Напомню одно любопытное замечание (сделанное в связи с очередным манифестом от PSP)
2) Для уравнений 3-й и 4-й степени "замкнутые формулы" для корня существуют. Вместе с тем, даже в этих случаях возникает одна проблема практического характера (о которой часто забывают): простое решение может задаваться исключительно громоздкой формулой. Например, кубическое уравнение
имеет единственный вещественный корень равный
. В то же время, формула Кардано в качестве решения предлагает выражение
![$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$](https://dxdy.ru/math/ff6e1b2540cd27c192a6265380aa0abf82.png "$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$")
--- поди догадайся, что это
!
Brukvalub писал(а):
Просто я и представить себе не мог, что в 21-м веке такие уравнения решают вручную по формулам Феррари
Других способов в 21 веке вроде как не появилось. Мне запомнилась аналогичная бочка, которую Вы недавно (искать сюжет не буду) накатили на формулы Кардано.
Но вот иногда хочется посмотреть на натуральное уравнение второй эвольвенты окружности... И когда задачка из природы возникает, то случается (реже, чем хотелось бы) в процессе решения чего-то упростить, увидеть. Типа увидеть эту самую единичку, которую пакет на раскусит.
Но до этого --- в течение лет 25 --- ежели я упирался в кубическое/тетрическое уравнение, то уходил от задачи. Теперь пытаюсь сначала поковырять её. Но не методами PSP (21 век), а по старинке --- Кардано, Феррари...
Итак, делаем подстановку
. Получаем
. Глубокий вздох --- и пишем кубическую резольвенту...
![$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$](https://dxdy.ru/math/2c51430a34773c65fafac6c5be82447b82.png "$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$")
![$\sqrt[3]{2\pm\sqrt{5}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$](https://dxdy.ru/math/c108f5bb88651a813aff6a1b0da1953382.png "$\sqrt[3]{2\pm\sqrt{5}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$")
![$
1/4+1/12\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6
\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{
108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+1/12\,\sqrt {3}\sqrt {2}\sqrt {{
\frac {3\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{\frac {9\,
\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}
}}}}+\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\,
\left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108
+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}} \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}
\right) ^{2/3}-48\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+
288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+9\,\sqrt [3]{108+12\,
\sqrt {3}\sqrt {283}}}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{
\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,
\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283}}}}}}}}
$](https://dxdy.ru/math/175af75b3872219129ffb445c3005b8782.png "$
1/4+1/12\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6
\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{
108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+1/12\,\sqrt {3}\sqrt {2}\sqrt {{
\frac {3\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{\frac {9\,
\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}
}}}}+\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\,
\left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108
+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}} \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}
\right) ^{2/3}-48\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+
288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+9\,\sqrt [3]{108+12\,
\sqrt {3}\sqrt {283}}}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{
\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,
\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}
\sqrt {283}}}}}}}}
$")
