}$ по формуле тройного угла-это одна и та же задача.
Не совсем понял.

И как показать связь задачи с синусами с задачей про извлечение корня из комплексного числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение07.09.2011, 21:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
sergei1961 в сообщении #478143 писал(а):
В том смысле, что нельзя извлечь корень из комплексного числа, записав его как комплексное число в алгебраической форме.
А что мешает извлечь из экспоненциальной, а потом обратно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение08.09.2011, 06:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
arseniiv в сообщении #481283 писал(а):
А что мешает извлечь из экспоненциальной, а потом обратно?
Ничего не мешает, если только не трактовать алгебраическую форму записи как содержащую только вещественные радикалы (и никаких косинусов с арккосинусами и т.п.). Записав $\sqrt[3]{a+bi}=x+yi$, мы не сможем $x$ и $y$ выразить только через вещественные радикалы с $a$ и $b$ (например, для квадратного корня $\sqrt{a+bi}$ это вполне возможно). Почувствовать (но не доказать!) это можно, если попробовать поискать $x$ и $y$ из соответствующей системы уравнений: здесь нужно будет решать кубическое уравнение, причём обязательно в неприводимом случае, т.е. в формуле Кардано опять будет комплексный кубический радикал и возникает замкнутый круг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение08.09.2011, 09:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
nnosipov в сообщении #481342 писал(а):
и никаких косинусов с арккосинусами и т.п.
Теперь понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение09.09.2011, 17:50 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Для уравнений четвертой степени наверное можно обойтись без тэта-функций.
Пару действительных кореней приведенного уравнения можно выразить таким образом:
Пусть:
${g}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty } 
\binom{3k}{k}\frac{\left(-1 \right)^k}{\left(2k+1 \right)8^{2k+1}}$
Тогда:
${x}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{{g}_{1}}+\sqrt{-{g}_{1}+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{{g}_{1}}}}}=1.3802775....$
${x}_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{{g}_{1}}-\sqrt{-{g}_{1}+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{{g}_{1}}}}}=-0.81917251...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^4 - x^3 -1=0
Сообщение09.09.2011, 18:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vvp_57 в сообщении #481863 писал(а):
Для уравнений четвертой степени наверное можно обойтись без тэта-функций.
А что в этом удивительного? Ведь есть кубическая резольвента, корень которой можно разложить в ряд по Тейлору.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group