Операторы рождения/уничтожения

[Munin]

Так. Ну, почему "просто число".

Давайте вспомним, что оператор рождения "добавляет частицу", а оператор смерти уничтожения "вынимает частицу" в данной точке. Что у нас получается, если мы рассматриваем их коммутатор?

$$\begin{gathered}\mathstrut[a(r),a^+(r')]=a(r)a^+(r')-a^+(r')a(r),\\\mathstrut[a(r),a^+(r')]\,|\mathrm{state}\rangle=a(r)a^+(r')\,|\mathrm{state}\rangle-a^+(r')a(r)\,|\mathrm{state}\rangle.\end{gathered}$$

Первое слагаемое читается так: мы добавляем частицу в точке $r'$ (в примере post859140.html#p859140 - в состоянии $s,\mathbf{q}$), а потом вынимаем частицу в точке $r.$ Второе слагаемое: то же самое, только в обратном порядке, сначала вынимаем, потом добавляем. Если это разные точки, то какая разница одной точке, что там делают с другой точкой? Частица-то находится либо в одной точке, либо в другой, она не может быть в двух одновременно. Поэтому, от порядка ничего не зависит. И мы имеем

$$[a(r),a^+(r')]=0,\qquad r\ne r'.$$

Теперь, если это одинаковые точки, то мы возвращаемся к тому случаю, который описан Nirowulf в post859097.html#p859097 для одиночного осциллятора. То есть, есть некоторое "число частиц в точке" (которое можно вычислить оператором $N(r)=a^+(r)a(r)$), и мы получаем в результате действия произведения $a^+(r)a(r)$ просто это число. Заметьте, не "просто число", а мы возвращаемся в исходное состояние, просто умноженное на число. Почему возвращаемся в исходное состояние? Мы вынули частицу, и потом добавили сюда же эту частицу. Итак, второе слагаемое вычислили:

$$[a(r),a^+(r)]=a(r)a^+(r)-N(r),\qquad r=r'.\quad(*)$$

Осталось первое. Здесь мы тоже возвращаемся в исходное состояние, но другим путём: сначала добавляем частицу, а потом вынимаем частицу. Из-за того, что путь другой, мы получаем не число частиц $N,$ а немножко другое число, но всё равно - число. Ну и наконец, мы возимся немножко с нормировкой операторов, и получаем в итоге, что это число - $N+1,$ и в итоге из разности мы получили

$$[a(r),a^+(r)]=(N+1)(r)-N(r)=1,\qquad r=r'.\quad(*)$$

*) Но теперь, мы замечаем, что у нас точки непрерывны, и нам нужно, не чтобы функция принимала конечное значение 1 в данной точке, а чтобы при интеграле она давала 1 именно в данной точке, а значит, мы домножаем всё это дело на дельта-функцию:

$$[a(r),a^+(r')]=\delta(r-r'),\qquad r=r'.$$

И наконец, собирая всё вместе, имеем выражение

$$[a(r),a^+(r')]=\delta(r-r'),\qquad \forall\,r,r'.$$

-- 05.05.2014 00:16:50 --

P. S. Операторы рождения-уничтожения частиц в разных ортогональных спиновых состояниях (например, "спин вверх" и "спин вниз") между собой коммутируют. Операторы рождения-уничтожения частиц разного сорта (например, протонов и электронов) между собой коммутируют.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859161 писал(а):

Операторы рождения-уничтожения частиц разного сорта (например, протонов и электронов) между собой коммутируют.

Вообще-то для электронов и протонов антикоммутируют. Ибо фермионы Но это ни на что не влияет.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #859161 писал(а):

Так. Ну, почему "просто число".

А может ещё заход со стороны канонического квантования пойдёт? Для простоты рассмотрим систему с одним импульсом и одной координатой.

Мы переносим на квантовый случай классические "коммутационные" соотношения между $p$ и $q$, со скобкой Пуассона, которая заменяется на квантовую скобку Пуассона $\{f,g\}_{classical}\to\{\hat{f},\hat{g}\}_{quantum}=\frac{i}{\hbar}[\hat{f},\hat{g}].$

Ну, а в классике $\{p,q\}_{classical}=1,$ число. Вот и получаем в квантах $[\hat{p}_x,\hat{x}]=-i\hbar,$ "просто" комплексное число.

[Munin]

Мне всегда как-то неочевидно было, что означают в классике переменные $a^*,a=q\mp ip/\omega.$ Какие-то искуственно высосанные из пальца слонопотамы. Вот в квантах совершенно очевидно, что это и зачем - но в энергетическом представлении, а не в координатном.

-- 05.05.2014 02:12:45 --

А, не, вот щас подумал, и понятно: это попросту амплитуда колебания осциллятора. Комплексная, то есть взятая вместе с фазой. Но зачем у неё должны быть ещё какие-то магические свойства, непонятно.

-- 05.05.2014 02:18:04 --

$\{a^*,a\}_{\mathrm{classical}}=-2i/\omega.$ Число, да. Не функция.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859096 писал(а):

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Например в выкладок Munin с умножением на дельта-функций, никаких добавочных коеффициентов не было.

Потому что я ими пренебрегал до поры - до времени. На самом деле, конечно же, все операторы рождения-уничтожения определяются так, чтобы переводить нормированное состояние в нормированное.

Что-то я усомнился, а надо ли $\sqrt{N+1}$ при действии координатного (!!!) оператора рождения? Тут же мы "сажаем" новую частицу в пустое место, какая разница сколько частиц ВСЕГО, обычно в таком множителе $N$ --- это число частиц в данном состоянии, а не частиц всего. В общем как бы не завраться с этой аналогией с осциллятором... Похоже, я тут два раза одно и то же посчитал. Надо разобраться.

Операторы рождения/уничтожения нормированные операторы переводят в ненормированные, иначе бы $a_i^+a_i$ не был бы оператором числа частиц в состоянии i. В координатном представлении правильные коэффициенты должны определяться условием, что

$$ \int a^+(r)a(r)dr $$

--- это оператор частиц всего. Из этого нужно и вывести какой там коэффициент.

Пишем

$$ a^+(r')|r_1 \dots r_N\rangle = \alpha(N) |r',r_1 \dots r_N\rangle $$

где $\alpha$ --- пока неизвестный коэффициент. Далее, приняв коммутационные соотношения на дельта-функцию, находим как действует координатный оператор уничтожения. Точно так, как я выше писал. Образуем оператор $a^+(r)a(r)$, действуем им на $|r_1 \dots r_N\rangle$ (сначала одним оператором, потом другим) и интегрируем (дельта-функции отинтегрируются запросто). $\alpha$ определяется условием, что должно получиться $N|r_1 \dots r_N\rangle$.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #859260 писал(а):

то-то я усомнился, а надо ли $\sqrt{N+1}$ при действии координатного (!!!) оператора рождения?

По моим прикидкам вроде как надо.

Alex-Yu в сообщении #859260 писал(а):

Это сразу одна частица, пространство Фока тут сразу ни при чем. С осциллятором есть АНАЛОГИЯ, но не более того. Там не те операторы рождения/уничтожения. Хотя математически почти такие же (но определенные в совсем другом пространстве).

Я понимаю, но мы тут хотим найти объяснение "на пальцах", почему коммутатор это число, вообще, пространство Фока тут уже неважно. Так как, на мой взгляд, это можно увидеть из процедуры канонического квантования.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859264 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #859260
писал(а):
то-то я усомнился, а надо ли $\sqrt{N+1}$ при действии координатного (!!!) оператора рождения?
По моим прикидкам вроде как надо.

Ну осциллятор --- это нечто совсем иное... Ясно, что для осциллятора этот множитель есть, тут нет вопросов. Я выше дописал, что нужно сделать. Но сейчас я спать пойду Потом может, если никто не обгонит.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #859260 писал(а):

Что-то я усомнился, а надо ли $\sqrt{N+1}$ при действии координатного (!!!) оператора рождения? Тут же мы "сажаем" новую частицу в пустое место

Этот множитель зависит от статистики: у бозонов он $\sqrt{N+1}$ (и используемый нами тут для аналогии гармонический осциллятор - по сути, бозонный), у фермионов он $\{1,0\},$ а у больцманонов - видимо, всегда 1.

Мы "сажаем" новую частицу не всегда в пустое место, а иногда "на голову" уже существующей частицы. При этом, для бозонов нам это "выгоднее", для фермионов - по запрету Паули нельзя, а для больцманонов - им всё равно, сколько там уже других частиц в этой точке есть.

Alex-Yu в сообщении #859260 писал(а):

Операторы рождения/уничтожения нормированные операторы переводят в ненормированные, иначе бы $a_i^+a_i$ не был бы оператором числа частиц в состоянии i.

Наверное, не "операторы", а "векторы состояния". Да, пожалуй, вы правы, это я ошибся. Ну да ладно.

Alex-Yu в сообщении #859260 писал(а):

Это сразу одна частица, пространство Фока тут сразу ни при чем. С осциллятором есть АНАЛОГИЯ, но не более того. Там не те операторы рождения/уничтожения. Хотя математически почти такие же (но определенные в совсем другом пространстве).

Нет, тут как раз разные состояния осциллятора $\longleftrightarrow$ разное число частиц в поле.

Надо понять, что для квантовой физики вообще любая физическая система - это всего лишь лестница энергетических уровней, и переходы между ними (гамильтониан). Поэтому, когда мы в физике элементарных частиц начинаем добавлять и убирать частицы - это тоже всего лишь энергетические уровни. Просто они так называются: "раз частица", "два частица"... Терминология здесь проистекает из двух взглядов на вещи, но на самом деле вполне совместима и взаимопроникает: например, говорят про спектр элементарных частиц, подразумевая "таблицу" частиц вместе с их массами и квантовыми числами; про частицы часто говорят как про состояния; и т. п. В конечном счёте, такая терминологическая "неразборчивость и всеядность" оправдывается: когда мы, случайно, узнаём, что какие-то частицы не неделимые, а составные, то оказывается просто, что разные энергетические состояния этой системы, её внутренних "деталей и пружинок", для нас снаружи выглядят как разные частицы, превращающиеся друг в друга по определённым законам. А мы их и так уже называем "спектром состояний". Ну и тра-ля-ля.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859269 писал(а):

Этот множитель зависит от статистики: у бозонов он $\sqrt{N+1}$ (и используемый нами тут для аналогии гармонический осциллятор - по сути, бозонный), у фермионов он $\{1,0\},$ а у больцманонов - видимо, всегда 1.

Надо просто посчитать (см выше как). Но сейчас я спать хочу

[Munin]

(Загробным голосом) Предсказываю: когда посчитаете, то так и получитсо!..

[manul91]

Munin в сообщении #859161 писал(а):

Если это разные точки, то какая разница одной точке, что там делают с другой точкой? Частица-то находится либо в одной точке, либо в другой, она не может быть в двух одновременно. Поэтому, от порядка ничего не зависит. И мы имеем

$$[a(r),a^+(r')]=0,\qquad r\ne r'.$$

Так, это полностью понятно - если точки разные, то порядок вынимания/добавления не важен - операторы коммутируют - коммутатор нулевой.

Munin в сообщении #859161 писал(а):

Теперь, если это одинаковые точки, то мы возвращаемся к тому случаю, который описан Nirowulf в post859097.html#p859097 для одиночного осциллятора. То есть, есть некоторое "число частиц в точке" (которое можно вычислить оператором $N(r)=a^+(r)a(r)$), и мы получаем в результате действия произведения $a^+(r)a(r)$ просто это число. Заметьте, не "просто число", а мы возвращаемся в исходное состояние, просто умноженное на число. Почему возвращаемся в исходное состояние? Мы вынули частицу, и потом добавили сюда же эту частицу. Итак, второе слагаемое вычислили:

$$[a(r),a^+(r)]=a(r)a^+(r)-N(r),\qquad r=r'.\quad(*)$$

Осталось первое. Здесь мы тоже возвращаемся в исходное состояние, но другим путём: сначала добавляем частицу, а потом вынимаем частицу. Из-за того, что путь другой, мы получаем не число частиц $N,$ а немножко другое число, но всё равно - число. Ну и наконец, мы возимся немножко с нормировкой операторов, и получаем в итоге, что это число - $N+1,$ и в итоге из разности мы получили

$$[a(r),a^+(r)]=(N+1)(r)-N(r)=1,\qquad r=r'.\quad(*)$$

Гм.... не сказал бы, что тут я чего-нибудь понял (не прибегая к никаких осцилляторов... если без них нельзя - то тогда возможно другое дело, но нужно разобраться).
То ли $N(r)$ "число частиц", то ли "оператор с чей помощи можно вычислить число частиц" (а почему и как собственно, с ним число частиц можно вычислить - и почему именно, число частиц...)
Разница операторов $(N+1)(r)-N(r)$, почему-то дает число 1(?)...

Я примерно, могу наивно "рассуждать" так при $r=r'$:
Если сперва вынимаем а потом добавляем частицу (в ту же самую точку), то как бы и ничего не сделали - и должны получить то же самое исходное состояние $|\text{state}\rangle$ с котором начали. Возможно, помноженное на некоторую комплексную фазу с единичным квадратом $e^{-i\phi_1}$ (единичным, из-за нормировки - разве нет?).
Далее, если сперва добавляем потом вынимаем (в ту же самую точку) - т.е. делаем "то же самое" но теперь "другим путем" - опять должно умножать исходное состояние $|\text{state}\rangle$ на некоторую (возможно, теперь другую) комплексную фазу с единичным квадратом $e^{-i\phi_2}$.
Т.е. в итоге действие коммутатора на исходного состояния $|\text{state}\rangle$, якобы должно "всегда представляться" как его умножение на число $e^{-i\phi_1} - e^{-i\phi_2}$

Ерунда, да?

Munin в сообщении #859161 писал(а):

И наконец, собирая всё вместе, имеем выражение

$$[a(r),a^+(r')]=\delta(r-r'),\qquad \forall\,r,r'.$$

Это дельта-функция обычная-вещественная, или комплексная (интеграл ее квадрата дает 1, а не обязательно интеграл ее самой)?

[Nirowulf]

Munin в сообщении #859269 писал(а):

Нет, тут как раз разные состояния осциллятора $\longleftrightarrow$ разное число частиц в поле.

Согласен, тоже хотел написать, что пространство состояний осциллятора вполне себе бозонное пространство Фока.

-- 05.05.2014, 05:47 --

manul91 в сообщении #859278 писал(а):

То ли $N(r)$ "число частиц", то ли "оператор с чей помощи можно вычислить число частиц" (а почему и как собственно, с ним число частиц можно вычислить - и почему именно, число частиц...)
Разница операторов $(N+1)(r)-N(r)$, почему-то дает число 1(?)...

Там очепятка, наверное, должно быть $(N(r)+1)-N(r)=1.$

$\hat{N}$ это оператор числа частиц, и, разумеется, с его помощью можно вычислить число частиц, это просто его собственное значение. Пусть $|n\rangle$ состояние, содержащее $n$ частиц, тогда $\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle.$

Или же если расписать подробно

$$\hat{N}|n\rangle=\hat{a}^+\hat{a}|n\rangle=\hat{a^+}\sqrt{n}|n-1\rangle=\sqrt{n}\hat{a^+}|n-1\rangle=\sqrt{n-1+1}\sqrt{n}|n\rangle=n|n\rangle.$$

-- 05.05.2014, 06:08 --

Кстати, видно, что множители $\sqrt{n}$ и $\sqrt{n+1},$ нужны, чтобы получить правильное число частиц. Так что для координатных операторов рождения/уничтожения они тоже будут. Я даже посчитал, но набирать в ТеХе мне это лень=)

[Munin]

Nirowulf в сообщении #859299 писал(а):

Там очепятка, наверное, должно быть $(N(r)+1)-N(r)=1.$

Нет, ну почему? Если бывает оператор "число частиц", то бывает и оператор "число частиц ${}+1$". Тоже с призказкой "в данной точке". Понятно, что это одно и то же, но опечаткой оно не делается. :-)

manul91 в сообщении #859278 писал(а):

То ли $N(r)$ "число частиц", то ли "оператор с чей помощи можно вычислить число частиц" (а почему и как собственно, с ним число частиц можно вычислить - и почему именно, число частиц...)

А в КТП как-то так оказывается, что вообще всё, о чём мы говорим, - это оператор. В КМ оператором было почти всё, но некоторые вещи оставались неоператорными. А в КТП сам по себе МОНСТР, который страшный и зубастый, и на который я целых три страницы текста потратил, в конкретных вычислениях и даже рассуждениях как-то уходит на второй план. Говорим "что угодно" - подразумеваем "оператор, позволяющий вычислить это что угодно". Потом "вычисляем что угодно" - на самом деле "вычисляем оператор". Даже, чтобы вытащить конкретные цифры, которые мы сравниваем с экспериментом, мы на самом деле вычисляем какие-то параметры оператора. Какие-то его матричные элементы. Поэтому и шапочки над операторами в КТП не пишут - незачем.

manul91 в сообщении #859278 писал(а):

Возможно, помноженное на некоторую комплексную фазу с единичным квадратом $e^{-i\phi_1}$ (единичным, из-за нормировки - разве нет?).

Ну, вот это мы как раз обсудили, и получили, что нет. Единичный - только для больцманонов. А для бозонов - ещё помноженное на неединичный коэффициент.

manul91 в сообщении #859278 писал(а):

Ерунда, да?

Не ерунда, но деталь не совсем от того, о чём мы говорим. Как-то мы плавно перешли от больцманонов к бозонам, и коэффициент неединичный появляется именно там, у бозонов. А вы (отстав на переправе, на обсуждении осциллятора) до сих пор думаете про больцманоны.

(Отступление в сторону)

Если честно, коммутационные соотношения для больцманонов я не знаю. И вообще не уверен, что их можно написать, потому что тождественность частиц ну очень плотно в КТП-шную логику вписана. В лоренц-инвариантность хотя бы. Возьмём единственный больцманон, и так наклоним его мировую линию, что в какой-то момент времени его будет два. И что? Они тождественны! И между собой больцманонами уже быть никак не могут!

manul91 в сообщении #859278 писал(а):

Это дельта-функция обычная-вещественная, или комплексная (интеграл ее квадрата дает 1, а не обязательно интеграл ее самой)?

Здесь самая обычная вещественная. А какой-то особой комплексной нет, хотя другая функция (интеграл квадрата которой даёт 1) есть. Эта другая не называется дельта-функцией.

[manul91]

Nirowulf в сообщении #859299 писал(а):

$\hat{N}$ это оператор числа частиц, и, разумеется, с его помощью можно вычислить число частиц, это просто его собственное значение. Пусть $|n\rangle$ состояние, содержащее $n$ частиц, тогда $\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle.$

Или же если расписать подробно

$$\hat{N}|n\rangle=\hat{a}^+\hat{a}|n\rangle=\hat{a^+}\sqrt{n}|n-1\rangle=\sqrt{n}\hat{a^+}|n-1\rangle=\sqrt{n-1+1}\sqrt{n}|n\rangle=n|n\rangle.$$

Спасибо.
Понятно же, если просто тупо зазубрить правила

$$\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$$

и

$$\hat{a}^+|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$$

то я смогу повторить те же и подобные выкладки.... но это не означает что при этом я чего-либо понимаю, что именно и почему делаю....

Вы говорите "$\hat{a}^+\hat{a}$ оператор числа частиц, и, разумеется, с его помощью можно вычислить число частиц" - но для меня вовсе не очевидно, почему приложение этого оператора (действия убирания и добавления частицы, в той же последовательности, к исходном состоянии $|\text{state}\rangle$ n-частиц) обязано умножать его именно на $n$ (число частиц в нем)?
Например как не трудно посчитать по тех же правил, обратная последовательность действий $\hat{a}\hat{a}^+$ оказывается, умножает исходное состояние $|\text{state}\rangle$ с опять $n$ частиц, на число $(n+1)$, а вовсе не на $n$:

$$\hat{a}\hat{a}^+|n\rangle=\hat{a}\sqrt{n+1}|n+1\rangle=\sqrt{n+1}\hat{a}|n+1\rangle=\sqrt{n+1}\sqrt{n+1}|n\rangle=(n+1)|n\rangle$$

Т.е. обратная последовательность действий (добавление и вынимание) почему-то умножает теперь не на n, а на (n+1).

Значит, число $n$, не такое уж сакральное - и, "итого-ничего-неделание" в виде "добавления + убирания" или "убирания + добавления" может помножить оригинальное состояние как на n, так и на n+1 (толи на номер частиц в нем, то ли на номер частиц в нем плюс почему-то единичку).
Но даже если и $n$ было так необходимым в первом случае... и допустим ответ "просто так операторы дефинированы, чтобы так получалось"; то тут есть все же произвол...
Например, можно было бы дефинировать $\hat{a}|n\rangle=\frac{n}{n+1}|n-1\rangle$ и $\hat{a}^+|n\rangle=(n+1)|n+1\rangle$ и опять получилось бы что $\hat{a}\hat{a}^+$ просто умножает на $n$ (да, будет некая ассиметрия при обратной последовательности будет другой коеффициент - но ведь и так же есть ассиметрия и в правильном случае где помножается то на $n$, то на $n+1$).

Потом, мы как бы вдруг перешли к "операторам вообще" (индексы исчезли?) и потеряли явную связь с волновых -дельта функций (хотя наверное, можем считать что в данном случае нас интересует что происходит именно и только в одной и той же точке, где у обоих операторов $r=r'$ и это подразумевается, и поэтому его в индексов не пишем?).

Понятно, что эта введенная алгебра (некие операции со значков, и результирующие коеффициенты) - не просто так, должен быть некий исходный смысл, почему оно все так формально определено - чтобы было именно так а не иначе...

-- 05.05.2014, 09:38 --

Munin в сообщении #859329 писал(а):

Не ерунда, но деталь не совсем от того, о чём мы говорим. Как-то мы плавно перешли от больцманонов к бозонам, и коэффициент неединичный появляется именно там, у бозонов. А вы (отстав на переправе, на обсуждении осциллятора) до сих пор думаете про больцманоны.

Что такое "больцманон"? Впервые слышу вообще : (

Про "неединичного коеффициента" - ну я по наивности привык что операторы переводят одно состояние в другое, и состояния должны быть нормированными... и если мы делаем что-нибудь над системой что якобы физически "ничего не меняет" (вращаем на 2pi, или меняем места двух неразличимых частиц, и т.д) - то состояние умножается только на какую-то фазу....
Видно эта логика, почему-то тут не работает (для добавлeния+удалeния одно и того же из исходного состояния, или в обратной последовательности).

Про осцилляторов - я намерено не пытался вникать (и так забыл все, что когда-то знал или думал, что знал) - пытался на "пустую голову" понять исходные положения как считать только в абстракции пространства фока, и пока используя в основном информацию-набросок из этой темой, чтобы "вправить мозги" в правильном направлении (если это может быть самодостаточное начало пути к пониманию - хотя и одностороннего).

Если вы скажете что смысла никак не добиться без аналогии с осцилляторов - то я конечно открою учебник(и) и пойду уже читать про осцилляторов; и нечего вас мучать далее перерасказывать учебники - буду спрашивать только то что непонятно из конкретного материала.

[Munin]

Вам всё-таки НАДО почитать квантование гармонического осциллятора с "лестничными" операторами.

И вам даже сказали, где.

Ну что, переписывать сюда из учебника целиком параграфы, что ли?