Антимагические квадраты

[Jens K Andersen]

The smallest admissible width for a Stanley antimagic square with n=5 is 156 for these four patterns:

0  30  60  84 114
2  32  62  86 116
6  36  66  90 120
20 50  80 104 134
42 72 102 126 156

0   14  30  44  54
6   20  36  50  60
42  56  72  86  96
90  104 120 134 144
102 116 132 146 156

0  12  60  96 102
10 22  70 106 112
24 36  84 120 126
40 52 100 136 142
54 66 114 150 156

0  30 54  84 114
22 52 76 106 136
36 66 90 120 150
40 70 94 124 154
42 72 96 126 156

None of them have an occurrence below 10^20 and finding 25 simultaneous primes is infeasible. The largest known non-trivial prime k-tuplets are 19-tuplets found by Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski. 25 may be millions of times harder.

It also looks infeasible to find n=5 by generating consecutive primes and testing them. The jump in complexity from n=4 to n=5, i.e. from 16 to 25 primes, is just too hard.

[Jens K Andersen]

In an earlier post I accidentally wrote the first prime after the square instead of the first prime in the square. Below is the corrected list of the first Stanley antimagic squares with consecutive primes for n=4. Add the initial prime to each of the 16 numbers to get the 16 primes.

   136367186951 +
    0  30  56  86
   72 102 128 158
  120 150 176 206
  186 216 242 272

   399926078933 +
    0  24  54 174
   66  90 120 240
  164 188 218 338
  234 258 288 408

   501929799281 +
    0  30  56  86
   36  66  92 122
   42  72  98 128
   96 126 152 182

   809511139667 +
    0   6  42  60
  110 116 152 170
  140 146 182 200
  174 180 216 234

  1038209011757 +
    0  12  42  60
   24  36  66  84
  102 114 144 162
  152 164 194 212

  1502332658587 +
    0  12  90 120
   34  46 124 154
  160 172 250 280
  180 192 270 300

  2351122716457 +
    0   4 126 144
   36  40 162 180
   60  64 186 204
  120 124 246 264

  2401736073493 +
    0  30  60 144
   40  70 100 184
   64  94 124 208
   66  96 126 210

[Nataly-Mak]

Jens K Andersen в сообщении #845503 писал(а):

The largest known non-trivial prime k-tuplets are 19-tuplets found by Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski. 25 may be millions of times harder.

Да, Jarek писал мне это. Интересный результат.

Select[Range[0,76],PrimeQ[630134041802574490482213901+#]&]

{0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76}

http://users.cybercity.dk/~dsl522332/ma ... e.htm#2014

Цитата:

It also looks infeasible to find n=5 by generating consecutive primes and testing them. The jump in complexity from n=4 to n=5, i.e. from 16 to 25 primes, is just too hard.

Понятно. Спасибо за пояснения.

Это ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел, найденный Jarek:

320572022166380833 320572022166380839 320572022166380843 320572022166380849
320572022166380893 320572022166380899 320572022166380903 320572022166380909
320572022166380851 320572022166380857 320572022166380861 320572022166380867
320572022166380911 320572022166380917 320572022166380921 320572022166380927

Пока не доказано, что это минимальное решение.

Как вы оцениваете существование ассоциативного квадрата Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел с меньшим индексом

[Nataly-Mak]

Удивительное совпадение!

Jens K Andersen прислал ссылку на головоломку
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_042.htm
(это 2006 год)

В головоломке рассматриваются квадратные матрицы, имеющие следующую форму:

Цитата:

I should have written that consecutive primes of the form

p, p+a1, p+a2, p+a3,

p+b1, p+b1+a1, p+b1+a2, p+b1+a3,

p+b2, p+b2+a1, p+b2+a2, p+b2+a3,

p+b3, p+b3+a1, p+b3+a2, p+b3+a3

Посмотрите на эту матрицу. Это же квадрат Стенли 4-го порядка!

Читаем далее:

Цитата:

The smallest admissible a's and b's is a1,a2,a3,b1,b2,b3 = 6,10,16,18,60,78 [as argued by J. W.]. The 16 wanted primes are then p + 0, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 34, 60, 66, 70, 76, 78, 84, 88, 94. This is quite feasible. The estimate may be a GHz month for my program. I don't want to run it for long but if others do then mail me.
p=86987701136250973 is only missing p+70 and p+84. Both are semiprimes.
...
p=320572022166380833 is the smallest solution. It has verified rank=2.
I arbitrarily chose to make a 9-hour search ending at 1600000*31# = 320896784208000000. The chance was small but p was 99.9% into the search space. Lucky!

И мы видим... ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел (а значит, и пандиагональный магический квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел).

Вот такие дела
Оказывается, пандиагональный магический квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел был найден в 2006 году!
Но об этом никто из квадратостроителей не знал (по крайней мере, из участников темы "Магические квадраты"). Я открыла тему "Магические квадраты" в 2008 г. Задача построения пандиагонального магического квадрата 4-го порядка из последовательных простых чисел была поставлена намного позже.
maxal её пытался решить, проверил простые числа до 7,5 триллионов; решение не нашёл.
А его и искать не надо было, так как оно было найдено ещё в 2006 году.

Остаётся открытым вопрос: является ли найденное решение минимальным

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #847436 писал(а):

Остаётся открытым вопрос: является ли найденное решение минимальным

Попытка решить этот вопрос предпринята.
Попросила whitefox помочь с программой (так как мой QBASIC не работает с очень большими числами). Он откликнулся на мою просьбу и программу проверки сделал.

Итак, мы действуем вторым методом, который был применён и Jens K Andersen при поиске наименьшего обычного квадрата Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел, а именно: формирование массива простых чисел в интервале (просеивание с помощью решета Эратосфена) с последующей проверкой каждого набора из 16 последовательных простых чисел на предмет составления ассоциативного квадрата Стенли.

Проверку я начала с 7,5 триллионов (точка, на которой остановился maxal).
На данный момент проверено до 9,5 триллионов.
Это окно программы, она сейчас работает:



Объём работы огромный. Если минимальное решение не найдётся где-то поблизости, то мне, наверное, и жизни не хватит проверить до конца (то есть до известного решения, которое начинается с простого числа 320572022166380833).
Ну, а вдруг повезёт

[Jens K Andersen]

I don't expect 320572022166380833 to be minimal.

Here is the first Stanley antimagic square of 16 consecutive primes listed in increasing order:

n = 4, d = 79151378678520
  19787844669503 +
    0   8  14  30
   66  74  80  96
  150 158 164 180
  240 248 254 270

[Nataly-Mak]

Jens K Andersen в сообщении #847807 писал(а):

I don't expect 320572022166380833 to be minimal.

Here is the first Stanley antimagic square of 16 consecutive primes listed in increasing order:

n = 4, d = 79151378678520
  19787844669503 +
    0   8  14  30
   66  74  80  96
  150 158 164 180
  240 248 254 270

Не совсем поняла. Этот квадрат Стенли не ассоциативный.
А сейчас речь идёт об ассоциативных квадратах Стенли.
Квадрат со стартовым числом 320572022166380833 является ассоциативным.

320572022166380833 +

0 6 10 16
18 24 28 34
60 66 70 76
78 84 88 94

[Nataly-Mak]

А, кажется, я поняла...
В этом квадрате Стенли элементы расположены в порядке возрастания:

 0   8  14  30
66  74  80  96
150 158 164 180
240 248 254 270

Для ассоциативного квадрата Стенли 4-го порядка (из последовательных простых чисел) это условие является необходимым

Мне надо подумать.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #847815 писал(а):

Для ассоциативного квадрата Стенли 4-го порядка (из последовательных простых чисел) это условие является необходимым

Да, наверное, так и есть.
И не только для ассоциативных квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел.

Это наименьший ассоциативный квадрат Стенли из произвольных простых чисел (см. http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_717.htm):

n=4, d=240, k=120

7 13 31 37
17 23 41 47
73 79 97 103
83 89 107 113

Здесь элементы квадрата расположены не по возрастанию, но легко привести квадрат к такому виду, что элементы будут расположенв по возрастанию:

7 13 17 23
31 37 41 47
73 79 83 89
97 103 107 113

-- Чт апр 10, 2014 10:07:18 --

Jens K Andersen
вы ищете решение (минимальный ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел)?

Может быть, нам разделить пространство поиска?
Я сейчас начала поиск с этого числа: 19787844669503.
А вдруг вы тоже ищете, начиная с этого же числа. Это не рационально!

[whitefox]

Nataly-Mak в сообщении #847815 писал(а):

Для ассоциативного квадрата Стенли 4-го порядка (из последовательных простых чисел) это условие является необходимым

Нет, это не обязательно.

"Нормализованный" ассоциативный антимагический квадрат 4-го порядка определяется
четырьмя числами $a_1,a_2,b_1,b_2$, таких что $a_1<a_2<b_1<b_2$

$\begin{tabular}{llll} 0 & \textit{a}_1 & \textit{a}_2 & \textit{u}_{14} \\ \textit{b}_1 & \textit{u}_{22} & \textit{u}_{23} & \textit{u}_{24} \\ \textit{b}_2 & \textit{u}_{32} & \textit{u}_{33} & \textit{u}_{34} \\ \textit{u}_{41} & \textit{u}_{42} & \textit{u}_{43} & \textit{u}_{44} \end{tabular}$

Где:
$u_{14}=a_1+a_2$
$u_{22}=b_1+a_1$
$u_{23}=b_1+a_2$
$u_{24}=b_1+a_1+a_2$
$u_{32}=b_2+a_1$
$u_{33}=b_2+a_2$
$u_{34}=b_2+a_1+a_2$
$u_{41}=b_1+b_2$
$u_{42}=b_1+b_2+a_1$
$u_{43}=b_1+b_2+a_2$
$u_{44}=b_1+b_2+a_1+a_2$

Условие $a_1+a_2<b_1$ не является необходимым.

[Nataly-Mak]

whitefox
кажется, верно.
У меня сейчас голова кубами забита, ничего не соображаю

А можете привести контрпример, доказывающий, что это условие не является необходимым?
Путь это будет ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из произвольных простых чисел. Наименьший квадрат в этом классе я уже показала. В нём элементы расположены в порядке возрастания.

[whitefox]

Nataly-Mak в сообщении #847869 писал(а):

А можете привести контрпример, доказывающий, что это условие не является необходимым?
Путь это будет ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из произвольных простых чисел.

А контрпример из произвольных натуральных чисел не подойдёт?

0 8 10 18
16 24 26 34
20 28 30 38
36 44 46 54

[Nataly-Mak]

whitefox в [url=http://dxdy.ru/post847887.html#p847887]сообщении #847887[/urlА] писал(а):

A контрпример из произвольных натуральных чисел не подойдёт?

0 8 10 18
16 24 26 34
20 28 30 38
36 44 46 54

Подойдёт.
Убедили
Зря, стало быть, я сменила начальную точку в проверке?
Ну, ничего, я ту точку, на которой остановилась, записала.

[Jens K Andersen]

I'm not looking for an associative square. I was only searching for the first antimagic square where the primes are in ascending order in the square. The search stopped when the solution was found at 19787844669503.

[Nataly-Mak]

Jens K Andersen в сообщении #847962 писал(а):

I'm not looking for an associative square. I was only searching for the first antimagic square where the primes are in ascending order in the square. The search stopped when the solution was found at 19787844669503.

Понятно. Спасибо.