О сравнении функции с её первым приближение Тейлора

[Seergey]

Пусть дана функция $ f(x)=ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) $. Её первое приближение по формуле Тейлора это $ g(x)=\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2} $

Требуется показать, что $g(x)>f(x)$, $x \in (0; \infty) $
$F(x)=\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2} - ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})$
По формуле Лагранжа:
$F(t)-F(0)=F'(c)(t-0)$, т.е.

$\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2} - ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})=\frac{x^3 (-12 + x^2) (-6 + x^2)t}{6 (24 - 12 x^2 + x^4)}$, где $t>0$, нули функции справа $ \{0, \sqrt{6},2 \sqrt{3} \}$, разрывы в $\{\sqrt{2 (3-\sqrt{3})}, \sqrt{2 (3+\sqrt{3})} \}$

Однако функция в правой части почему-то не всегда положительна, а именно при $x \in (\sqrt{2 (3+\sqrt{3})}; 2 \sqrt{3})$, это значит, что $f(x)<g(x)$, но на самом деле это не так. Функция $ f(x) $ везде меньше или равна $ g(x) $. В чем здесь ошибка?


красная - $g(x)$, синяя - $f(x)$, зеленая - функция лагранжа

[provincialka]

Seergey в сообщении #852135 писал(а):

Пусть дана функция $ f(x)=\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) $. Её первое приближение по формуле Тейлора это $ g(x)=\frac{x^4}{24}+\frac{x^2}{2} $

Куда делся минус?

В каком смысле "первое приближение"? Если разложение идет до $o(x^2)$, то зачем четвертая степень? Если разложение до $o(x^4)$, то оно найдено неверно.

[Seergey]

provincialka в сообщении #852139 писал(а):

Seergey в сообщении #852135 писал(а):

Пусть дана функция $ f(x)=\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) $. Её первое приближение по формуле Тейлора это $ g(x)=\frac{x^4}{24}+\frac{x^2}{2} $

Куда делся минус?

В каком смысле "первое приближение"? Если разложение идет до $o(x^2)$, то зачем четвертая степень? Если разложение до $o(x^4)$, то оно найдено неверно.

Минус подразумевался..

Первое приближение - это первый член ln(1+g(x)) при g(x) стремящемся к 0

-- 20.04.2014, 16:02 --

Я думаю, что если есть разрыв, то теорему о среднем нельзя применять через разрыв, то есть надо рассматривать два промежутка, и во втором случае уже сравнивать не с 0.

[provincialka]

Еще раз. По формуле Тейлора можно записать:
$\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) =-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.

Или $\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) =-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac12(-\frac{x^2}{2})^2+o(x^5)$.

Ваша формула неверна. Используйте о-малое, без него можно наделать ошибок.

[Seergey]

provincialka в сообщении #852154 писал(а):

Еще раз. По формуле Тейлора можно записать:
$\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) =-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.

Или $\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) =-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac12(-\frac{x^2}{2})^2+o(x^5)$.

Ваша формула неверна. Используйте о-малое, без него можно наделать ошибок.

Спасибо, об этом я забыл,

Тогда просто сравнить две функции f(x) и g(x) можно таким образом?

[provincialka]

Формула конечных приращений верна для функции, непрерывной в промежутке (и гладкой в интервале). Поэтому ее можно применять только в области непрерывности.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Seergey
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.