Равенство значений функций на концах отрезка

[xolodec]

Условие
Пусть $f$ - положительная непрерывная фукнция на $\mathbb{R}$, причем

$ \int\limits_{- \infty }^{+ \infty } f(x) dx = 1 $

пусть также $\alpha \in (0, 1)$ , а интервал $[a, b]$ - это интервал наименьшей длины из тех, для которых

$ \int\limits_{ a }^{ b } f(x) dx = \alpha $

Доказать,
что $f(a) = f(b)$

Попытка решения
Очевидно, что функция $f$ - кусочно монотонная функция, потому что:

1. $ f > 0 $
2. $ \int\limits_{- \infty }^{+ \infty } f(x) dx = 1 $
3. $ f $ - непрерывная

Очевидно также, что функция принимает свое наибольшее значение между $f(a)$ и $f(b)$, поскольку интеграл из условия $( \int\limits_{ a }^{ b } f(x) dx = \alpha )$ берется по минимальному отрезку. Учитывая определение интеграла Римана как предела частичных сум, $ (\sum\limits \xi(i) \Delta_i ) $ можно сказать, что для того, чтобы значение интеграла оставалось постоянным, при уменьшении отрезка интегрирования необходимо увеличивать $\xi(i)$, то есть другими словами между $a$ и $b$ функция $f$ принимает наибольшее значение.

Также понятно, что на этом интервале находится экстремум функции, в частности, ее максимум (так как отрезок интегрирования - минимален).

Также можно заметить, что из-за того, что отрезок интегрирования минимален, следует, что вблизи максимума (экстремум функции между концами отрезка) слева и справа функция имеет разные знаки производной, то есть разные по знаку приращения функции. Однако эти приращения должны быть одинаковы по модулю слева и справа от точки экстремума, (для того, чтобы удовлетворить условию минимальности отрезка интегрирования необходимо обеспечить максимальные значения функции на этом интервале).


В случае, если приращение слева по модулю будет не равно приращению справа, то мы должны "подвинуть" границу отрезка ($ a $ или $b$) в том направлении, где приращение минимально по модулю.

То есть ответ на вопрос задачи может быть получен из соотношения для частичной суммы:

$ \xi(i) \Delta_i = cсonst \Longrightarrow $ чем меньше $ \Delta_i$, тем больше должно быть $\xi(i)$

Вопрос
Правильны ли рассуждения?
Может ли приведнное решение считаться доказательством ?

[provincialka]

Тема уже обсуждалась: «Проверка решения»

-- 03.05.2014, 12:49 --

xolodec в сообщении #858508 писал(а):

Очевидно, что функция $f$ - кусочно монотонная функция,

Нет, не обязательно.

[Otta]

И тут «Теоремы для непрерывной функции и интегрирование» тоже.

(Оффтоп)

Только у меня к Вам большая просьба - не следуйте самому последнему совету в той теме.

[xolodec]

Спасибо Вам большое!
Не могу пока освоиться с тем, как искать, чтобы не задавать повторных вопросов.

[xolodec]

Цитата:

xolodec в сообщении #858508 писал(а):

Очевидно, что функция $f$ - кусочно монотонная функция,

Нет, не обязательно.

А почему не обязательно ? Что этому помешает ?

[Otta]

А почему обязательно? и даже очевидно?

[ewert]

xolodec в сообщении #858529 писал(а):

А почему не обязательно ?

Ну, например, потому, что

xolodec в сообщении #858508 писал(а):

Очевидно, что функция $f$ - кусочно монотонная функция, потому что:
1. $ f > 0 $
2. $ \int\limits_{- \infty }^{+ \infty } f(x) dx = 1 $
3. $ f $ - непрерывная

ни 1-е, ни 2-е, ни 3-е не имеет ни малейшего отношения к кусочной монотонности.

[xolodec]

А можете отослать меня к тому, что имеет?
Был бы рад названию учебника, в котором можно было бы почерпнуть это, поскольку скорее заинтересован разобраться, чем решить задачу.
Заранее спасибо большое.

Моя логика была скорее деревенской, это правда:
Если интеграл равен 1 и функция везде на числовой оси больше нуля(подразумевалось, что функция непрерывна), следовательно она монотонна на отрезках внутри интервала $ (- \infty ; + \infty)$, или другими словами на некоторых отрезках функция неубывает, а на других невозрастает.
То есть я, в действительности, имел в виду, что функция должна как минимум неубывать и невозрастать на каких то участках числовой прямой, чтобы интеграл по всей числовой оси сходился.

Кусочная монотонность должна требовать от функции непрерывности и гладкости, верно ?

Спасибо большое за ссылки на дубликаты вопроса - очень помогли разобраться !

[provincialka]

xolodec в сообщении #858937 писал(а):

Кусочная монотонность должна требовать от функции непрерывности и гладкости, верно ?

Нет. Не должна. Кусочно монотонная функция может быть разрывной.
А вы вообще знаете пример нигде не монотонной непрерывной функции? Гладкость от подынтегральной функции не требуется.

[xolodec]

Пример нигде не монотонной непрерывной функции не могу привести. Могу предположить, что таких нет.
И все же в чем состоит требования на функцию, для того чтобы она была кусочно монотонной?
В случае, если функция кусочно монотонна и разрывна, то она монотонна для тех интервалов аргумента, для которых функция непрерывна, верно ?
Как функция может быть одновременно разрывной и кусочно монотонной ?
Если она разрывна, значит, что на промежутке, в котором находится точка(интервал) разрыва, она не кусочно монотонна, что следует из определения:
Функция называется кусочно монотонной на данном промежутке, если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция монотонна.

Для доказательства монотонности, кажется, нужно доказать, что функцию можно разбить на сумму Дарбу.

[provincialka]

Боже! Какая путаница. Нигде не монотонные функции существуют, но строятся достаточно сложно. Вам пока достаточно знать, что они существуют. Соответственно, такая функция будет нигде не гладкой, так что говорить о ее производной нельзя.
Даже монотонная функция не обязана быть непрерывной, тем более - кусочно монотонная. Но это здесь не нужно, так как непрерывность предполагается.
Функция не может быть разбита на сумму Дарбу, это бессмысленно. Сумму Дарбу можно построить для функции, причем не только кусочно монотонной, достаточно ограниченности.

-- 05.05.2014, 08:01 --

Если хотите все же познакомиться с разными экзотическими случаями, почитайте Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе. Книгу можно скачать в формате djvu .

[ИСН]

xolodec в сообщении #859311 писал(а):

Как функция может быть одновременно разрывной и кусочно монотонной ?

Дробная часть от x, например. А к чему всплыл этот вопрос? Ваша функция непрерывна по условию же.

[xolodec]

Цитата:

А к чему всплыл этот вопрос?

Так вот поэтому всплыл:

provincialka в сообщении #858941 писал(а):

xolodec в сообщении #858937 писал(а):

Кусочная монотонность должна требовать от функции непрерывности и гладкости, верно ?

Нет. Не должна. Кусочно монотонная функция может быть разрывной.
А вы вообще знаете пример нигде не монотонной непрерывной функции? Гладкость от подынтегральной функции не требуется.

Я в задаче разобрался, спасибо большое!
Просто зашел разговор про кусочно монотонную функцию и очень хотелось бы узнать условие на кусочную монотонность, потому что сам не могу найти.
Какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы функция была кусочно монотонной ?

[provincialka]

Странный вопрос. В каких терминах вы собираетесь формулировать эти условия? Проще, чем само определение, и не придумаешь.

[xolodec]

ewert в сообщении #858534 писал(а):

xolodec в сообщении #858529 писал(а):

А почему не обязательно ?

Ну, например, потому, что

xolodec в сообщении #858508 писал(а):

Очевидно, что функция $f$ - кусочно монотонная функция, потому что:
1. $ f > 0 $
2. $ \int\limits_{- \infty }^{+ \infty } f(x) dx = 1 $
3. $ f $ - непрерывная

ни 1-е, ни 2-е, ни 3-е не имеет ни малейшего отношения к кусочной монотонности.

xolodec в сообщении #859364 писал(а):

Цитата:

Какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы функция была кусочно монотонной ?

provincialka в сообщении #859369 писал(а):

Странный вопрос. В каких терминах вы собираетесь формулировать эти условия? Проще, чем само определение, и не придумаешь.

Я не знаю, в каких терминах можно это сформулировать. Я думаю, что для кусочной монотонности необходимо хотя бы кусочная непрерывность.

Просто мне написали, что все, что я перечислил - не имеет ни малейшего отношения к кусочной монотонности, вот мне и стало интересно, есть ли люди, которые могут дать точное определение этого понятия?