Извините Сергей, но мне не хочется превращать тему в ликбез по математике и квантовой теории поля.
Ну, квантовая теория поля здесь не причём, а вот ликбез по математике определённо необходим.
1. Наличие комплексного решения у линейного уравнения с действительными коэффициентами не должно вас удивлять. Достаточно взять два разных решения и создать их линейную комбинацию с коэффициентами
![$+1$ $+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/1/c11fe0cea175e1b787b3403c763dc9b082.png)
и
![$+i.$ $+i.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a8f654161c6c725f207c9a04619633682.png)
Но комплексные решения квантовой теории не произвольные, а представляют набор либо положительно- либо отрицательно-частотных составляющих. Для вычисления таких функций достаточно знать только их начальное значение. Первую производную при
![$t=0$ $t=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c899e1c767eb4eac89facb5d1f2cb0d82.png)
знать не надо.
Даже сто квантовых теорий поля не могут обойти то, что решение дифференциального уравнения второго порядка по времени нуждается в задании не только начального значения, но и в задании начального значения первой производной по времени.
2. Функция возбуждения
![$u(x,0)$ $u(x,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/0/ef0794e5060a9aae4b0b7fd97eb5d80482.png)
- это правая часть УКГ вида
![$u(x,0)\delta (t).$ $u(x,0)\delta (t).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca339ba2d2701dd19280388f129ac30982.png)
Начальные данные при этом не используются, хотя их можно определить через
![$u(x,0).$ $u(x,0).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/7/c27dd4da9a5b266d693d9a6a0809174b82.png)
Есть однородное вещественное дифференциальное уравнение второго порядка, у него есть начальные данные
![$\varphi(x)$ $\varphi(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/51733a6ece5add8ff3a19f7275dd196d82.png)
и
![$\dot\varphi(x)$ $\dot\varphi(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a424b8a527790d23de0f276e58cc168a82.png)
. Я написал его общее решение через символы
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
(
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
- функция Грина,
![$A = \frac{\partial B}{\partial t}$ $A = \frac{\partial B}{\partial t}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/b/80b0e4b5ef88605510e0166bce4a67cd82.png)
- функция распространения). Вы меня упрекнули в том, будто бы я чего-то усложняю, то есть вам якобы известен более простой способ. На мой вопрос показать его, вы подсунули формулу решения совершенно другого уравнения - неоднородного, причём с нулевой однородной фракцией. То есть вообще не то. Да-а-а, ликбез по математике нужен. Представьте себе, начальные данные однородной фракции решения вообще никак не связаны с правой частью.
Общее решение неоднородного уравнения
![$$
\left( \partial_t^2 - \partial_x^2 + m^2 \right) \psi(t, x) = J(t, x)
$$ $$
\left( \partial_t^2 - \partial_x^2 + m^2 \right) \psi(t, x) = J(t, x)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/5/e75ba7023eb70e2e997ea2007fbb711182.png)
включает в себя начальные данные
![$\varphi(x)$ $\varphi(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/51733a6ece5add8ff3a19f7275dd196d82.png)
и
![$\dot\varphi(x)$ $\dot\varphi(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a424b8a527790d23de0f276e58cc168a82.png)
однородной фракции:
![$$
\psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( A(t, x-x') \, \varphi(x')
+ B(t, x-x') \, \dot\varphi(x')
+ \int\limits_{-\infty}^{t} B(t - t', x-x') \, J(t', x') \, dt' \right) \, dx'.
$$ $$
\psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( A(t, x-x') \, \varphi(x')
+ B(t, x-x') \, \dot\varphi(x')
+ \int\limits_{-\infty}^{t} B(t - t', x-x') \, J(t', x') \, dt' \right) \, dx'.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d8146ab41e0bbdbbae6df1b7279404b382.png)
В частном случае, когда
![$J(t, x) = \delta(t) j(x)$ $J(t, x) = \delta(t) j(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b387850a3fe2d64807c3eab48135e96482.png)
, получаем для
![$t > 0$ $t > 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/3/933a8b1cbe067d3fe7b70236e04609eb82.png)
:
![$$
\psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( A(t, x-x') \, \varphi(x')
+ B(t, x-x') ( \dot\varphi(x') + j(x') ) \right) \, dx'.
$$ $$
\psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( A(t, x-x') \, \varphi(x')
+ B(t, x-x') ( \dot\varphi(x') + j(x') ) \right) \, dx'.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/f/82ffbdde99d6199f36f34d2d643d8fe482.png)
3. Задача Коши для УКГ решается через функции Бесселя, однако при этом функция Грина
![$G(x,t)$ $G(x,t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/f/f4ffef6a4084b7443836697814c8694f82.png)
характеризуется порядком функций Бесселя на единицу большим, чем соответствующая фундаментальная функция
![$\Delta(x,t)$ $\Delta(x,t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/5/1d54782d2bc8c731e8715414b3e343be82.png)
:
![$$G(x,t)=\frac {\partial \Delta(x,t)} {\partial t}.$$ $$G(x,t)=\frac {\partial \Delta(x,t)} {\partial t}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c985144807cb761c3b0c5bb6204beac782.png)
Вы путаетесь в показаниях. То как вы ввели ранее букву
![$\Delta$ $\Delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9fe18dc67705c858c077c5ee292ab482.png)
говорит о том, что это она является функция Грина. А вот её производная по времени - это функция распространения.
Да, и ещё одна вещь. Зачем вы ссылаетесь на квантовую теорию поля? Мы тут что, вычисляем сечения рассеяния, вероятности распадов, или, быть может, на худой конец, вычисляем аномальный магнитный момент электрона? Конечно нет. Квантовой теорией поля мы тут вообще не занимаемся. У нас тут нечто из раздела математической физики про интегральное ядро (обратного) дифференциального оператора; и нечто из общей физики про комптоновскую длину волны корпускулы.
---------------
Кстати, решение для гауссовского источника
![$$J(t, x) = g \exp \left( - \frac{t^2}{2 \tau^2}\right) \exp \left( - \frac{x^2}{2 \lambda^2}\right)$$ $$J(t, x) = g \exp \left( - \frac{t^2}{2 \tau^2}\right) \exp \left( - \frac{x^2}{2 \lambda^2}\right)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5eb943c62c24b387a0fea5d11e00d27882.png)
с нулевой однородной фракцией:
![$$
\psi(t, x) = \frac{g \lambda}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{t} \left(
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\sin \left( (t - t') \sqrt{m^2+p^2} \right) }{\sqrt{m^2+p^2}}
\exp \left( - \frac{\lambda^2 p^2}{2} \right)
\cos( p x) \, dp \right) \exp \left( - \frac{t'^2}{2 \tau^2} \right) dt'
$$ $$
\psi(t, x) = \frac{g \lambda}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{t} \left(
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\sin \left( (t - t') \sqrt{m^2+p^2} \right) }{\sqrt{m^2+p^2}}
\exp \left( - \frac{\lambda^2 p^2}{2} \right)
\cos( p x) \, dp \right) \exp \left( - \frac{t'^2}{2 \tau^2} \right) dt'
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/4/6044962c960618c9c894ceccbe54c26b82.png)
Жаль что от двойного интеграла здесь аналитически не избавишься; хотелось бы нарисовать, но численно двойной интеграл уж больно долго ждать...